多尺度幾何變換RidgeletRidgelet變換和小波變換是一脈相承的我們

1、多尺度幾何變換* RidgeletRidgelet變換和小波變換是一脈相承的，我們可以通過下面的分析看出來。A22當(dāng)光滑函數(shù)®滿足 嚴(yán)（t）dt=O以及容許條件 嚴(yán)點(diǎn)）/|引 吐辺時(shí)，ridgelet的核可以定義為：1/2(1)®a,b,g(x )=a4(% cos日 +x2sin日-b )/a ), 其中a為尺度參數(shù)，b為位置參數(shù)，二為方向參數(shù)，并且:t是一個(gè)一維的小波函數(shù)。由 ridgelet的核函數(shù)我們可以看出：其在直線 為cos x2si- C的方向上是常數(shù)，在與這 條直線垂直的方向上是一個(gè)小波函數(shù)。Ridgelet的正變換可以表示為：CRTf a,b門二；b： x

2、 f x dx（ 2）為了有一個(gè)對(duì)比，我們首先來看看可分離的連續(xù)小波變換（CWT）CWTf a1, a2,bi,b2 二 l 2 引忌,卅 x f x dx（3）其中；：a1,a2,b1,b2x 八心 xx，；：a,bx 二 a"' t_b /a從這兩個(gè)公式中可以看出來，連續(xù)ridgelet變換和2維連續(xù)小波變換非常相似，它們的差別就是在連續(xù)ridgelet變換中點(diǎn)參數(shù) gp被線參數(shù)bj 代替了。所以我們有充分的理 由可以相信，在捕捉孤立的點(diǎn)奇異的信息時(shí)，小波是十分有效的；而ridgelet則十分擅長捕捉線奇異的信息。事實(shí)上我們也可以這么說，ridgelet是沿著線把一維小波

3、連接起來的一種變換。在二維區(qū)間中，點(diǎn)跟線的之間的轉(zhuǎn)換是通過radon變換聯(lián)系起來的，所以小波跟ridgelet也是通過radon變換聯(lián)系起來的。radon變換可以表示為：Rf 二 t = l 2 f x、 x-i cos r x2 sin ：t dx( 4)radon變換上的投影:所以ridgelet變換可以進(jìn)一步表示為一維小波變換在CRTf a,b,r 二 2 ；,b t Rf yt dt（5）l_分析到這里我們就可以看出，ridgelet變換的本質(zhì)是就是通過radon變換把圖像中的線投影到radon域中的點(diǎn)，把線奇異性變?yōu)辄c(diǎn)奇異性，然后再使用小波變換，利用小波變換十分 擅長捕捉點(diǎn)奇異信息的

4、特性來捕捉奇異點(diǎn)。由于圖像都是由像素點(diǎn)構(gòu)成的，也就是圖像都是一個(gè)二維的離散信號(hào)，因此在實(shí)際應(yīng)用中，我們不能只滿足于在連續(xù)域中的定義。所以在 CRT的基礎(chǔ)上Do和Vetterli提出了一 種叫做Finite ridgelet transform （ FRIT）的變換，這是一種實(shí)現(xiàn)離散 ridgelet變換的方法。這種快速算法是由兩部分組成的：首先進(jìn)行finite ran do n變換，然后再對(duì)素?cái)?shù)長度的一維信號(hào)進(jìn)行離散小波變換。finite randon （ FRAT ）變換是把沿著特定線集合的像素點(diǎn)進(jìn)行整合。記 Zp：0,1,.,p-仁，其中p是一個(gè)素?cái)?shù)。需要注意 Zp域是一個(gè)有限域，在其中進(jìn)

5、行模 p 的運(yùn)算。一個(gè)實(shí)數(shù)方程f在有限晶格Zp2上的FRAT變換可以定義為：1rjll-FRATf k,l（ 6）V p （i，j 產(chǎn)k,l這里L(fēng)k,l代表了在晶格Zp2上組成一條特定直線的點(diǎn)集。用數(shù)學(xué)公式可以表示為：Lk一 i,j : j = ki l modp ,i Zp?，0豈 k ： p，Lp-l,j : j Zp?。（ 7，8）這兩個(gè)公式將斜率在 0 2二之間的直線按照斜率的角度等分，定義了斜率k = 0p -1和斜率為無窮大的一組直線，總共是p 1組不同斜率的直線；并且對(duì)應(yīng)于每組斜率一定的直線，定義出p條不同截距的直線，所以在 Zp2上我們總共可以得到p - 1p條離散的直線，每條

6、直線是由p個(gè)離散的點(diǎn)組成的。對(duì)于一組特定斜率的直線，總共有p條平行的直線覆蓋整個(gè)的有限晶格平面。這就意味著對(duì)于一個(gè)零均值的輸入圖像f l.i,j 1來說，我們可以知道：P41*瓦 R I 】=丁瓦 fkj = 0， V "Zp*（9）丨£p i,j 祀p2這個(gè)公式揭示出了 FRAT的冗余度：對(duì)于每個(gè)方向，只有P-1個(gè)相互獨(dú)立的 FRAT系數(shù)。這些系數(shù)在不同方向上構(gòu)成了 p 1組系數(shù)，連同均值一起，總共有 p 1 p -11=p2個(gè)互相獨(dú)立的系數(shù)(或者叫做自由度)。類似于連續(xù)的情況，有限反變換(FBP)定義為穿過特定點(diǎn)的所有直線的和，即：FBRr i, j = I '

7、rl 1， i,j Z2，(10)V P (k，1 予Pi,j其中pi,j表示穿過點(diǎn)(i, j產(chǎn)Z：的所有直線的集合。其數(shù)學(xué)表示為：p,j = (k, l): l = j ki(mod p),“ ZpU(P,i )( 11)從這里可以看出，在有限離散平面上 Zp的任意兩點(diǎn)位于唯一的一條直線上，這樣一來， 在Z：中的任意一點(diǎn)可以唯一的定位在集合pi,j中的一條直線上，除了點(diǎn) (i,j)以外，這個(gè)點(diǎn)位于所有的p 1條直線上。所以將公式(6)代入公式(10)中，可以得到：FBRr(i,j )=- Z Z f_i',j'lp L戸口 f'i產(chǎn)和-_=送 f i', j+

8、 p f I, j = f 0, j 1卩爐聲丿所以由反變換公式可以看出對(duì)于零均值的圖像來說確實(shí)可以得到無失真的原始圖像。連續(xù)randon變換到離散ran don變換之間轉(zhuǎn)化的一個(gè)最大的困難就在于連續(xù)的randon變換是定義在極坐標(biāo)中的，而離散化時(shí)要轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)系，所以復(fù)雜度就大大提高了。這種 離散的ran don變換與傳統(tǒng)的ran don離散變換相比最大的優(yōu)點(diǎn)就是：省去了直角坐標(biāo)系和 極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換步驟，避免了插值運(yùn)算，降低了算法的復(fù)雜度，與此同時(shí)也確保了數(shù) 值計(jì)算的精確度。在finite ran don變換域中所定義的離散直線具有與連續(xù)域中直線同樣精確的代數(shù)意義：任意兩條不同斜率的直

9、線有且僅有一個(gè)交電；相同斜率，不同截距的一組 平行的直線可以覆蓋整個(gè)的有限離散平面，所以FRAT有完全精確的反變換。但是這樣的定義也會(huì)產(chǎn)生不可避免的劣勢(shì)：不具備連續(xù)域中直線定義的精確的幾何意義。由于在離散 直線中引入了取模運(yùn)算，相當(dāng)于將圖像進(jìn)行了周期性的延拓。這樣一來原始圖像中的一條 直線就變成了一組平行線。在連續(xù)ran don變換中，原始圖像中的一條直線映射為ran don域中的一個(gè)點(diǎn)，而在finite ran don變換中，變成了一組平行線與一個(gè)點(diǎn)之間的映射，將會(huì)產(chǎn)生卷繞效應(yīng)(” warp around ” effect)利用可逆的FRAT并且根據(jù)公式(5)，我們可以在每個(gè)離散 FRAT投

10、影產(chǎn)生的序列上 (rk l01,rk 11,.,rk Ip-11,其中k是固定的參數(shù))應(yīng)用離散小波變換，并以此得到離散的ridgelet 變換。這整個(gè)的過程就叫做 finite ridgelet tran sform (FRIT).需要注意的是，在經(jīng)過FRAT變換以后來得到的是一個(gè)p p 1的矩陣，矩陣的每個(gè)列向量對(duì)應(yīng)于一個(gè)固定斜率的直線，列向量中的每個(gè)元素對(duì)應(yīng)于這個(gè)相同斜率不同截距的直 線上的投影系數(shù)。Reference:Candy es, E. (1998) Ridgelets: Theory and Applications. Ph.D. Thesis* Curvelet從本質(zhì)上說，cu

11、rvelet是ridgelet的具體應(yīng)用。它主要是一些思想的整合，其實(shí)質(zhì)是對(duì)多分 辨率分解后的圖像做局部ridgelet變換得到的。在curvelet變換分解的第一步首先要進(jìn)行的是子帶分解，然后按照子帶的中心頻率對(duì)各個(gè)子帶進(jìn)行分塊，最后對(duì)每個(gè)小塊進(jìn)行 ridgelet變換。我們都知道圖像的邊緣通常是光滑的曲線組成的，對(duì)于這個(gè)光滑連續(xù)的奇異 點(diǎn)，我們要想找到它的稀疏表示，必須找到一個(gè)合適的基，然而曲線的形勢(shì)總是千變?nèi)f化 的，有些曲線甚至不能用方程來表達(dá)，所以我們可以采用微分的思想看待這個(gè)問題，當(dāng)把 一條曲線分割成無數(shù)個(gè)子曲線的時(shí)候，每條子曲線都可以用一條線段來近似表達(dá)，而 ridgelet最擅長

12、的就是直線檢測(cè)。Curvelet就是借助于對(duì)圖像分塊的方法，把原始圖像中的光滑曲線邊緣的片斷在圖像子塊中近似的用一條直線段來表示。為了更好的顯示出由ridgelet到curvelet的思想發(fā)展過程，我們不按照上述的一般工程性的 順序來介紹curvelet，而是按照分析解決問題的方式對(duì)curvelet的變換過程進(jìn)行闡述。Can des 于 1998 年提出了 ridgelet 方程：®a,b,日(x )= a"2 ® (x, cos 日 + x2 s in 8-b)/a )，并 且提出了連續(xù)ridgelet變換：Rf (a,b,T ) = a,b,8(x f)，還有

13、反變換公式以及帕薩瓦爾 方程約束。為了簡化 curvelet方程的構(gòu)建，后來引入了標(biāo)準(zhǔn)正交脊波的概念。正交脊波使用 - j,k,i,l,；作為標(biāo)記，其中j表示ridge的尺度，k代表ridge的位置，i是角度尺度，l 代表角度位置。大體來講，正交脊波就像加窗后的一個(gè)ridgelet片斷，它位于一個(gè)半徑大約是2i的圓盤上，q=l /2i代表它的方向參數(shù)，2代表圓盤的厚度。下面我們?cè)陬l域內(nèi) AA七給出正交脊波的公式：p扎（©戶円'|屮j,k（|©|対$（日）+屮j,k（勺妙孑（日+兀）J/2。這里屮j,k是定義在口上的Meryer小波，國$是_兀，兀）上的小波，標(biāo)記的取

14、值范圍是：j, k |_l ， l =0,.,2"二1 ； i -1，并且，如果；=0， = max 1, j ， 而當(dāng)；=1的時(shí)候，i - max 1, j。 我們令：是這一類的集合。上述的這個(gè)公式實(shí)質(zhì)上是ridgelet采樣原理的反映：將頻率域劃分成二進(jìn)的圓環(huán)：任著22出；沿著角度變化方向，對(duì)第j個(gè)圓環(huán)進(jìn)行至少2j次的采樣沿放射狀的頻率變化方向，采取余弦采樣的方式。這種采樣原理是從沿直線有奇異點(diǎn)的傅立葉變換的方程得來的。這種方程頻域內(nèi)的傅立葉 變換有這種形式：沿著穿過原點(diǎn)的相關(guān)線方向緩慢衰減，沿著固定半徑的圓弧方向，當(dāng)與 這條緩慢衰減的直線相交的時(shí)候，我們可以看到一個(gè)傅立葉脊”（

15、Fourier ridge ）。Ridgelet采樣方案正是試圖用沿著角度變化方向的小波來表示這種傅立葉變換，所以傅立 葉脊可以被一個(gè)或多個(gè)小波捕捉到。在輻射方向，傅立葉脊事實(shí)上是震蕩的，它可以用余 弦函數(shù)捕捉到。多尺度瘠波：設(shè)想一種正交rideglet，它的長度近似為1,寬度可以是任意精度的。由此我們可以設(shè)想一 種多尺度ridgelet系統(tǒng)，它由不同長度，厚度，以及不同方向，位置的刷子構(gòu)成。這種構(gòu) 建提供了一種非負(fù)的，平滑的能量劃分，并且有：Z匕$國2區(qū)- k“ x2 - k2）三1。定義一個(gè)變換算子，并且指數(shù)Q表示一個(gè)二進(jìn)的方格：Q二s,K,k2，這個(gè)方格的大小是：k1/2s, k1 1

16、/2 ' |k2/2s, k2 1 /2s ，那么這個(gè)變換可以表示為：f 2sX1-心亡'?-k2。多尺度脊波可以表示為：2壯 J，其中二Q, 。簡而言之，這事實(shí)上就是一個(gè)歸一化的，加窗的正交ridgelet。對(duì)于一個(gè)良好分析集合的構(gòu)建來說，這個(gè)多尺度的ridgelet字典顯然過于龐大了。我們可以這樣來看，如果 Q和Q堤兩個(gè)不同尺度下并且相交的方格，那么屮（q,7,和屮（q：）并不相 交。這樣一來，如果用這樣的一個(gè)字典對(duì)一個(gè)方程進(jìn)行分析的時(shí)候，不同尺度下的重復(fù)相 交會(huì)產(chǎn)生能量的放大（energy blow-up ）。為了解決這個(gè)問題，我們把這個(gè)刷子”限制在一定的形狀范圍內(nèi)：即只

17、采用寬度大約是長度平方的方形刷。有了上面的各種定義，我們就可以對(duì)curvelet變換進(jìn)行定義了。用k1,k2表示平面上整數(shù)邊長的方形晶格。M 由k1,k2整數(shù)對(duì)的集合 M組成。Curvelet變換就是從空間L2 L 2到空間f2 M 上的映射，得到 curvelet系數(shù) 戸M '。這樣可以得到兩種 curvelet系 數(shù)：（1）在粗糙尺度上，我們得到的是小波尺度方程的系數(shù)：ct 卩=（%冬，R f），A =（匕,k2 ）匸 M M ，其中kk2是Meyer基的Lemarie尺度方程。（2）在精細(xì)尺度上，我們對(duì)于帶通的信號(hào)可以得到多尺度的ridgelet系數(shù)：. I -冷 sf 卜 土

18、, J Ms , s=1,2,簡單的說，curvelet就是進(jìn)行帶通濾波然后用多尺度的ridgelet得到的，并且也具有緊支的性質(zhì)。與小波不同的是，curvelet具有各向異性的尺度關(guān)系，這就便于它能夠更好的捕捉到帶有方向性的細(xì)節(jié)信息。ReferenceEmmanuel J. Cand 卩 es and David L. Donoho: Curvelets -A Surprisingly Effective Nonadaptive Representation For Objects with Edges* ContourletCurvelet變換是在連續(xù)域內(nèi)通過多尺度的濾波，然后對(duì)每個(gè)帶通圖

19、像進(jìn)行塊ridgelet變換。構(gòu)造curvelt的時(shí)候需要用到極坐標(biāo)上的旋轉(zhuǎn)變換。因此在連續(xù)域內(nèi)采用curvelet變換十分簡便，但是當(dāng)應(yīng)用到離散圖像的時(shí)候，這是一個(gè)非常有挑戰(zhàn)性的工作。特別是，在這樣的 離散化的空間里想要進(jìn)行臨界采樣是很困難的。鑒于以上的困難，激發(fā)了我們的興趣，倉U 造出一種新的表示方法，這種方法也是多方向的多分辨率的分解方法，唯一不同的是它是 直接在離散域內(nèi)對(duì)圖像進(jìn)行分解的，這就是con tourlet.由于在輪廓線上小波系數(shù)的位置相關(guān)性，Contourlet變換可以由對(duì)鄰近的小波系數(shù)組合而得到。這樣一來，我們可以先通過一種多尺度的變換，接著用多方向變換把鄰近的同一尺 度下

20、的基波組合成線性的結(jié)構(gòu)，最后就可以得到這個(gè)輪廓的稀疏表示。從本質(zhì)上來說，我們是先采用一種類似于小波的變換進(jìn)行邊緣檢測(cè)，然后用多方向變換作 輪廓元素的檢測(cè)。從這個(gè)角度出發(fā)，為了得到具有平滑輪廓的典型圖像的稀疏表示，我們提出了一種雙濾波 結(jié)構(gòu)。在這個(gè)雙濾波結(jié)構(gòu)中，我們先用拉普拉斯金字塔獲取點(diǎn)間斷點(diǎn)，然后用多方向?yàn)V波 器把點(diǎn)間斷點(diǎn)連接成線性結(jié)構(gòu)。在不同尺度，方向，contourlet有延長了的支撐。這樣在多分辨率下，contourlet可以有效地對(duì)一個(gè)平滑的輪廓進(jìn)行逼近，并且在頻率域內(nèi)， contourlet變換提供了一個(gè)多尺度以及多方向的分解。拉普拉斯金字塔由Burt和Adelson提出1。每一級(jí)

21、上的拉普拉斯分解產(chǎn)生一個(gè)降采樣的原 始低通圖樣，以及原始圖像與預(yù)測(cè)圖像的一個(gè)差值，這是一個(gè)帶通圖像。我們可以對(duì)預(yù)測(cè) 圖像（低通圖像）重復(fù)這樣的分解，就得到一個(gè)金字塔結(jié)構(gòu)。注意到這種分解方法的一個(gè) 明顯的劣勢(shì)在于它是一種過采樣的分解。但是跟臨界采樣的小波方案比起來，拉普拉斯分解有一個(gè)明顯的優(yōu)勢(shì)在于每個(gè)金字塔級(jí)只產(chǎn)生一個(gè)帶通圖像（即使對(duì)于多維信號(hào)而言）， 并且這個(gè)圖像沒有 倒頻”（scrambled frequencies）現(xiàn)象的產(chǎn)生。倒頻現(xiàn)象是在小波濾波器 組中產(chǎn)生的，當(dāng)高頻通道經(jīng)過降采樣后，又重新疊加到低通頻帶上，所以它的頻譜被反射 了。在拉普拉斯變換中，由于我們只對(duì)低通圖像進(jìn)行降采樣，因此避

22、免了這種現(xiàn)象的產(chǎn) 生。多方向?yàn)V波器Bamberger和Smith2構(gòu)造了一種二維的方向?yàn)V波器組，它可以在達(dá)到完美重構(gòu)的同時(shí)保 持最大的降采樣速率。這個(gè)濾波器組可以通過一個(gè)l級(jí)的二叉樹分解來實(shí)現(xiàn)，這樣可以得到2l個(gè)楔形的子帶分割。在文獻(xiàn)3中，我們提出了一種新的構(gòu)建多方向?yàn)V波器的方法，它 避免了對(duì)輸入圖像的調(diào)制并且對(duì)于擴(kuò)展分解樹有更簡化的規(guī)則。利用多碼率理論，可以將一個(gè)l級(jí)的樹形多方向?yàn)V波器等效為一個(gè)具有2l個(gè)通道的平行結(jié)構(gòu)的濾波器組，每個(gè)通道有等效的濾波器和整體采樣矩陣。記這些等效（多方向的）綜合 濾波器為Dkl，0乞k < 2l。其相應(yīng)的等效全采樣矩陣具有對(duì)角陣的形式：l diag 2l

23、4,2 ,fork < 2l 4for2l < k : 2這就意味著這個(gè)采樣是可分離的。這兩個(gè)集合分別代表幾乎平行和幾乎垂直的方向的集 合。從平行多方向?yàn)V波器的平行等效結(jié)構(gòu)角度來看，n- Sj m ；為在丨2 L2連-0空：2 ,m 2續(xù)域內(nèi)的離散信號(hào)提供了一個(gè)基，它其實(shí)是等效綜合濾波器Dkl在由Skl所得到的采樣晶格上的沖激響應(yīng)。這個(gè)基同時(shí)具備方向及位置特性。其實(shí)，這個(gè)基就類似于定位的Radon變換并且稱作 Ran do nl ets。由于多方向?yàn)V波器是為了捕捉高頻信息而設(shè)計(jì)的，所以對(duì)于低 頻的部分效果很差。事實(shí)上，如果直接對(duì)原始進(jìn)行同樣的頻率分割，低頻將會(huì)泄露”到這些方向自帶中

24、，因此多方向?yàn)V波器本身并不能為圖像提供一個(gè)稀疏的表示。這個(gè)事實(shí)也表 明多方向?yàn)V波必須和多分辨率的分解結(jié)合在一起，以保證在進(jìn)行多方向?yàn)V波之前輸入圖像 中的低頻部分已經(jīng)被移出。由于在離散contourlet變換中多分辨率分解和多方向?yàn)V波是解耦合的，我們可以在不同尺 度上進(jìn)行不同數(shù)目的方向分解，由此可以得到一個(gè)靈活的多尺度及多方向的分解。更進(jìn)一 步，由多方向?yàn)V波器組的全二叉樹分解可以一般化為任意樹的分解形式，類似于小波包對(duì) 小波變換的一般化，這種分解可以稱為con tourlet包。就像小波濾波器組，利用contourlet方程，contourlet濾波器組在L2 L 2也有一個(gè)對(duì)應(yīng)的連續(xù)形式。多分

25、辨率：假設(shè)在contourlet濾波中的拉普拉斯濾波采用正交的濾波器并且在每一維中進(jìn)行采樣率為2的下采樣（即采樣矩陣為 M =diag 2,2 ）。在一定的正則條件下，低通綜合濾波器G唯一的定義了一個(gè)連續(xù)域 L2 L 2中的尺度方程 t，并且滿足：t =2' g h 丨 t -2n 。n老2令q,n=2P（，nU2< 2丿那么這個(gè)族丿_2就是在尺度2j下對(duì)于子空間 V進(jìn)行逼近的正交基。進(jìn)一步說，n L:n J .是一組相互嵌套的具有多分辨率的子空間集合：.v2 V v0 V j.，其j j 中Vj跟一個(gè)均勻劃分的具有 2j 2j間隔的晶格聯(lián)系在一起，用來表示圖像在尺度2j下的近似

26、逼近。LP中的差分圖像包含了在兩個(gè)逼近子空間中相互轉(zhuǎn)換時(shí)所必須的細(xì)節(jié)信息。 因此，這個(gè)在子空間 W中的差分信號(hào)是空間 Vj中Vj的正交補(bǔ)空間，Vj二Vj二Wj。 多方向：雖然在contourlet變換中，多方向?yàn)V波器是應(yīng)用在差分或者說是細(xì)節(jié)空間Wj中的，我們先在子空間Vj中進(jìn)行多方向?yàn)V波。令 PjQn（t）=2： dkt）m ），那么對(duì)于每個(gè) k = 0,1,2 1 族 pjkU噸 2 是 這些具有方向性的子空間 V&）上的一個(gè)正交基。并且，Vj ,k =Vj；k - Vj ,2k 1，21 1 創(chuàng)k LVjQ 丄 V” 對(duì)于k - k'，并且Vj =多分辨率和多方向： 利用族

27、 怙,n - Sj m * ：2, L2對(duì)細(xì)節(jié)子空間 W進(jìn)行分解，我們得到:網(wǎng)丿n （t ）=瓦 2 d" m Sik1 n |Uj,m （t 卜m L _對(duì)每個(gè)k=0,i,., 2- 1族Sj”n低2是細(xì)節(jié)的方向子空間Wj（k）的一個(gè)緊支集，長度為1。其中標(biāo)識(shí)j,k,n分別代表了尺度，方向以及位置信息。Contourlet具有以下的特殊性質(zhì)：（1）contourlet分解是在矩形柵格上進(jìn)行定義的，所以為離散信號(hào)提供了一種無縫的變 換，因?yàn)閳D像都是在矩形柵格上進(jìn)行采樣的。為了得到這種對(duì)數(shù)字化有利的特性， 對(duì)于不同方向k, contourlet的核方程 j）必須不同，并且不能由對(duì)一個(gè)方

28、程的簡單 旋轉(zhuǎn)而得到。這是contourlet和curvelet變換的主要差別所在。（2）由于定義在矩形柵格上，contourlets在中心點(diǎn)為方形中心上的頻域內(nèi)進(jìn)行二維的頻 率分割，而不像curvelet以及其它定義在極坐標(biāo)上的系統(tǒng)在圓形頻域率中進(jìn)行頻率 分割。（3）由于contourlet方程是通過類似于小波的重復(fù)的濾波過程得到的，contourlet變換具有快速濾波器算法以及便捷的樹狀結(jié)構(gòu)。（4）對(duì)于有限濾波器而言，很容易看出，重復(fù)的contourlet濾波器組產(chǎn)生緊支的contourlet楨。更確切的說，contourlet變換方程 汕具有寬度約等于C2J長度約為C2j+j的支集。換句

29、話說，在各個(gè)尺度及方向上，集合#：" 2堆砌成了整個(gè)ng 2平面L 2。（5）Contourlet分割在空間域中提供了一種多分辨率的分解具有靈活的空域以及方向分解特性。ReferenceM. N. Do and M. Vetterli, The contourlet transform: an efficient directional multiresolution image representation* WedgeletWedgelet理論是一種簡明的圖像邊緣表示法，通過采用多尺度Wedgelet對(duì)圖像邊緣進(jìn)行分段線性近似在分析二維圖像信號(hào)時(shí)，常用的二維小波是一維小波的張量積

30、，它只有水平，垂直，對(duì)角線,低頻四個(gè)信息，表示的方向信息比較少另外，由于它是二維可分離變換，所以不具有各向異 性的特性，二維小波變換在刻畫圖像的邊緣特性時(shí)，有著顯著的缺陷；譬如描述圖像邊緣的小 波系數(shù)的個(gè)數(shù)僅取決于有多少系數(shù)位于邊緣位置處，而與邊緣的平滑程度無關(guān)，描述邊緣的小波系數(shù)間存在著復(fù)雜的相關(guān)性，若在量化或編碼中未考慮到這種相關(guān)性，重建圖像的邊 緣附一近會(huì)產(chǎn)生明顯的振鈴。Wedgelet是直接用二維定義的，它能夠克服可分離二維變換的缺陷.因此用它來分析圖像能很好地捕捉圖像的 線”和 面”的特征，一個(gè)單一的wedgelet就可以簡潔的表示一定區(qū) 域內(nèi)的一段直線段。Wedgelet被定義成在

31、正方形S上的分段常函數(shù)，沿著貫串 S的直線L ,在L兩側(cè)分別為常 數(shù)值。僅用四個(gè)參數(shù)即可表示塊上的wedgelet（S/. 1 / 2 , ma , mb）:用于表示L方位（或稱Wedgelet的方位）的L與S邊界的兩交點(diǎn)（，遼）-L上側(cè)或左側(cè)、下側(cè)或右側(cè)的函數(shù)值 ma和 mb，如圖（a）所示。S上的參數(shù)Ci,、2,ma,mb）的Wedgelet用（S宀2,口玄，叫）表示。在整 個(gè)S上為常數(shù)的函數(shù)是一種 L不穿過S的特殊的Wedgelet,稱為退化的Wedgelet,只需用一個(gè)參 數(shù)m表示其函數(shù)值即可.多尺度 Wedgelet分析由兩個(gè)部分組成：多尺度 Wedgelet分解(Multiscal

32、e Wedgelet decomposition, MWD)和多尺度 Wedgelet表示(Multiscale Wedgelet representation, MWR). MWD將圖像劃分成各尺度的圖像塊，并將每個(gè)圖像塊投影成各個(gè)方位允許的Wedgelet.MWR利用MWD的結(jié)果，選擇圖像的最佳劃分，井為每個(gè)劃分塊選出最優(yōu)的Wedgelet表示，從而可分段近似圖像的邊緣輪廓下面討論Wedgelet分解過程：令I(lǐng)表示N*N像素的原圖像，Sj,k表示尺度為j ,位置為k的正方形塊,k = k1,k2 , Sj,k = k1 *N/ 2j + 1 , ( k1+ 1)*N/ 2j* k2*N/

33、2j +1 , ( k2+1)*N/ 2j , k1,k2 和j 為整數(shù)，并且0 <k1,k2 <2j ,0 <j < J為選定的最大分解深度。令 Wedgelet的方位集為V ,用任取(n) V計(jì) 算Sj,k的投影。sj,k被L劃分成區(qū)域Rj和Rb,函數(shù)值ma,g分別為相應(yīng)圖像區(qū)域灰度值的均值：mAverageI (Sj,k) | RamAverageI (SjJ R從而得到了 co (S12 ,ma, mb).在V中的各個(gè)方位上計(jì)算sj,k的投影，將得到的所有wedgelet組合到一起，即得到圖像塊I( sj,k)的wedgelet分解集WI( sj,k),WI(

34、Sj,Q=w( V 圖像I的多尺度Wedgelet分解WJ (I)是所有尺度圖像塊 Wedgelet分解集的集合：WJ(I)= WI( Sj,k)：j= 0,1,"kJk2=0,2j-1多尺度 Wedgelet表示(MWR)多尺度 Wedgelet分解WJ (I)提供了多種描述圖像I的方法,多尺度Wedgelet表示W(wǎng)是根 據(jù)WJ(I)選出的圖像I的最優(yōu)近似。MWR有兩方面的任務(wù)：選出圖像I的最優(yōu)空域劃分U;從 每個(gè)劃分塊S U的Wedgelet分解集WI( S )中選出一個(gè)與其最接近的Wedgelet w(S, i2,ma,mb),以此來描述圖像在此區(qū)域的局部幾何及灰度特征。圖像I

35、的MWR W為W = U,w ( S; .1 2, ma，mb，- S U圖像的MWR可看作是一個(gè)修剪的四叉樹，原圖像用根節(jié)點(diǎn)表示，每個(gè)葉節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè) Wedgelet。MWR中的劃分塊尺寸越小，圖像近似的逼近度越高，但需要編碼的 Wedgelet的個(gè)數(shù)也越 多。通過擴(kuò)展 CART (classification and regression tree)算法,優(yōu)化后的逼近度和復(fù)雜度的一般 形式為min D ( W , I) + Complexity ( W)w在圖像編碼的框架下,將D(W,I)選為圖像I與MWR W間的均方誤差，將編碼W所需的比特 數(shù)的估計(jì)值作為Complexity(W),這樣

36、上式就成為一個(gè)在率失真意義下的優(yōu)化問題，其目的是找到一個(gè)既能較精確地近似原圖像，同時(shí)又易于編碼圖像的最優(yōu)MWR。在對(duì)原圖像進(jìn)行多尺度 Wedgelet分析時(shí)，先對(duì)最深尺度為J的MWD進(jìn)行分析，然后根據(jù) 四叉樹結(jié)構(gòu)由下至上地進(jìn)行最優(yōu)修剪。在以下三種形式中，從每一節(jié)點(diǎn)選出一種最優(yōu)的表示形式：(1)均勻塊，即退化的Wedgelet塊。僅需用參數(shù)m表示其平均灰度信息，m=Averagel(S), 適合于表示圖像的均勻區(qū)域。代價(jià)值 G (S)= |I(S)- m |； +入cost(m其中cost(m)為編碼參數(shù) m的代價(jià)。(2) Wedgelet塊。在塊S的Wedgelet分解集WI( S )中進(jìn)行窮

37、盡搜索，以min|l(S)- w|2為準(zhǔn) 則選出與其最接近的w( S :2, ma, mb),用它來表示圖像在此區(qū)域的局部幾何特征及灰度 信息。此種表示的代價(jià)值為2C2 (S)=|I(S)-w(S:、1,、2，ma，mb)|2 + 入costma)+cost( mb)+ cost"2)(3) 將塊S進(jìn)一步分解成四個(gè)子塊 S,S2,S3,S4,能獲得圖像輪廓的更精確地近似。根據(jù)代價(jià)值的可加性，此種表示方式的代價(jià)值為四個(gè)子塊最優(yōu)表示的代價(jià)值之和：C3(S)n Copt(Si)i 4通過比較以上三種表示方式,代價(jià)值最小的即為塊S的最佳表示：Copt( S )= min G( S ),C2

38、(S), C3 (S) 。若Copt(S)繪3(S),則再分解四叉樹中修剪掉相應(yīng)的四個(gè)子節(jié)點(diǎn),否則保留。多尺度Wedgelet分析是一種近似圖像邊緣輪廓的有效方法。每一個(gè)Wedgelet可以簡明的表示某一局部圖像區(qū)域中的直邊緣，邊緣緩慢變化的區(qū)域可以用少量粗尺度Wedgelet表示，而快速變化的區(qū)域可以用大量的細(xì)尺度 Wedgelet來表示。ReferenceDavid L. Donoho , Wedgelets: Nearly-Minimax Estimation of EdgesandeletBandelet是從一個(gè)由矢量表征的幾何流而來的，這個(gè)幾何流(geometric flow )顯示

39、了不同位置上圖像灰度級(jí)正則性變化的方向。在實(shí)際應(yīng)用中，必須利用圖像本身的幾何正則性來使這個(gè)幾何流最優(yōu)化，并以此構(gòu)建bandelet的基，所以說bandelet應(yīng)該是一種自適應(yīng)的分解。如果用f x,x2來表示一幅圖像的話，那么在其中的一個(gè)區(qū)域門中，幾何流就表示一個(gè)矢量場(chǎng)"XpX2 ,這個(gè)矢量場(chǎng)提供了圖像在每個(gè)XpX2盧:二的小鄰域內(nèi)正則性變化的方向。如果中一個(gè)點(diǎn)的小鄰域內(nèi)圖像的灰度值是均勻的那么這個(gè)方向就不是唯一確定的。為 了由一個(gè)幾何流構(gòu)造一組正交基，我們必須附加一個(gè)正則條件：這個(gè)幾何流必須是垂直方 向平行的* XX2 =“ X,，或者是水平方向平行的Xf, x2 = "* x2。為了保持一定的 靈活性，這個(gè)平行性質(zhì)是在一幅圖像支撐區(qū)間的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)定義的。圖像的支撐區(qū)間首先被劃分成若干個(gè)區(qū)域 j，整幅圖像就是由這些子區(qū)域組成的s二U/j。要注意的是，這個(gè)劃分是二進(jìn)劃分的，也就是說每個(gè)區(qū)域可以劃分為四個(gè)同樣大小的子區(qū)域。當(dāng)劃分足夠細(xì)致的時(shí)候，每個(gè)子區(qū)域內(nèi)只包含圖像的一條輪廓線。在這樣劃分每個(gè)子區(qū)域內(nèi)， 幾何流要么是水平平行的要么是垂直平行的。如果在一個(gè)子區(qū)間內(nèi)圖像的灰度值是一致正 則的，那么這個(gè)幾何流就變得毫無意義，我們可以不加定義。在包含輪廓的小區(qū)域內(nèi)，幾 何正則的方向就是這個(gè)輪廓的