數(shù)字信號處理離散傅里葉變換ppt課件

1、第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)第第3章章 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT) 本章作為全書的基礎(chǔ)，主要學(xué)習(xí)本章作為全書的基礎(chǔ)，主要學(xué)習(xí): (1) DFT的定義；的定義； (2) DFT的物理意義；的物理意義； (3) DFT的基本性質(zhì)以及頻域采樣；的基本性質(zhì)以及頻域采樣； (4)DFT的應(yīng)用舉例等內(nèi)容。的應(yīng)用舉例等內(nèi)容。第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)離散傅里葉變換定義離散傅里葉變換定義計算機(jī)只能處理有限長離散序列，因而計算機(jī)只能處理有限長離散序列，因而無法直接

2、利用無法直接利用ZT與與FT進(jìn)行數(shù)值計算。進(jìn)行數(shù)值計算。針對有限長序列針對有限長序列, 還有一種更有用的數(shù)學(xué)還有一種更有用的數(shù)學(xué)變換變換, 即離散傅里葉變換即離散傅里葉變換Discrete Fourier Transform），使數(shù)字信號處理），使數(shù)字信號處理可以在頻域采用數(shù)字運算的方法進(jìn)行，可以在頻域采用數(shù)字運算的方法進(jìn)行，大大增加了數(shù)字信號處理的靈活性。大大增加了數(shù)字信號處理的靈活性。第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)DFT的實質(zhì)：有限長序列傅里葉變換的的實質(zhì)：有限長序列傅里葉變換的有限點離散采樣，即頻域離散化。有限點離散采樣，即頻域離散化。DFT有多種快速算

3、法有多種快速算法(Fast Fourier Transform), 因此不僅在理論上有重要意因此不僅在理論上有重要意義義, 在各種數(shù)字信號處理算法中亦起著核在各種數(shù)字信號處理算法中亦起著核心作用。從而使信號的實時處理和設(shè)備心作用。從而使信號的實時處理和設(shè)備的簡化得以實現(xiàn)。的簡化得以實現(xiàn)。第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)DFT DFT 的定義的定義 設(shè)設(shè)x(n)x(n)是一個長度為是一個長度為MM的有限長序的有限長序列，列， 則定義則定義x(n)x(n)的的NN點離散傅里葉點離散傅里葉變換為：變換為： N-1knNn=0X(k)= DFTx(n) =x(n)W,

4、k =0, 1,. , N -1 X(k)的離散傅里葉逆變換為：的離散傅里葉逆變換為：N-1-knNn=01x(n)=IDFTX(k)=X(k)W, n=0, 1, ., N-1 N第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT) 對式中，對式中，NN稱為稱為DFTDFT變換區(qū)間長度，變換區(qū)間長度，NMNM。通常稱上述二式為離散傅里葉變換對。為了敘。通常稱上述二式為離散傅里葉變換對。為了敘述簡潔，常常用述簡潔，常常用DFTDFTx(n)x(n)NN和和IDFTIDFTX(k)X(k)NN分別表示分別表示NN點離散傅里葉變換和點離散傅里葉變換和NN點離散傅里葉逆變點離散傅里葉逆變

5、換。換。2-jNNW= e第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)【例】【例】 x(n)=R4(n), x(n)=R4(n), 求求x(n)x(n)的的8 8點和點和1616點點DFTDFT?！窘狻浚ā窘狻浚? 1設(shè)變換區(qū)間設(shè)變換區(qū)間N=8 N=8 時，那么：時，那么： ) ) , 0,1.,7kk 473knkn888kn=0n=081-WX(k)=x(n)W=W=1-W1-(-=1-(-sin()sin()2 2-j4k-j4k-jkjk-jk-jkjk-jk8 82222222 2-jk-jkjk-jk-jk-jkjk-jk888888883 3-jk-jk8 8

6、eeeeeeeeeeeeeeeek k2 2e ek k8 8第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT) （2 2設(shè)變換區(qū)間設(shè)變換區(qū)間N=16 N=16 時，那么：時，那么：) ) , 0,1.,15kk 4153knkn161616kn=0n=0161 -WX(k) =x(n)W=W=1 -W1 -(-=1 -(-sin()sin()2 2- -j j4 4k k- -j jk kj jk k- -j jk k1 16 64 44 44 42 2- -j jk k- -j jk kj jk k- -j jk k1 16 61 16 61 16 61 16 63 3- -

7、j jk k1 16 6e ee ee ee ee ee ee ee ek k4 4e ek k1 16 6第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)X(n)X(n)的幅頻的幅頻特性曲線特性曲線(FT(FT曲線曲線) )X(n)X(n)的的8 8點點DFTDFT曲線曲線X(n)X(n)的的1616點點DFTDFT曲線曲線第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)結(jié)論結(jié)論: 由此例可見，由此例可見，x(n)x(n)的離散傅里葉變換結(jié)果與變換區(qū)的離散傅里葉變換結(jié)果與變換區(qū)間長度間長度NN的取值有關(guān)。在后面，對的取值有關(guān)。在后面，對DFTDFT與與Z Z變

8、換和傅里變換和傅里葉變換的關(guān)系及葉變換的關(guān)系及DFTDFT的物理意義進(jìn)行討論后，上述問的物理意義進(jìn)行討論后，上述問題就會得到解釋。題就會得到解釋。 第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)DFT與傅里葉變換和與傅里葉變換和Z變換的關(guān)系變換的關(guān)系 設(shè)序列設(shè)序列x(n)的長度為的長度為M，其，其Z變換變換和和N(NM)點點DFT分別為：分別為：1010( )ZT ( )( )( )DFT ( )( )0,1,1MnnMknNNnX zx nx n zX kx nx nWkN第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT) 上二式表明序列x(n)的N點DFT是

9、x(n)的Z變換在單位圓上的N點等間隔采樣。X(k)為x(n)的傅里葉變換。j2( )(e )|0,1,1kNX kXkN比較上面二式可得關(guān)系式比較上面二式可得關(guān)系式 2je( )( )0,1,1kNzX kX zkN或或第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT) DFT是 X(ej)在區(qū)間0, 2上的N點等間隔采樣。這就是DFT的物理意義。 DFT的變換區(qū)間長度N不同，表示對X(ej)在區(qū)間0, 2上的采樣間隔和采樣點數(shù)不同，所以DFT的變換結(jié)果不同。DFT的物理意義的物理意義第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)knNWDFT的隱含周期性的隱

10、含周期性 在在DFT變換對中，變換對中，x(n)與與X(k)均為有限均為有限長序列，但由于的周期性，使長序列，但由于的周期性，使DFT和和IDFT式中的式中的X(k)隱含周期性，且周期均為隱含周期性，且周期均為N。對任意整數(shù)對任意整數(shù)m，總有，總有 在在DFT式中，式中，Xk)滿足：滿足： (),kkmNNNNWWk m為整數(shù),為自然數(shù)，11()00()( )( )( )NNkmN nknNNnnX kmNx n Wx n WX k第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)實際上，任何周期為實際上，任何周期為NN的周期序列都可的周期序列都可以看做長度為以看做長度為NN的有

11、限長序列的有限長序列x(n)x(n)的周期延的周期延拓序列，而拓序列，而x(n)x(n)則是的一個周期，即則是的一個周期，即( )()mx nx nmN( )( )( )Nx nx nRn( )x n( )x n第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)一般稱周期序列中從n=0到N1的第一個周期為的主值區(qū)間，而主值區(qū)間上的序列稱為的主值序列。因此x(n)與的上述關(guān)系可敘述為：是x(n)的周期延拓序列，x(n)是的主值序列。)(nx)(nx)(nx)(nx)(nx)(nx第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)為了以后敘述簡潔，當(dāng)N大于等于序列x(n

12、)的長度時，將式用如右形式表示： 式中x(n) N表示x(n)以N為周期的周期延拓序列，(n)N表示模N對n求余，即如果 n=MN+n1 0n1N1, M為整數(shù)那么(n)N=n1 ( )( )Nx nx n( )()mx nx nmN第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)例如，例如，, 則有則有所得結(jié)果符合下圖所示的周期延拓規(guī)律。所得結(jié)果符合下圖所示的周期延拓規(guī)律。88, ( )( )Nx nx n88(8)(8)(0)(9)(9)(1)xxxxxx第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT) 如果x(n)的長度為N，且，則可寫出的離散傅里葉級數(shù)表

13、示式Nnxnx)()(111000( )( )( )( )NNNknknknNNNNnnnX kx n Wx nWx n W110011( )( )( )NNknknNNkkx nX k WX k WNN)(nx式中式中( )( )( )NX kX k Rk即即X(k)為的主值序列。為的主值序列。( )X k第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT) 因此可知，有限長序列x(n)的N點離散傅里葉變換X(k)正好是x(n)的周期延拓序列x(n)N的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)的主值序列，即 。后面要討論的頻域采樣理論將會加深對這一關(guān)系的理解。我們知道，周期延拓序列頻譜完全由其離散傅里

14、葉級數(shù)系數(shù)確定，因此，X(k)實質(zhì)上是x(n)的周期延拓序列x(n) N的頻譜特性，這就是N點DFT的物理意義。( )X k)()()(kRkXkXN( )X k第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)離散傅里葉變換的基本性質(zhì)1 線性性質(zhì)線性性質(zhì) 如果如果x1(n)和和x2(n)是兩個有限長序列，是兩個有限長序列， 長度分別為長度分別為N1和和N2,且且 y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中式中a、 b為常數(shù)，為常數(shù)， 即即N=maxN1, N2， 則則y(n)的的N點點DFT為為 Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k), 0kN-1其中其中X1(k)

15、和和X2(k)分別為分別為x1(n)和和x2(n)的的N點點DFT。 第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)2 循環(huán)移位性質(zhì)：循環(huán)移位性質(zhì)： (1) 序列的循環(huán)移位序列的循環(huán)移位 設(shè)設(shè)x(n)為有限長序列，為有限長序列， 長度為長度為N， 則則x(n)的循環(huán)移位定義為的循環(huán)移位定義為 y(n)=x(n+m)NRN(N) 循環(huán)移位過程如下圖所示循環(huán)移位過程如下圖所示: 第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)循環(huán)移位過程示意圖循環(huán)移位過程示意圖 第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT) (2) 時域循環(huán)移位定理： 設(shè)x(n

16、) 是長度為N的有限長序列， y(n)為x(n)的循環(huán)移位， 即 y(n)=x(n+m)NRN(n) 那么 Y(k)=DFTy(n) 其中 X(k)=DFTx(n), 0kN-1。 ( )kmNWX k第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)（3頻域循環(huán)移位定理，假設(shè)頻域循環(huán)移位定理，假設(shè) X(k)=DFTx(n), 0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k) 那么那么 y(n)=IDFTY(k)n( )lNWx n第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)3 循環(huán)卷積定理循環(huán)卷積定理 有限長序列有限長序列x1(n)和和x2(n)， 長度分別長

17、度分別為為N1和和N2， N=maxN1, N2。 x1(n)和和x2(n)的的N點點DFT分別為：分別為： X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n) 假設(shè)假設(shè) X(k)=X1(k)X2(k) 那么那么1120( ) ( )( ) ()( )NNNmx nIDFT X kx m xn mR n1210( ) ( )( ) ()( )NNNmx nIDFT X kx m x n mR n或或上式所表示的運算稱為上式所表示的運算稱為x1(n)x1(n)與與x2(n)x2(n)的循環(huán)卷積。的循環(huán)卷積。第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT) 循環(huán)卷積過程中，

18、 要求對x2(m)循環(huán)反轉(zhuǎn)， 循環(huán)移位， 特別是兩個N長的序列的循環(huán)卷積長度仍為N。 顯然與一般的線性卷積不同， 故稱之為循環(huán)卷積， 記為 121120( )( )( ) ( )()( )NNNmx nx nx nx m xnmRn第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)1221( ) ( )( )( )( )( )X kDFT x nX kXkXkX k由于由于 所以所以 1221( )( )( )( )( )( )x nIDFT X kx nx nx nx n即循環(huán)卷積亦滿足交換律。即循環(huán)卷積亦滿足交換律。 第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(D

19、FT)頻域循環(huán)卷積定理：頻域循環(huán)卷積定理： 假設(shè)假設(shè) x(n)=x1(n)x2(n) 那么那么1211202112101( ) ( )( )( )1( )()( )1( )( )( )1( )()( )NNNlNNNlX kDFT x nX kXkNX l XklRkNX kXkX kNXl XklRkN或第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT) 直接計算循環(huán)卷積較麻煩。計算機(jī)中采用矩陣相乘或快速傅里葉變換FFT的方法計算循環(huán)卷積。下面介紹用矩陣計算循環(huán)卷積的公式。 第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)(0)(1)(2)(1)(1)(0)(1

20、)(2)(2)(1)(0)(3)(1)(2)(3)(0)xx Lx Lxxxx Lxxxxxx Lx Lx Lx 當(dāng)n = 0, 1, 2, , L1時，由x(n)形成的序列為： x(0), x(1), , x(L1)。循環(huán)移位后可得下面的矩陣：第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)上面矩陣稱為上面矩陣稱為x(n)的的L點點“循環(huán)卷積矩陣循環(huán)卷積矩陣”，其特點，其特點是是:（1） 第第1行是序列行是序列x(0), x(1), , x(L1)的的循環(huán)倒相序列。留意，如果循環(huán)倒相序列。留意，如果x(n)的長度的長度ML，則需，則需要在要在x(n)末尾補末尾補LM個零后，再

21、形成第一行的循環(huán)個零后，再形成第一行的循環(huán)倒相序列。倒相序列。（2） 第第1行以后的各行均是前一行向右循環(huán)移行以后的各行均是前一行向右循環(huán)移1位形成的。位形成的。（3） 矩陣的各主對角線上的序列值均相等。矩陣的各主對角線上的序列值均相等。有了上面介紹的循環(huán)卷積矩陣，就可以寫出有了上面介紹的循環(huán)卷積矩陣，就可以寫出y(n)c的矩陣形式如下的矩陣形式如下:第第7 7講講 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)(DFT)cccc(0)(0)(1)(2)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(2)(1)(2)(2)(1)(0)(3)(2)(1)(1)(2)(3)(0)(1)yxx Lx Lxhyxxx Lxhyxxxxh