黎曼猜想簡介

1、黎曼猜想簡介數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的女皇，數(shù)論是數(shù)學(xué)的女皇。K. F. Gauss比哥德巴赫猜想更“輝煌”的猜想20世紀(jì)70年代后期，徐遲先生的哥德巴赫猜想風(fēng)靡神州大地，陳景潤這個(gè) 名字和“皇冠上的明珠”這一詞匯令人耳H新。而今，那皇冠上的明珠，仍在那 里閃光，陳景潤研究員本來已離那皇冠上的明珠僅一步之遙了，可是那明珠卻乂因 陳景潤的離去而變得似乎遙不可及。但就在1995年，英國數(shù)學(xué)家懷爾斯(A. Wiles, 1953-)卻出人意外地解決了 358年懸而未決的費(fèi)馬猜想(即費(fèi)馬大定理)，摘取了 這顆歷史更加悠久、似乎更加奇異的夜明珠，讓人好不驚異，它使純粹數(shù)學(xué)再次引 人注目。當(dāng)我們仰望數(shù)學(xué)群山，發(fā)現(xiàn)在

2、群山之巔，好像都鑲嵌著寶珠或明珠，等待能攀登上 峰頂?shù)挠率空?，哥德巴赫猜想、費(fèi)馬猜想等就像位于鄰近山峰不同峰頂上的明 珠。而當(dāng)我們仰望那最高峰，隱約看見有一顆更加明亮而碩大的寶珠，在純粹數(shù)學(xué) 巔峰閃光，那就是具有近160年歷史的黎曼猜想。讓我們從1858年講起吧。1858年的一天，習(xí)慣于冥思苦想的黎曼先生正漫步在德國格廷根的街道上，忽 然，他腦海里奇思迸發(fā)，急忙趕回家中，寫下了一篇劃時(shí)代的論文，題口叫做“論 不大于一個(gè)給定值的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)”。論文于1859年發(fā)表，這是黎曼生前發(fā)表的惟 一一篇數(shù)論論文，然而卻成了解析數(shù)論的開山作。就是在這篇大作中，黎曼先生提 出了劃時(shí)代的黎曼猜想。黎曼(G. F

3、. B. Riemann, 1826-1866)于1826年9月17日出生在德國漢諾威的 布列斯倫茨。他的父親是位牧師，母親是個(gè)法官的女兒，黎曼在6個(gè)兄弟姐妹中 排行老二。黎曼6歲左右開始學(xué)習(xí)算術(shù)，很快他的數(shù)學(xué)才能就顯露出來。10歲 時(shí)，他的算術(shù)和兒何能力就超過了教他的職業(yè)教師。14歲時(shí)，黎曼進(jìn)入文科中學(xué)，文科中學(xué)校長施馬爾夫斯(C. Schmalfuss)發(fā)現(xiàn)了他 的數(shù)學(xué)才能，便將自己的私人數(shù)學(xué)藏書借給這位生性沉靜的孩子，一次，黎曼居然 借走了著名數(shù)學(xué)家勒讓德寫的859頁的大4開本數(shù)論，并用6天時(shí)間讀完 了它，大約這就是他對數(shù)論感興趣的開始。1846年春，19歲的黎曼注冊進(jìn)入格廷根大學(xué)攻讀神

4、學(xué)，后轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué)和哲學(xué)。1847年春，黎曼轉(zhuǎn)學(xué)到柏林大學(xué)，在那里就讀了兩年，師從著名數(shù)學(xué)家雅可比 (C. G. J. Jacob)和狄里赫利(P. G. L. Dirichilet)等。在大師的指導(dǎo)下，黎曼進(jìn)步很 快，神不知鬼不覺地進(jìn)入世界數(shù)學(xué)前沿。黎曼先生的論著不多，但卻非常深刻。1851年11月，他提交了一篇題為“復(fù)變 函數(shù)一般理論基礎(chǔ)”的論文作為博士學(xué)位論文，論證了現(xiàn)在通稱的“柯西-黎曼條 件”，奠定了復(fù)變函數(shù)論基礎(chǔ)，一舉通過博士論文答辯，獲得憚士學(xué)位。1854年6月10日，由“數(shù)學(xué)王子”高斯(K. F. Gauss, 1777-1855)任主考官，黎曼 發(fā)表了題為“論兒何學(xué)的基本假設(shè)”的

5、就職演講，提出用流形的概念理解空間的實(shí) 質(zhì)，創(chuàng)立了黎曼兒何，一舉通過答辯成為格廷根大學(xué)講師；后于1857年升任副教 授，1839年接替狄里赫利任教授。就憑上述3篇論著，黎曼奠定了他在數(shù)學(xué)史上不可替代的偉大地位。黎曼兒何后來 成為愛因斯坦廣義相對論的數(shù)學(xué)形式而廣為傳播，以至有人開玩笑說，上帝簡直就 是專門為愛因斯坦廣義相對論準(zhǔn)備了黎曼兒何。而且，至今沒有兒個(gè)人 能像黎曼那樣在憚士論文中就提出了如此突出的創(chuàng)新思想。黎曼的其他數(shù)學(xué)創(chuàng)造均被數(shù)學(xué)界確認(rèn)無疑，惟有黎曼猜想，卻難倒了一代乂一代杰 出數(shù)學(xué)家。理解黎曼猜想相對而言，黎曼猜想比數(shù)論中的其他猜想要復(fù)朵些，因?yàn)槠渌麛?shù)論猜想很多是關(guān)于 整數(shù)、素?cái)?shù)等數(shù)字

6、本身的，而黎曼猜想則涉及復(fù)變函數(shù)，要說清楚必須用數(shù)學(xué)符號 表述。要理解黎曼猜想，首先得從黎曼©函數(shù)(讀作Zeta函數(shù))說起。早在1749年，著名數(shù)學(xué)家歐拉(L. Euler, 1707-1783)就研究了實(shí)變量形式的乙 函數(shù)，他證明當(dāng)s>l時(shí)，下面的恒等式(現(xiàn)在稱為歐拉恒等式)成立：工宀仃(1十)其中E叫和號，這里表示從n=l開始，累加至口叫積號，這里表示對所有p 求連乘積。P表示素?cái)?shù)。而黎曼1859年的創(chuàng)新是將變量s看作復(fù)變量，并引進(jìn)記號：OC口)=工 n sJUs I這就是黎曼匚函數(shù)，其中s二0+it為復(fù)變量，實(shí)部記作Res二0。使(s)=0的點(diǎn)叫做匚(s)的零點(diǎn)。負(fù)偶數(shù)-

7、2, -4, -6,都是©(s)的零點(diǎn)，叫 做平凡零點(diǎn)，平凡零點(diǎn)都是實(shí)零點(diǎn)；此外發(fā)現(xiàn)的所有零點(diǎn)都具有l(wèi)/2+it形式，叫 做非平凡零點(diǎn)，非平凡零點(diǎn)都是復(fù)零點(diǎn)。簡單地說，黎曼猜想就是想像©(s)=0時(shí)Res二1/2,即所有非平凡零點(diǎn)都位于 0=1/2這條直線上。這條直線叫做臨界線。嚴(yán)格地說，黎曼猜想III黎曼在1859年的那篇著名論文中提出的6個(gè)猜想構(gòu)成：(1) r (s)在帶狀區(qū)域OWo W1中有無窮多個(gè)零點(diǎn)(亦即r (s) =0在帶狀區(qū)域 OWo W1中有無窮多個(gè)解)。這種零點(diǎn)叫做非平凡零點(diǎn)。(2) 以乂(T)表示g (s)在矩形區(qū)域0 W o W 1, 0W tWT中的

8、零點(diǎn)個(gè)數(shù)，則 有N(T)(T/2n)log(T/2 n ) -T/2 n弓弓弓"(3)以P表示C (s)的非平凡零點(diǎn)，表示對所有非平凡零點(diǎn)求和，則級數(shù)收斂，而級數(shù)發(fā)散。0(4)A=-log2和B為常數(shù)時(shí)，。(5) g (s)的全部非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都是1/2。J(X)- V A ( 77)/log/72£和(6)對于函數(shù)稱為黎曼素?cái)?shù)函數(shù)心2嚴(yán)叫L° J 其中為曼哥 特函數(shù)。以上6個(gè)猜想除(5)外均已被證實(shí)，現(xiàn)在就留下猜想(5)未被證明，這就是通常所 說的黎曼猜想。純粹數(shù)學(xué)航標(biāo)解決黎曼猜想的意義何在？ 一句話，黎曼猜想就像是純粹數(shù)學(xué)航標(biāo)，可以指引純粹 數(shù)學(xué)的航向。從現(xiàn)

9、有數(shù)學(xué)研究和推論看黎曼猜想是合理的，因此希望最終能證明它?；蛘咴O(shè)法找 出C(s)的哪怕只是一個(gè)不在1/2線上的非平凡零點(diǎn)，就可以否認(rèn)黎曼猜想。與費(fèi)馬猜想有些類似的歐拉(L. Euler, 1707-1783)猜想就是因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)反例而被否 證的一個(gè)例子。歐拉是舉世公認(rèn)的少數(shù)兒個(gè)大數(shù)學(xué)家之一，對數(shù)學(xué)做出過極大貢獻(xiàn)，數(shù)學(xué)中以他的 名字命名的公式、方程、定理等比比皆是。有人曾問數(shù)學(xué)大師克萊因：'你認(rèn)為數(shù) 學(xué)中最偉大的公式是什么？”克萊因毫不含糊地回答：“歐拉公式?！睘槭裁?呢？據(jù)說克萊因的解釋是：歐拉公式它把數(shù)學(xué)中5個(gè)最重要的數(shù)聯(lián)系在一起：0,1, n, i和e。由此，簡單之中蘊(yùn)涵的深刻可見一斑

10、，歐拉的功績也昭然在目。而歐拉猜想則是說：當(dāng)n$4時(shí)，方程無解。自歐拉猜想提出200多年來，既未能證明它乂未能否證它。雖然不少數(shù)學(xué)家認(rèn)為 歐拉猜想應(yīng)能成立，但1988年，哈佛大學(xué)的埃爾基(N. Elkies)教授卻發(fā)現(xiàn)了一 個(gè)反例，隨后埃爾基還證明4次方情形有無窮多個(gè)解。這說明未經(jīng)證明的猜想是 多么不可靠，無論提出它的人多么著名和偉大，猜想必須證明。黎曼猜想之所以重要，原因在于它不是孤立的猜想，通過它可以將純粹數(shù)學(xué)中的許 多問題聯(lián)系在一起。下面分三個(gè)方面說明：cg)= y '- 首先，黎曼1函數(shù)與狄里赫利(P. GL. Dirichlet, 1805- 1859)L函數(shù)一道構(gòu)成解析數(shù)論

11、的核心。設(shè)q$l, X是模q的特征，則復(fù)變函數(shù)上式稱為對應(yīng)于特征X的狄里赫利L函數(shù)。顯然，狄里赫利L函數(shù)是黎曼匚函數(shù)的推廣， 相應(yīng)于狄里赫利L函數(shù)有廣義黎曼猜想：L函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都在臨界直線 o= 1/2 上。解析數(shù)論在很大程度上是圉繞黎曼匚函數(shù)和狄里赫利L函數(shù)的零點(diǎn)性質(zhì)展開的， 許多數(shù)論函數(shù)的母函數(shù)最終也都與黎曼匚函數(shù)和狄里赫利L函數(shù)有關(guān)。解析數(shù)論 的一個(gè)最基本、最重要的內(nèi)容，就是研究黎曼匚函數(shù)和狄里赫利L函數(shù)及其零點(diǎn) 性質(zhì)。C)x血代數(shù)數(shù)論在很大程度上則是圉繞戴德金(J. W. R.Dedelkind, 1831-1916)函數(shù) 展開的：“仏其中A過代數(shù)數(shù)域K的整數(shù)環(huán)的所有非零理想。

12、的解析性質(zhì)包含了數(shù)域K的許多算術(shù)和代數(shù)信息。也是黎曼1函數(shù)的一個(gè)推廣。實(shí)際上，數(shù)論研究的中心問題可以歸納如下：對于各種數(shù)論研究對象X,可以考慮構(gòu)造一個(gè)復(fù)變函數(shù)匚或L,使得T或L的解 析特性(包括零點(diǎn)和極點(diǎn)特性、函數(shù)方程等)能反映X的算術(shù)和代數(shù)特性。因此，黎曼匚函數(shù)和狄里赫利L函數(shù)處于數(shù)論的中心地位。其次，以黎曼猜想為基礎(chǔ)，可以證明許多有趣的推論，尤其是有些推論后來被無 條件地證明了，這樣，就加強(qiáng)了人們認(rèn)為黎曼猜想成立的信心。例如，如果黎曼猜想成立，則匚函數(shù)在除。二1/2以外的地方就肯定沒有零點(diǎn)，這 樣，在。二1上顯然也沒有零點(diǎn)。于是，法國數(shù)學(xué)家哈達(dá)馬(Hadamard)和比利時(shí)數(shù) 學(xué)家德萬普(

13、de la Vallee Poussin)據(jù)此在1896年分別獨(dú)立證明了素?cái)?shù)定理：X當(dāng)Xf8時(shí)后來，素?cái)?shù)定理被許多數(shù)論專家用其他方法進(jìn)一步證明或改進(jìn)，現(xiàn)已確認(rèn)無疑。 第三，通過研究黎曼猜想的等價(jià)命題、強(qiáng)命題、弱命題、關(guān)系命題等，可以將純 粹數(shù)學(xué)的一些核心問題緊密地聯(lián)系在一起，使之構(gòu)成一個(gè)美妙的系統(tǒng)。黎曼猜想的等價(jià)命題如劉維爾(Lionville)函數(shù)猜想：對任何£ >0 , 有丫 >1(/7)= 0(/2)x1皿二1 14(/?)=(-1)其中 入(n)是劉維爾函數(shù)MW - g卅黎曼猜想的強(qiáng)命題如梅頓(Mertens)猜想(1897年由奧地 利數(shù)學(xué)家梅頓提出)：對于x&g

14、t;l,其中而U(n)是梅比烏斯(Mobius)函數(shù)。山梅頓猜想可以立即推出黎曼猜想。但1983年奧丁科(Odlyzko)和里爾(Riele)借助計(jì)算機(jī)證明了梅頓猜想是錯(cuò)誤的， 推翻了這個(gè)猜想。因此，比黎曼猜想強(qiáng)的猜想似乎很難成立。黎曼猜想的弱命題如韋伊猜想：對于虧格為g的曲線C,有N廠(1+ 刊/r>0p由韋伊猜想可以推出的所有零點(diǎn)在Re s二 1/2 上。1934年哈斯(H. Hasse)證明它對于橢圓曲線成立；1948年韋伊證明對于一般代數(shù) 曲線成立；1973年德列(P. Deligne)證明對于一般代數(shù)簇成立；使曲線的黎曼猜 想得到證明。這樣，比黎曼猜想弱的命題似乎不難成立。既然

15、比黎曼猜想強(qiáng)的猜想很難成立，比黎曼猜想弱的猜想不難成立，那么問題的關(guān) 鍵就是黎曼猜想本身了。與之相關(guān)的還有貝赫-斯維訥通-戴爾(Birch-Swinnerton-Dyer)猜想，是說對于有 理數(shù)域Q上的橢圓曲線E, L(E, s)在s二1上有一零點(diǎn)，其零點(diǎn)階r等于E的蒙 德爾-韋伊(Mordell-Weil)群的秩。該猜想已被克萊數(shù)學(xué)會與黎曼猜想一道列入七 個(gè)千禧年數(shù)學(xué)難題之一。因此，黎曼猜想成為純粹數(shù)學(xué)的核心問題之一。解決了黎曼猜想，純粹數(shù)學(xué)的許多 問題就將迎刃而解。素?cái)?shù)分布的一些猜想素?cái)?shù)在正整數(shù)中的分布時(shí)疏時(shí)密很不規(guī)則，致使很多看起來很通俗易懂的問題長 期得不到滿意的解答。1912年徳國數(shù)

16、學(xué)家蘭道收集了當(dāng)時(shí)未解決的四個(gè)古老的猜 想：川+ 1 1）有無窮多個(gè)自然數(shù)n,使得是素?cái)?shù)；2）哥德巴赫猜想：任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素樹之和；3）李生素?cái)?shù)猜想：存在無窮多對素?cái)?shù)，它們的差為2；斥+ 1川4）杰波夫猜想：對于一切自然數(shù)n,在 和之間至少存在一個(gè)素?cái)?shù)。以上介紹了關(guān)于素?cái)?shù)分布的猜想的一部分，雖然通俗易懂，要想證明或推翻，即使 是前進(jìn)一步，都是極為困難的，但是正如希爾伯特所說的，黎曼猜想的證明將會對 這些問題的解決起到至關(guān)重要的作用。如哥德巴赫猜想是1742年提岀的，詳細(xì)的來說包括兩點(diǎn)：（1）每個(gè)不小于6的偶 數(shù)是2個(gè)奇素?cái)?shù)之和；（2）每個(gè)不小于9的奇數(shù)是3個(gè)奇素?cái)?shù)之和。其

17、中（2）已 被證明，（1）的最好結(jié)果是1973年陳景潤證出的“充分大偶數(shù)是一個(gè)素?cái)?shù)與一個(gè) 素因子不超過2的數(shù)之和”（簡稱“1+2”），是用篩法證得的。有人認(rèn)為，篩法已 經(jīng)被陳景潤發(fā)揮到了極限，今后要推進(jìn)哥德巴赫猜想研究大約只能采用其他創(chuàng)新方 法了。而且，值得指出的是：迄今為止，哥德巴赫猜想研究的最好結(jié)果是在廣義黎 曼猜想成立的前提下證得的，而哥德巴赫猜想本身已經(jīng)成為數(shù)論中一個(gè)相對孤立的 猜想。華林問題與哥德巴赫猜想相結(jié)合，形成華林-哥德巴赫問題：充分大的正整數(shù)是否 可以表示成為有限個(gè)素?cái)?shù)的k次方和？這是一個(gè)華林問題和哥德巴赫猜想的李生 難題，現(xiàn)在只證明了任一充分大的奇數(shù)可以表示成為9個(gè)素?cái)?shù)的立

18、方和。素?cái)?shù)論中著名的猜想和難題不少，值得一提的還有：高斯猜想：將實(shí)整數(shù)的素因子惟一分解定理推廣到復(fù)整數(shù)是數(shù)學(xué)王子高斯的一大數(shù) 學(xué)貢獻(xiàn)，但是，對某些實(shí)代數(shù)數(shù)域中的代數(shù)整數(shù)，素因子惟一分解定理卻不一定成 立。引進(jìn)類數(shù)h后，數(shù)學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)h二1時(shí)，素因子惟一分解定理才成 立。然而，計(jì)算類數(shù)卻是非常困難的數(shù)學(xué)問題，高斯猜想是說，類數(shù)21的實(shí)二 次數(shù)域（屬于實(shí)代數(shù)數(shù)域）有無窮多。這是一個(gè)有近200年歷史的代數(shù)數(shù)論難題。 另外，素?cái)?shù)論中還有三個(gè)古老的問題：完全數(shù)問題。等于自己因數(shù)之和的正整數(shù)叫完全數(shù)，例如6二1+2+3,28二1+2+4+7+14,等等?，F(xiàn)在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的完全數(shù)均為偶數(shù)。完全數(shù)問題是

19、：奇完全 數(shù)是否存在？完全數(shù)究竟有多少？這是一個(gè)從古希臘延續(xù)至今懸而未決的最古老數(shù) 論難題，已有2500多年歷史。親和數(shù)問題。真因子之和互為對方的一對正整數(shù)叫親和數(shù)，例如220和284, 220 的真因子和為1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110二284,而284的真因子和為 1+2+4+71+142二220。親和數(shù)問題是：是否存在由一個(gè)偶數(shù)和一個(gè)奇數(shù)構(gòu)成的親和 數(shù)？親和數(shù)究竟有多少？這也是一個(gè)古希臘時(shí)代流傳下來的難題。合同數(shù)問題。三邊均為有理數(shù)的三角形叫有理三角形，可以作為有理三角形面積數(shù) 的正整數(shù)叫合同數(shù)。例如6就是邊長分別為3, 4, 5的三角形的面積數(shù)，因而是 個(gè)合同數(shù)。合同數(shù)問題是：究竟哪些正整數(shù)是合同數(shù)？這是一個(gè)具有1000多年歷 史的問題，目前只確切知道4000以下的正整數(shù)中的合同數(shù)。著名數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基曾曾經(jīng)說：我們數(shù)論知識的積累，不僅依靠已經(jīng)證明了的理 論，而且也依靠那些未知的猜想。也就是說，人們在研究這些猜想的過程中豐富了自己的知識，從而促進(jìn)了數(shù)論和數(shù) 學(xué)其他分支的發(fā)展。黎曼猜想的進(jìn)展時(shí)至今日，人們?yōu)樽C明黎曼猜想做了很多驚人的工作：1968年美國威斯康辛大學(xué)的三位數(shù)學(xué)家用計(jì)算機(jī)來證明T函數(shù)的前三口萬個(gè)非平 凡零點(diǎn)都落在臨界線上；最近，勃賴特的汁算證實(shí)了乙函數(shù)的開頭七千萬個(gè)非平 凡零點(diǎn)都位于臨界線上?，F(xiàn)在處