《中小學(xué)數(shù)學(xué)中的“為什么”》征稿信

1、數(shù)學(xué)教師必讀：中小學(xué)數(shù)學(xué)中的“為什么”征稿信 老師：您好!數(shù)學(xué)教育，自然是以“數(shù)學(xué)”內(nèi)容為核心。數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)劣，自然應(yīng)該以學(xué)生是否能學(xué)好“數(shù)學(xué)”為依歸。也就是說(shuō)，方法與手段必須為數(shù)學(xué)內(nèi)容服務(wù)?？上У氖?，這樣的常識(shí)，近來(lái)似乎不再正確了。一提到教師培訓(xùn)、業(yè)務(wù)研討，大家想到的都是教學(xué)理念，數(shù)學(xué)教學(xué)的技巧與方法，而數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)本身則受到冷落。人們經(jīng)常把教學(xué)喻為藝術(shù)，所以往往對(duì)教學(xué)方法研究情有獨(dú)鐘。研究教學(xué)導(dǎo)入的藝術(shù)，研究指導(dǎo)探究的藝術(shù)，研究練習(xí)設(shè)計(jì)的藝術(shù)但作為一名數(shù)學(xué)教師，卻唯獨(dú)忘了研究數(shù)學(xué)本身，研究那些貌似簡(jiǎn)單卻內(nèi)涵深刻的中小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)?！澳就靶?yīng)”告訴我們，一位教師某方面素質(zhì)的缺失，就會(huì)影響他全部

2、能力的發(fā)揮。以其昏昏，使人昭昭，顯然要誤人子弟。作為一名數(shù)學(xué)教師，我們需要經(jīng)常問(wèn)自己：“我懂?dāng)?shù)學(xué)嗎？”還要不斷反思：“怎樣使自己成為一名懂?dāng)?shù)學(xué)的數(shù)學(xué)教師？”因?yàn)閿?shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)理解水平，直接決定了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平，影響了學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知興趣和數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的發(fā)展。比如，雖然孩子們從幼兒園就開始學(xué)算術(shù)，但很多人并沒(méi)有真正理解數(shù)學(xué)是什么，心中仍充滿疑問(wèn)：為什么計(jì)算時(shí)要先乘除后加減？負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)為什么會(huì)得到正數(shù)？數(shù)學(xué)課上，我們只說(shuō)“0不能作除數(shù)”，卻不告訴這是為什么；課本里，全是干巴巴的概念、定理，怎么看也不明白。結(jié)果孩子們已經(jīng)很努力了，考出來(lái)的成績(jī)還是一塌糊涂；抑或是，盡管解題能力很強(qiáng)，分?jǐn)?shù)很高，但往

3、往是“會(huì)而不懂”，會(huì)機(jī)械做題，但不理解數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)演變成了一種形式化的、無(wú)意義的、機(jī)械式的解題訓(xùn)練。曾在2001年獲得國(guó)家科技最高獎(jiǎng)的“雜交稻之父”袁隆平院士說(shuō)過(guò)：“我最喜歡外語(yǔ)、地理、化學(xué)，最不喜歡數(shù)學(xué)，因?yàn)樵趯W(xué)正負(fù)數(shù)的時(shí)候，我搞不清為什么負(fù)負(fù)相乘得正，就去問(wèn)老師，老師說(shuō)你記得就是；學(xué)幾何時(shí)，對(duì)一個(gè)定理有疑義，去問(wèn)，還是一樣回答，我由此得出結(jié)論，數(shù)學(xué)不講道理，于是不再理會(huì)，對(duì)數(shù)學(xué)興趣不大，成績(jī)不好”。數(shù)學(xué)原本就是這樣？還是教師的教學(xué)使然？記得在幾年之前，知名華人數(shù)學(xué)家、哈佛大學(xué)教授丘成桐興沖沖地趕到杭州，去與一群剛在高考中取得好成績(jī)的數(shù)學(xué)尖子見面。結(jié)果卻讓他頗為失望：“大多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)根本

4、沒(méi)有清晰的概念，對(duì)定理不甚了了，只是做習(xí)題的機(jī)器。這樣的教育體系，難以培養(yǎng)出什么數(shù)學(xué)人才?！辈ɡ麃喸缭谇嗄陼r(shí)代，由于不滿足于教師那種照本宣科式的講述和教科書上那種突如其來(lái)的、“像是帽子里跑出一只兔子”式的證明，從而開始探索數(shù)學(xué)中的發(fā)明創(chuàng)造問(wèn)題。面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)定理和巧妙的證明，他問(wèn)自己：數(shù)學(xué)家是怎樣發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理的？是什么促使數(shù)學(xué)家想到了這個(gè)證法？在執(zhí)教之后，他竭力幫助學(xué)生弄清定理和證明的來(lái)龍去脈。而我是在成為一名數(shù)學(xué)教育研究工作者后，才開始經(jīng)常不停地自覺(jué)追問(wèn)和反思：為什么要提出這一數(shù)學(xué)概念？為什么要這樣而不是那樣對(duì)概念下定義？為什么要作出這樣的數(shù)學(xué)約定？如此等等。追問(wèn)之后暫時(shí)不得其解，便會(huì)查閱資料

5、、求教專家，從而漸漸發(fā)現(xiàn)，問(wèn)的為什么越多，得到的學(xué)問(wèn)就可能越多；問(wèn)的為什么越深，認(rèn)識(shí)就必然越透徹、深入。如此，我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中，才可能真正做到“不僅講推理，更要講道理。”我們認(rèn)為，通過(guò)從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行追問(wèn)，至少可以實(shí)現(xiàn)以下目的：首先，可以形成正確認(rèn)識(shí)。比如，可有效避免出現(xiàn)諸如“自然數(shù)的個(gè)數(shù)比偶數(shù)的個(gè)數(shù)多”等科學(xué)性錯(cuò)誤。其次，可以獲得深層理解。比如，通過(guò)對(duì)自然數(shù)內(nèi)涵的追問(wèn)，可獲得其基數(shù)含義和序數(shù)含義的全面、深刻的理解。第三，可以拓展學(xué)科知識(shí)。比如，追問(wèn)“一元三次方程有求根公式嗎”“是否存在等和數(shù)列與等積數(shù)列”？最后，可以獲得較高觀點(diǎn)。比如，追問(wèn)“函數(shù)難道不能一對(duì)多嗎？”“二分法是逼近函數(shù)零點(diǎn)的唯一

6、方法嗎？”等。數(shù)學(xué)教師必讀：中小學(xué)數(shù)學(xué)中的為什么這本書將以理解數(shù)學(xué)為線索，以克服和解決“會(huì)而不懂”現(xiàn)象為目的，通過(guò)追問(wèn)和回答中小學(xué)數(shù)學(xué)中的諸多“為什么”，幫助教師厘清中小學(xué)數(shù)學(xué)中的諸多疑難困惑。為此，特面向廣大中小學(xué)優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師征集典型案例，我們將以此為基礎(chǔ)匯集成本書。為了方便您的撰寫，請(qǐng)注意以下事項(xiàng)：1、案例篇幅不限，但以5003000字為宜，體例、形式不限。2、根據(jù)自己的體會(huì)和擅長(zhǎng)來(lái)撰寫，內(nèi)容既可以是小學(xué)和初中數(shù)學(xué)方面的，也可以是高中數(shù)學(xué)方面的。3、案例可以原創(chuàng)，可以改編（標(biāo)注參考文獻(xiàn)），也可以推薦（注明原作者和出處）。4、本書的讀者對(duì)象主要是數(shù)學(xué)教師，因而案例應(yīng)具有較高的層次性。多數(shù)教師

7、所熟知的事實(shí)，盡可能不涉及或少涉及（比如，“為什么根號(hào)2不是有理數(shù)”，“為什么邊邊角不能作為三角形全等的判定定理”等）。5、每位教師可提供一篇或多篇。不同教師所提交的稿件，內(nèi)容若有交叉或重復(fù)，可能會(huì)增刪合并，這時(shí)可共同署名（注明姓名和單位）。若能提供較多案例，也可考慮聯(lián)合署名編著。6、涉及數(shù)學(xué)理解方面的“為什么”，既可以是微觀層面的（比如“指數(shù)函數(shù)中為什么要規(guī)定a>0”顯然不是為了使定義域?yàn)镽），也可以是中觀層面的（比如“面積和體積是怎么來(lái)的”），還可以是宏觀層面的（比如“代數(shù)的本質(zhì)究竟是什么”）。7、文后附有幾個(gè)案例，供您寫作時(shí)參考！本書的出版將為中小學(xué)數(shù)學(xué)教師提供十分有益的學(xué)習(xí)材料，

8、使教師通過(guò)對(duì)案例的學(xué)習(xí)和自我研修，來(lái)深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)，有助于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)化，推進(jìn)我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的健康發(fā)展。真誠(chéng)期待您的來(lái)稿（電子文本word文檔）！電子郵件請(qǐng)于2011年3月1日前發(fā)送到fjsfdxsjxy或liyij1。一旦采用，贈(zèng)書一本！若暢銷并獲得收益，將據(jù)實(shí)支付稿酬。順祝身體健康！工作愉快！數(shù)學(xué)教師必讀：中小學(xué)數(shù)學(xué)中的“為什么”編委會(huì) 聯(lián)系人：福建師大數(shù)計(jì)學(xué)院 李祎（liyi） 2010年12月1日 小學(xué)示例：零為什么不能作除數(shù)在乘除法的認(rèn)識(shí)的教學(xué)中，對(duì)于“0不能做除數(shù)”的規(guī)定，常說(shuō)“零做除數(shù)沒(méi)有意義”或“規(guī)定零不能做除數(shù)”,許多教師往往只是把它當(dāng)作一個(gè)結(jié)論來(lái)處理，強(qiáng)調(diào)“0做

9、除數(shù)，沒(méi)有意義”。其實(shí)這正是“乘除法關(guān)系”的一個(gè)極好的例子。究竟“零為什么不能做除數(shù)”呢?這可從兩個(gè)方面談起：一、當(dāng)被除數(shù)是零，除數(shù)也是零時(shí)，我們可寫成0÷0=X的形式，看商X是什么？根據(jù)乘法與除法互為逆運(yùn)算的關(guān)系有：被除數(shù)=除數(shù)×商，這里除數(shù)已為零，商X無(wú)論是什么數(shù)（是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零）、與零相乘都等于零。即0=0×X，這樣商X是不固定的。X是任何數(shù)與零相乘都等于零。我們知道四則運(yùn)算的結(jié)果是唯一的，這就破壞了四則運(yùn)算結(jié)果的唯一性。在這種情況下，我們簡(jiǎn)單地說(shuō)：“被除數(shù)和除數(shù)都為零時(shí)，不能得到固定的商?！倍?dāng)被除數(shù)不為零時(shí)，而除數(shù)為零時(shí)的結(jié)果看，我們可寫成5

10、7;0=X，商X無(wú)論是什么數(shù)，與除數(shù)“0”相乘都得零，而不會(huì)得5，即0×X5或其他不是零的數(shù)。我們簡(jiǎn)單地說(shuō)：“當(dāng)被除數(shù)為零，而除數(shù)是零時(shí)，用乘除法的關(guān)系來(lái)檢驗(yàn)，是還不回原的”。所以，“0”在4種運(yùn)算中，就是不可以以除數(shù)的身份出現(xiàn)。鑒于以上兩種情況：一是零做除數(shù)不能得到固定的商；二是零做除數(shù)還不回原。因此說(shuō)：“零做除數(shù)沒(méi)有意義”或“規(guī)定零不能做除數(shù)”。自然數(shù)的個(gè)數(shù)比偶數(shù)的個(gè)數(shù)多嗎？一位教師教學(xué)“自然數(shù)按能否被2整除分為偶數(shù)和奇數(shù)”時(shí)，讓學(xué)生按從小到大的順序列舉偶數(shù)和奇數(shù)，并引導(dǎo)學(xué)生探究偶數(shù)和奇數(shù)的特點(diǎn)。有的學(xué)生便發(fā)現(xiàn)，“偶數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，自然數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)的2倍?！币?yàn)椤白匀粩?shù)是按一

11、個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù)，又一個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù)這樣的順序排列的，偶數(shù)與奇數(shù)的個(gè)數(shù)一樣多，所以說(shuō)，自然數(shù)的個(gè)數(shù)既是偶數(shù)的2倍，也是奇數(shù)的2倍?！庇谑?，這位老師便對(duì)學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)”大加贊賞。表面上看好像偶數(shù)集和奇數(shù)集中元素的個(gè)數(shù)各占自然數(shù)集中元素個(gè)數(shù)的一半，其實(shí)這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤源于教師學(xué)科知識(shí)的貧乏和應(yīng)對(duì)問(wèn)題的輕率。若能多做一些追問(wèn)與反思，并能及時(shí)求教與學(xué)習(xí)，便可獲得一種關(guān)于無(wú)限中“多少”的高觀點(diǎn)。在大學(xué)數(shù)學(xué)中，把能與自然數(shù)集N建立一一對(duì)應(yīng)的集合，叫做可數(shù)集。如果將可數(shù)集的每個(gè)元素標(biāo)上與它對(duì)應(yīng)的那個(gè)自然數(shù)記號(hào)，那么可數(shù)集的元素就可以按自然數(shù)的順序排成一個(gè)無(wú)窮序列a1，a2，a3，an，。例如，全體正偶數(shù)的

12、集合是一個(gè)可數(shù)集，全體正奇數(shù)的集合也是可數(shù)集，它們與自然數(shù)集可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。顯然，一個(gè)可數(shù)集可以含有可數(shù)的真子集，反過(guò)來(lái)，兩個(gè)可數(shù)集也可以并成一個(gè)可數(shù)集。整數(shù)集與有理數(shù)集都是可數(shù)集。按照基數(shù)概念，能一一對(duì)應(yīng)的兩個(gè)集合的基數(shù)相同，于是有理數(shù)集、整數(shù)集、全體正偶數(shù)集等與自然數(shù)集有相同的基數(shù)。就這一意義而言，這些集合所含元素是“一樣多”，但這些集合又是一個(gè)包含另一個(gè)作為真子集，所以又不同于有限集元素的“多少”概念。值得注意的是，并非所有的無(wú)窮集都是可數(shù)集，因?yàn)榭低袪栕C明了實(shí)數(shù)集不是可數(shù)集，這樣，實(shí)數(shù)集與自然數(shù)集有不同的基數(shù)，因而說(shuō)明了無(wú)窮集所含元素?cái)?shù)量的多少還有某種層次區(qū)別。初中示例：為什么要

13、規(guī)定負(fù)負(fù)得正？乘法運(yùn)算的法則“負(fù)負(fù)得正”只是一種規(guī)定，數(shù)的運(yùn)算法則本來(lái)是規(guī)定的，而不是推導(dǎo)出來(lái)的。先規(guī)定運(yùn)算法則，然后研究運(yùn)算律是否成立。當(dāng)然，怎樣規(guī)定運(yùn)算法則，不能是任意的，要看數(shù)系本身的性質(zhì)。如為了反映客觀實(shí)際的某種數(shù)量關(guān)系，從而解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。這樣看來(lái)，從理論上說(shuō)，不講為什么，只說(shuō)說(shuō)“負(fù)負(fù)得正”是一種規(guī)定，讓學(xué)生記住并能運(yùn)用，是正確的。但數(shù)學(xué)理論上正確的東西，落實(shí)到教學(xué)上并不妥當(dāng)，因?yàn)樗环蠈W(xué)生的學(xué)習(xí)心理：知識(shí)抽象的規(guī)定，而完全沒(méi)有現(xiàn)實(shí)意義的東西，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展是不利的。甚至打擊學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。事實(shí)上直到19世紀(jì)中葉以前，負(fù)負(fù)得正的運(yùn)算，則在學(xué)習(xí)代數(shù)課本中并沒(méi)有得到正確的解釋

14、，法國(guó)文豪司湯達(dá)（17831843）在學(xué)生時(shí)代就曾被這個(gè)法則困擾了很久，他的兩位數(shù)學(xué)教師迪皮伊先生和夏倍爾都未能給他一個(gè)令他信服的解釋，司湯達(dá)因而對(duì)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教師產(chǎn)生了不信任感，他說(shuō)：“到底是我的兩位老師在騙我呢還是數(shù)學(xué)本身就是一場(chǎng)騙局呢？”顯然為了減少學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的理解困難，利用生硬的“規(guī)定”的方法直接引入負(fù)負(fù)得正的法則是不可取的。下面是引入方法幫助同學(xué)們理解。每個(gè)孩子都是聽著故事長(zhǎng)大的。所以，他們應(yīng)當(dāng)對(duì)故事有著更多的興趣和熱情。而對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)。對(duì)比較強(qiáng)烈的概念會(huì)給他們留下較為深刻的印象，如好與壞、善與惡等。下面這個(gè)模型應(yīng)該可以給學(xué)生以更直觀的感受。故事模型好人（正數(shù)）或壞人（負(fù)數(shù)）

15、，進(jìn)城（正數(shù)）或出城（負(fù)數(shù)），好（正數(shù)）與壞（負(fù)數(shù)）。如果好人（+）進(jìn)城（+），對(duì)于城鎮(zhèn)來(lái)說(shuō)是好事（+），所以（+）×（+）=+；如果好人（+）出城（-），對(duì)于城鎮(zhèn)來(lái)說(shuō)是壞事（-），如果壞人(-)進(jìn)城（+）對(duì)城鎮(zhèn)來(lái)說(shuō)是壞事（-），即（-）×（+）=-；如果壞人(-)出城(-)，對(duì)于城鎮(zhèn)來(lái)說(shuō)是好事(+)，所以（-）×（-）=+。“負(fù)債”模型一人每天欠債5美元，給定日期（0美元）3天后欠債15美元。如果將5美元的債記成-5，那么每天欠債5美元欠債3天可以數(shù)學(xué)來(lái)表達(dá)：3×（-5）=-15。同樣一人每天欠債5美元，那么給定日期（0美元）3天前，他的財(cái)產(chǎn)比給定的日

16、期的財(cái)產(chǎn)多15美元，如果我們用-3表示3天前，用-5表示每天欠債，那么3天前他的經(jīng)濟(jì)情況可表示為（-3）×（-5）=15現(xiàn)實(shí)模型不足以讓司湯達(dá)這樣的聰明孩子完全信服。這時(shí)候，我們還可以用如下方法來(lái)解釋為何“負(fù)負(fù)得正”。（-1）×（-1）=（-1）×（-1）+0×(-1)=（-1）×（-1）+(-1)+1 ×1=（-1）×（-1）+(-1) ×1+1×1=(-1) ×(-1+1)+1=1上面的“證明”嚴(yán)格地說(shuō)不過(guò)是一種解釋而以。因?yàn)槲覀兊囊罁?jù)是正數(shù)和零所滿足的運(yùn)算律包括：0+a=a，0×

17、a=0;a+b=b+a；a×b=b×a;等。19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家漢克爾早就告訴我們。在形式化的算術(shù)中，“負(fù)負(fù)得正”是不能證明的，大數(shù)學(xué)家克萊恩也提出忠告：不要試圖地去證明符號(hào)法則的邏輯必要性，“別把不可能的證明講得似乎成立”。實(shí)際上上面的“證明”表明：當(dāng)我們把非負(fù)整數(shù)所滿足的運(yùn)算律用于負(fù)數(shù)時(shí)，兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘的結(jié)果只能是正數(shù)。數(shù)集擴(kuò)充所遵循的原則之一就是運(yùn)算律的無(wú)矛盾性。誠(chéng)然，你可以規(guī)定“負(fù)負(fù)得負(fù)”，但是這樣做時(shí)，你至少必須放棄正整數(shù)集所滿足的其中一個(gè)運(yùn)算律。這大概是我們能向湯姆達(dá)亮出的最后一張底牌了。然而，數(shù)學(xué)教育研究結(jié)果表明:孩子知識(shí)的建構(gòu)并不是通過(guò)演繹推理，而是通過(guò)經(jīng)驗(yàn)收集

18、、比較結(jié)果、一般化等手段來(lái)完成的，僅僅向?qū)W生講述運(yùn)算率并不能收到你所期望的效果，因?yàn)閷W(xué)生并不情愿利用這些運(yùn)算率。這與歷史的啟示是一致的，無(wú)疑，現(xiàn)實(shí)模型是我們不可缺的教學(xué)方法。有了角度制為什么還要引入弧度制不少參考書上認(rèn)為，在角度制里，三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，對(duì)研究三角函數(shù)的性質(zhì)帶來(lái)不便，引入弧度制后，便能在角的集合與實(shí)數(shù)集合之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，從而將三角函數(shù)的定義域放到實(shí)數(shù)集或其子集上來(lái)。事實(shí)果真如此嗎？實(shí)際上，任何一種角的度量體制，都相應(yīng)建立了角的集合到實(shí)數(shù)集合之間的一一對(duì)應(yīng)。這一點(diǎn)并不是弧度所獨(dú)有的性質(zhì)。引起這種誤解的原因，可能是因?yàn)橥ǔＳ没《戎票硎窘堑臅r(shí)候，總是略去了弧度單位。

19、這使一些人誤將表示角的弧度的弧度數(shù)值度量意義的實(shí)數(shù)與一般意義的實(shí)數(shù)混同在一起，出現(xiàn)了不恰當(dāng)?shù)睦斫狻Ｆ鋵?shí)，無(wú)論是角度制還是弧度制，都能在角的集合與實(shí)數(shù)集合之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，但采用弧度制更為方便。如用角度制度量角，建立角集與實(shí)數(shù)集之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，需要6O進(jìn)制換算(例如的角，對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為3O25)，而弧度制為十進(jìn)制，就不需要換算。此外，使用弧度制可以簡(jiǎn)化很多公式。比如，扇形弧長(zhǎng)計(jì)算公式和扇形面積計(jì)算公式，若用角度制表示，分別為和，若用弧度制表示，則分別為和。高中示例：為什么集合具有“三性”在“集合”概念的教學(xué)中，在給出集合的概念之后，通常是介紹集合的三個(gè)特性，即“確定性”、“互異性”和“無(wú)

20、序性”。顯然，這三個(gè)性質(zhì)不是從集合定義中推導(dǎo)出來(lái)的，而是人為作出的某種規(guī)定性。那么，是否一定要作出這種規(guī)定性？不這樣進(jìn)行規(guī)定行嗎？絕大多數(shù)的老師，都幾乎不會(huì)這樣進(jìn)行追問(wèn)。教學(xué)中總是很“乏力”地反復(fù)強(qiáng)調(diào)集合的三個(gè)特性，而始終說(shuō)不出其所以然來(lái)。其實(shí)，中學(xué)講的集合屬于樸素集合論的范疇，它具有確定性的特征；不具有確定性特征，也可以定義集合，這就是模糊數(shù)學(xué)中模糊集的概念。同樣，不滿足互異性特征，也可以定義集合，這就是組合數(shù)學(xué)中多重集的概念。什么是模糊集呢？用來(lái)表達(dá)模糊性概念的集合，叫作模糊集。普通的集合是指具有某種屬性的對(duì)象的全體。這種屬性所表達(dá)的概念，應(yīng)該是清晰的、界限分明的。因此，每個(gè)對(duì)象對(duì)于集合的隸屬關(guān)系，也是非常明確的，非此即彼。但在人們的思維中還有著許多模糊的概念，例如年輕、很大、暖和、傍晚等，這些概念所描述的對(duì)象屬性，不能簡(jiǎn)單地用“是”或“否”來(lái)回答，模糊集合就是指具有某個(gè)模糊概念所描述的屬性的對(duì)象的全體。由于概念本身不是清晰的、界限分明的，因而對(duì)象對(duì)集合的隸屬關(guān)系也不是明確的、非此即彼的。什么是多重集呢？元素可以多次出現(xiàn)的集合，叫作多重集。在多重集中，某元素出現(xiàn)的次數(shù)，叫作該元素的重復(fù)數(shù)。在表示一個(gè)多重集時(shí)，應(yīng)表明元素的重復(fù)數(shù)。比如，給定多重集S=，對(duì)于元素，重復(fù)數(shù)的值可以是某個(gè)正整數(shù)，也可以是0或。如果=0，則認(rèn)為元素；如果，則認(rèn)為S