概率論自測題

1、 第一章 自測題一、填空題（每小題2分，共計(jì)10分）1.概率是刻劃_ _的指標(biāo).2.實(shí)際推斷原理的內(nèi)容是 . 3.設(shè)分別代表甲，乙，丙命中目標(biāo)，則表示 .4.將紅、黃、藍(lán)3個(gè)球隨機(jī)的放入4個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子的容球數(shù)不限，則有三個(gè)盒子各放一個(gè)球的概率是 .5.設(shè)為隨機(jī)事件，已知，則 ； .二、是非題（每小題2分，共計(jì)20分）1.（ ）從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，發(fā)現(xiàn)5件次品，則該批產(chǎn)品的次品率為5%.2.（ ）若事件為對立事件，則與互斥，反之不真.3.（ ）對于事件，若，則與互斥.4.（ ）在古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)是不可能事件.5.（ ）若且，則.6.（ ）設(shè)與是兩個(gè)概率不為零的互不

2、相容事件，則.7.（ ）對于事件，若，則. 8.（ ）設(shè)隨機(jī)事件相互獨(dú)立，則A與相互獨(dú)立.9.（ ）設(shè)且，則.三、選擇題（每小題2分，共計(jì)10分）1.某學(xué)生參加兩門外語考試，設(shè)事件=第門外語考試通過 (=1,2)，則事件兩門外語考試至少有一門沒通過可以表示為( ). (A) ； （B）； （C）； （D）2.設(shè)事件滿足關(guān)系式，則關(guān)系式的意義是( ).（A）當(dāng)A發(fā)生時(shí)，B或C至少有一個(gè)不發(fā)生； （B）當(dāng)A發(fā)生時(shí)，B和C必定都不發(fā)生；（C）當(dāng)B和C都不發(fā)生時(shí)，A必定發(fā)生； （D）當(dāng)B或C至少有一個(gè)不發(fā)生時(shí)，A必定發(fā)生.3.設(shè)事件滿足，則（ ）.（A）；（B）；（C）；（D）.4.設(shè)，且，則（ ）.

3、（A）A、B互斥； （B）A、B獨(dú)立； （C）A、B不獨(dú)立； （D）A與B互逆.5.設(shè)是三個(gè)相互獨(dú)立的事件，且，則下列四對事件中，不獨(dú)立的是（ ）.（A）與；（B）與；（C）與；（D）與.四、計(jì)算1. （10分）設(shè)事件滿足，求.2. （5分）已知事件滿足，且，求.3. （5分）10個(gè)運(yùn)動隊(duì)平均分成兩組預(yù)賽，計(jì)算最強(qiáng)的兩個(gè)隊(duì)被分在同一組內(nèi)的概率.4. （10分）某醫(yī)院用某種新藥醫(yī)治流感，對病人進(jìn)行試驗(yàn)，其中的病人服此藥，的病人不服此藥，五天后有70%的病人痊愈.已知不服藥的病人五天后有10%可以自愈.（1）求該藥的治愈率；（2）若某病人五天后痊愈，求他是服此藥而痊愈的概率.5. （10分）甲袋中

4、有兩個(gè)白球，四個(gè)黑球，乙袋中有四個(gè)白球，兩個(gè)黑球.現(xiàn)在擲一均勻硬幣，若得正面就從甲袋中連續(xù)摸n次球（取后放回），若得反面就從乙袋中摸n次.若已知摸到的n個(gè)球全是白球.求這些球是從甲袋中取出的概率. 6. （10分）12個(gè)乒乓球中3個(gè)舊的，9個(gè)新的.第一次比賽時(shí)取出三個(gè)用完后放回，第二次比賽時(shí)又取出三個(gè).求第二次取出的三個(gè)中有兩個(gè)新球的概率.五、（10分）幾何概型的樣本空間S與隨機(jī)事件如圖所示，試證相互獨(dú)立.第一章 自測題參考答案一、填空題（每小題2分，共計(jì)10分）1.概率是刻劃 一次試驗(yàn)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性很小 _的指標(biāo).2.實(shí)際推斷原理的內(nèi)容是 一次試驗(yàn)小概率事件一般不會發(fā)生 . 3.設(shè)分別

5、代表甲，乙，丙命中目標(biāo)，則表示 甲、乙、丙至少一人沒命中目標(biāo) .4.將紅、黃、藍(lán)3個(gè)球隨機(jī)的放入4個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子的容球數(shù)不限，則有三個(gè)盒子各放一個(gè)球的概率是.5.設(shè)為隨機(jī)事件，已知，則 0.4 ； 0.1 . 二、是非題（每小題2分，共計(jì)20分）1.（ ）從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，發(fā)現(xiàn)5件次品，則該批產(chǎn)品的次品率為5%.2.（ ）若事件為對立事件，則與互斥，反之不真.3.（ ）對于事件，若，則與互斥.4.（ ）在古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)是不可能事件.5.（ ）若且，則.6.（ ）設(shè)與是兩個(gè)概率不為零的互不相容事件，則.7.（ ）對于事件，若，則. 8.（ ）設(shè)隨機(jī)事件相互獨(dú)立，

6、則A與相互獨(dú)立.9.（ ）設(shè)且，則.三、選擇題（每小題2分，共計(jì)10分）1.某學(xué)生參加兩門外語考試，設(shè)事件=第門外語考試通過 (=1,2)，則事件兩門外語考試至少有一門沒通過可以表示為( D ). (A) ； （B）； （C）； （D）2.設(shè)事件滿足關(guān)系式，則關(guān)系式的意義是( A ).（A）當(dāng)A發(fā)生時(shí)，B或C至少有一個(gè)不發(fā)生； （B）當(dāng)A發(fā)生時(shí)，B和C必定都不發(fā)生；（C）當(dāng)B和C都不發(fā)生時(shí)，A必定發(fā)生； （D）當(dāng)B或C至少有一個(gè)不發(fā)生時(shí)，A必定發(fā)生.3.設(shè)事件滿足，則（ D ）.（A）；（B）；（C）；（D）.4.設(shè)，且，則（ B ）.（A）A、B互斥； （B）A、B獨(dú)立； （C）A、B不獨(dú)立

7、； （D）A與B互逆.5.設(shè)是三個(gè)相互獨(dú)立的事件，且，則下列四對事件中，不獨(dú)立的是（ B ）.（A）與；（B）與；（C）與；（D）與.四、計(jì)算1. （10分）設(shè)事件滿足，求.解 ，.， .(另法:通過 也可計(jì)算. )2. （5分）已知事件滿足，且，求.解 .3. （5分）10個(gè)運(yùn)動隊(duì)平均分成兩組預(yù)賽，計(jì)算最強(qiáng)的兩個(gè)隊(duì)被分在同一組內(nèi)的概率.解 (分成的兩組是可區(qū)分的, 如A組和B組).4. （10分）某醫(yī)院用某種新藥醫(yī)治流感，對病人進(jìn)行試驗(yàn)，其中的病人服此藥，的病人不服此藥，五天后有70%的病人痊愈.已知不服藥的病人五天后有10%可以自愈.（1）求該藥的治愈率；（2）若某病人五天后痊愈，求他是服

8、此藥而痊愈的概率.解 （1）設(shè) （服藥），（痊愈）. ， .（2）.5. （10分）甲袋中有兩個(gè)白球，四個(gè)黑球，乙袋中有四個(gè)白球，兩個(gè)黑球.現(xiàn)在擲一均勻硬幣，若得正面就從甲袋中連續(xù)摸n次球（取后放回），若得反面就從乙袋中摸n次.若已知摸到的n個(gè)球全是白球.求這些球是從甲袋中取出的概率. 解 設(shè)（硬幣擲得正面）=（甲袋中連續(xù)摸n次球），（摸到的n個(gè)球全是白球）. .6. （10分）12個(gè)乒乓球中3個(gè)舊的，9個(gè)新的.第一次比賽時(shí)取出三個(gè)用完后放回，第二次比賽時(shí)又取出三個(gè).求第二次取出的三個(gè)中有兩個(gè)新球的概率.解 設(shè)（第一次取出個(gè)新球） ,(第二次取出的三個(gè)中有兩個(gè)新球).(本題設(shè)（第一次取出個(gè)舊球

9、） 也可以.)五、（10分）幾何概型的樣本空間S與隨機(jī)事件如圖所示，試證相互獨(dú)立. 證明 只要證(本題利用獨(dú)立性的定義式也可證明). ，所以相互獨(dú)立.第二章自測題（每題10分）（時(shí)間60分鐘）1、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 試求下列概率：； ； ； ； 2、假設(shè)在一次考試中，5名男同學(xué)與5名女同學(xué)的成績各不相同現(xiàn)將這10名同學(xué)的成績按大小進(jìn)行排列，令表示女同學(xué)得到的最高名次，試求的分布律3、在一次試驗(yàn)中，設(shè)事件發(fā)生的概率為，現(xiàn)將此試驗(yàn)獨(dú)立、重復(fù)地進(jìn)行下去，直至與都發(fā)生為止設(shè)表示所需要的試驗(yàn)次數(shù)，試求的分布律4、問常數(shù)取什么值時(shí)，數(shù)列是離散型隨機(jī)變量的分布律？5、一個(gè)人在一年中患感冒的次數(shù)服從參數(shù)為

10、的Poisson分布現(xiàn)有一種預(yù)防感冒的新藥，它對于22%的人來講，可將上面的參數(shù)降為（稱為療效顯著）；對37%的人來講，可將上面的參數(shù)降為（稱為療效一般）；而對于其余的人來講則是無效的現(xiàn)有一人服用此藥一年，在這一年中，他患了2次感冒，求此藥對他是“療效顯著”概率有多大？6、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為試求：常數(shù)；的分布函數(shù)；7、設(shè)電子元件的電阻（單位：）服從正態(tài)分布，現(xiàn)檢查15個(gè)同類型的電子元件，求這15個(gè)元件中至少有兩個(gè)元件的電阻大于55的概率是多少？8、設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為（1）、求系數(shù)a、b；（2）、P(-2<<2);（3）、 概率密度f(x).9、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函

11、數(shù)求：Y=X2的概率密度10、假設(shè)一部機(jī)器在一年內(nèi)發(fā)生故障的概率為 ，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作，若一周 個(gè)工作日里無故障，可獲利潤 萬元，發(fā)生一次故障仍可獲利潤 萬元；發(fā)生二次故障所獲利潤 萬元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損 萬元，求一周內(nèi)可獲利潤的分布律。第二章自測題答案1、； ； ； ； 2、1234563、4、5、設(shè)， ，6、； 7、設(shè)，則 ， 觀察15個(gè)電子元件的電阻相當(dāng)于作一15重的Bernoulli試驗(yàn)，因此若設(shè) ：15個(gè)電子元件中電阻大于55的元件個(gè)數(shù)則再設(shè)：則 8、(1) ；（2）；（3）(2) P(>0.3)=9、10、以 表示一周內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障天數(shù)，且 ，則以 表

12、示所獲利潤，則第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 自測題(90分鐘)一、 單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1設(shè)則 （ ）（A） （B） （C） （D）Y不一定服從正態(tài)分布2設(shè)相互獨(dú)立，都服從區(qū)間0,1上的均勻分布，則服從區(qū)間或區(qū)域上的均勻分布的是（ ）（A） （B） （C） （D）3設(shè)隨機(jī)變量X和Y, 已知（ ）（A） （B） （C） （D）4設(shè)相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則（ ）（A） （B） （C） （D）5設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且，則下列各式中正確的是（ ） （A） （B） （C） （D）二、 填空題（每空3分，共24分）1設(shè)的聯(lián)合分布律如下，且事件X=0與X+Y=1相互獨(dú)立，則a= ,

13、 b= . XY0100.4b1a0.12設(shè)相互獨(dú)立，表中列出的聯(lián)合分布律和關(guān)于X和Y的邊緣分布律的部分?jǐn)?shù)值， XY012則 。 p.j01/811/8pi.1/63設(shè)相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，則 。4設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立都服從b(2,p)，且，則 。5已知的概率密度為，則 ， 。三、 計(jì)算題（共61分）1（10分）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且服從同一分布的分布律為 又設(shè)，求出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于隨機(jī)變量、的邊緣分布律。2（27分）設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 ，求 常數(shù)k； 關(guān)于隨機(jī)變量、的邊緣概率密度，并判斷是否相互獨(dú)立； (3) 條件概率密度; (4) ；

14、 (5) ； (6) 隨機(jī)變量Z=2X-Y的概率密度。3（6分）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，其中X的分布律為PX=1=0.3，PX=2=0.7，而Y是連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為F(y)，求隨機(jī)變量Z=X+Y的分布函數(shù)FZ(z)。4（18分）一旅客到達(dá)汽車站的時(shí)間X均勻分布在早上7:55至8點(diǎn)，而汽車在這段時(shí)間開出的時(shí)刻為Y，且Y具有概率密度（1） 求乘客能乘上汽車的概率；（2）求ZXY的概率密度。第三章 多維隨機(jī)變量及其分布自測題 參考答案四、 單項(xiàng)選擇題1D， 2A， 3C， 4. D，5. B二、填空1. 0.4 , 0.1 。2 7/24 , 2/3 。31/9 。432/81 。5, 1/2

15、 。三、計(jì)算題1解：二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及、Y的邊緣分布律為 YX2解 (1)(2)當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，所以因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，所以不相互獨(dú)立。 (3) 當(dāng)0<x<1時(shí)，(4) 由(3)得，即當(dāng)時(shí)，Y服從U(0，1)，所以。(5)因?yàn)樗浴?(6)當(dāng)時(shí)，所以4（1）X服從U（0，5），乘客能乘上汽車的概率即，得； （2）第四章 自測題時(shí)間：120分鐘一、 單項(xiàng)選擇題 (每題2分，共10分)1隨機(jī)變量X, Y和X+Y的方差滿足D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X與Y (A) 不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件；(B) 不相關(guān)的必要條件，但不是充分條件；(C) 獨(dú)立的必要條件，但不是充分條件；(

16、D) 獨(dú)立的充分必要條件。 ( )2若方差D(X), D(Y)為非零數(shù)，且E(XY)=E(X)E(Y)，則有 (A) X與Y一定相互獨(dú)立； (B) X與Y一定不相關(guān)；(C) D(XY)=D(X)D(Y)； (D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)。 ( )3設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布，記U=X+Y，V=X-Y，則隨機(jī)變量U和V必然 (A) 不獨(dú)立；(B) 相互獨(dú)立；(C) 不相關(guān)；(D) 無法判斷。 ( )4若隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)，則與之等價(jià)的條件是 (A) D(XY)=D(X)D(Y)；(B) D(X+Y)=D(X-Y)；(C) D(XY)¹D(X)D(Y)；(D) D(X+Y)&

17、#185;D(X-Y)。( )5現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，其中8張為2元，2張為5元，某人從中隨機(jī)地?zé)o放回地抽取3張，則此人所得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為(A) 6元； (B) 12元； (C) 7.8元； (D) 9元。 ( )二、 填空題 (每題3分，共18分)1設(shè)D(X)=4，D(Y)=9，rXY=0.6，則D(3X-2Y)= 。2已知隨機(jī)變量XN(0, s2)(s>0)，Y在區(qū)間上服從均勻分布，如果D(X-Y)=s2，則X與Y的相關(guān)系數(shù)rXY= 。3二維隨機(jī)變量(X, Y)服從正態(tài)分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X與Y的相關(guān)系數(shù)rXY=-1/2，則當(dāng)a= 時(shí)，aX+Y與Y相互

18、獨(dú)立。4設(shè)XN(0, 4)，Y服從指數(shù)分布，其概率密度為如果Cov(X, Y)=-1，Z=X-aY，Cov(X, Z)=Cov(Y, Z)，則a= ，X與Z的相關(guān)系數(shù)rXZ= 。5設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間-1, 2上服從均勻分布，隨機(jī)變量 則D(Y)= 。6設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，用切比雪夫不等式估計(jì)P½X-2½³4£ 。三、 基本計(jì)算題 (共54分)1(10分) 設(shè)x, h是相互獨(dú)立且服從同一分布的隨機(jī)變量，已知x的分布律為 Px=i=1/3，i=1, 2, 3 又設(shè)X=max(x, h)，Y=min(x, h)，求 (1) 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望

19、E(X)，(2) X與Y的相關(guān)系數(shù)rXY。 2(8分) 設(shè)隨機(jī)變量X, Y的相關(guān)系數(shù)rXY=0.6，且X與Y的分布律分別為：X0 1P0.5 0.5Y-1 1P0.5 0.5試求X與Y的聯(lián)合分布律。 3(8分) 設(shè)(X, Y)的概率密度為(1) 判別X與Y是否相互獨(dú)立？是否相關(guān)？(2) 求 D(X+Y)。 4(10分)設(shè)(X, Y)的聯(lián)合概率密度為求 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，rXY。 5(8分) 設(shè)隨機(jī)變量X1, X2, , Xn相互獨(dú)立，且都服從數(shù)學(xué)期望為1的指數(shù)分布，求Z=min X1, X2, , Xn的數(shù)學(xué)期望與方差。 6(10分) 某系某班共有n名新生，班長從系里領(lǐng)來

20、他們所有的學(xué)生證，隨機(jī)地發(fā)給每一同學(xué)，求恰好拿到自己的學(xué)生證的人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望與方差。 四、綜合題 (共18分)1(8分) 設(shè)某種商品每周需求量X是服從區(qū)間10, 30上均勻分布的隨機(jī)變量，而經(jīng)銷商店進(jìn)貨數(shù)量為區(qū)間10, 30中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可獲利500元，若供大于求則削價(jià)處理，每處理一單位商品虧損100元，若供不應(yīng)求，則可從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每單位商品僅獲利300元，求最優(yōu)進(jìn)貨量。 2(10分) 設(shè)X1, X2, , Xn(n>2)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且均服從N(0, 1)，記 ， Yi=Xi-，i=1, 2, , n求 (1) Yi的方差D(Yi)，i=1, 2

21、, , n； (2) Y1與Yn的協(xié)方差Cov(Y1, Yn)； (3) PY1+Yn£0。 第四章 自測題參考答案與提示時(shí)間：120分鐘四、 單項(xiàng)選擇題 (每題2分，共10分)1隨機(jī)變量X, Y和X+Y的方差滿足D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X與Y (A) 不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件；(B) 不相關(guān)的必要條件，但不是充分條件；(C) 獨(dú)立的必要條件，但不是充分條件；(D) 獨(dú)立的充分必要條件。 ( C )2若方差D(X), D(Y)為非零數(shù)，且E(XY)=E(X)E(Y)，則有 (A) X與Y一定相互獨(dú)立； (B) X與Y一定不相關(guān)；(C) D(XY)=D(X)D(Y)；

22、 (D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)。 ( B )3設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布，記U=X+Y，V=X-Y，則隨機(jī)變量U和V必然 (A) 不獨(dú)立；(B) 相互獨(dú)立；(C) 不相關(guān)；(D) 無法判斷。 ( C )4若隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)，則與之等價(jià)的條件是 (A) D(XY)=D(X)D(Y)；(B) D(X+Y)=D(X-Y)；(C) D(XY)¹D(X)D(Y)；(D) D(X+Y)¹D(X-Y)。( B )5現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，其中8張為2元，2張為5元，某人從中隨機(jī)地?zé)o放回地抽取3張，則此人所得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為(A) 6元； (B) 12元； (C) 7.8元； (D

23、) 9元。 ( C )五、 填空題 (每題3分，共18分)1設(shè)D(X)=4，D(Y)=9，rXY=0.6，則D(3X-2Y)= 28.8 。2已知隨機(jī)變量XN(0, s2)(s>0)，Y在區(qū)間上服從均勻分布，如果D(X-Y)=s2，則X與Y的相關(guān)系數(shù)rXY= 1/4 。3二維隨機(jī)變量(X, Y)服從正態(tài)分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X與Y的相關(guān)系數(shù)rXY=-1/2，則當(dāng)a= 2 時(shí)，aX+Y與Y相互獨(dú)立。4設(shè)XN(0, 4)，Y服從指數(shù)分布，其概率密度為如果Cov(X, Y)=-1，Z=X-aY，Cov(X, Z)=Cov(Y, Z)，則a= -1 ，X與Z的相

24、關(guān)系數(shù)rXZ=。5設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間-1, 2上服從均勻分布，隨機(jī)變量 則D(Y)= 8/9 。6設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，用切比雪夫不等式估計(jì)P½X-2½³4£ 1/8 。六、 基本計(jì)算題 (共54分)1(10分) 設(shè)x, h是相互獨(dú)立且服從同一分布的隨機(jī)變量，已知x的分布律為 Px=i=1/3，i=1, 2, 3 又設(shè)X=max(x, h)，Y=min(x, h)，求 (1) 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)，(2) X與Y的相關(guān)系數(shù)rXY。 答：E(X)=22/9，rXY=8/19。提示：X與Y的聯(lián)合分布律為：YX1 2 3PX=i1231/

25、9 0 02/9 1/9 02/9 2/9 1/91/93/95/9PY=j5/9 3/9 1/912(8分) 設(shè)隨機(jī)變量X, Y的相關(guān)系數(shù)rXY=0.6，且X與Y的分布律分別為：X0 1P0.5 0.5Y-1 1P0.5 0.5試求X與Y的聯(lián)合分布律。 答：YX-1 1010.4 0.10.1 0.4提示：由邊緣分布及相關(guān)系數(shù)確定聯(lián)合分布，設(shè)X與Y的聯(lián)合分布律為YX-1 1PX=i01a bc d0.50.5PY=j0.5 0.513(8分) 設(shè)(X, Y)的概率密度為(2) 判別X與Y是否相互獨(dú)立？是否相關(guān)？(2) 求 D(X+Y)。 答：(1) 不獨(dú)立，相關(guān)。(2) D(X+Y)=5/3

26、6。解 ，同理在0<x<1, 0<y<1內(nèi)，f(x, y)¹fX (x)×fY(y)，所以X與Y不相互獨(dú)立。，由x與y的對稱性知 E(Y)= D(X)=E(X2)-(E(X)2=11/144=D(Y)，Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-1/144，rXY¹0，故X與Y相關(guān)。因此 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X, Y)=5/36, 。4(10分)設(shè)(X, Y)的聯(lián)合概率密度為求 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，rXY。 答：E(X)=2/3，E(Y)=0(由奇偶性及對稱性)，D(X)=1/18，D(Y

27、)=1/6，rXY=0。提示：利用公式D(X)=E(X2)-(E(X)2及求解。5(8分) 設(shè)隨機(jī)變量X1, X2, , Xn相互獨(dú)立，且都服從數(shù)學(xué)期望為1的指數(shù)分布，求Z=min X1, X2, , Xn的數(shù)學(xué)期望與方差。 答：E(Z)=1/n，D(Z)=1/n2。提示：FZ(z)=1-(1-FX (z)n。6(10分) 某系某班共有n名新生，班長從系里領(lǐng)來他們所有的學(xué)生證，隨機(jī)地發(fā)給每一同學(xué)，求恰好拿到自己的學(xué)生證的人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望與方差。 答：E(X)=1，D(X)=1。提示：采用隨機(jī)變量的分解方法求數(shù)學(xué)期望。設(shè) 則 X=X1+X2+Xn， 注意：X1，X2，Xn不相互獨(dú)立， 因此在計(jì)算

28、方差時(shí)，應(yīng)利用公式四、綜合題 (共18分)1(8分) 設(shè)某種商品每周需求量X是服從區(qū)間10, 30上均勻分布的隨機(jī)變量，而經(jīng)銷商店進(jìn)貨數(shù)量為區(qū)間10, 30中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可獲利500元，若供大于求則削價(jià)處理，每處理一單位商品虧損100元，若供不應(yīng)求，則可從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每單位商品僅獲利300元，求最優(yōu)進(jìn)貨量。 答： 23單位商品（近似值）。提示：求進(jìn)貨量a=何值時(shí)E(X)最大。解答： 設(shè)利潤為隨機(jī)變量Y，進(jìn)貨量為a， 則 如下建立利潤Y與需求量X之間的函數(shù)關(guān)系：時(shí)，E(Y)達(dá)到最大值。2(10分) 設(shè)X1, X2, , Xn(n>2)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且均服

29、從N(0, 1)，記 ， Yi=Xi-，i=1, 2, , n求 (1) Yi的方差D(Yi)，i=1, 2, , n； (2) Y1與Yn的協(xié)方差Cov(Y1, Yn)； (3) PY1+Yn£0。 答：D(Yi)=(n-1)/n，Cov(Y1, Yn)=-1/n，PY1+Yn£0=1/2。提示：Cov(Y1, Yn)=E(Y1Yn)-E(Y1)×E(Yn)=E（(X1-)(Xn-)）。第五章 自測題時(shí)間：90分鐘七、 單項(xiàng)選擇題 (每題5分，共10分)1設(shè)X1, X2, , Xn，相互獨(dú)立，且都服從參數(shù)為(>0)的泊松分布,則下列選項(xiàng)正確的是( ) (A

30、)；(B) 當(dāng)n充分大時(shí), 近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；(C) 當(dāng)n充分大時(shí), 近似服從正態(tài)分布N(n, n)；(D) 當(dāng)n充分大時(shí),。 2. 設(shè)X1, X2, , Xn，是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其分布函數(shù)為則辛欽大數(shù)定律對此序列( )(A) 適用; (B)當(dāng)常數(shù)a,b取適當(dāng)?shù)臄?shù)時(shí)適用; (C) 不適用; (D)無法判定.八、 填空題 (每題5分，共15分)1 設(shè)X1, X2, , Xn相互獨(dú)立且都服從參數(shù)=2的指數(shù)分布,則當(dāng)時(shí),依概率收斂于( ).2設(shè)隨機(jī)變量序列Xn相互獨(dú)立且都在-1,1上服從均勻分布,則( ) 3在天平上重復(fù)稱量一重為的物品，假設(shè)各次稱量結(jié)果互相獨(dú)立同服從正態(tài)分布。若以表示

31、次稱量結(jié)果的算術(shù)平均值，則為使 的最小值應(yīng)不小于自然數(shù)（ ）. 三、計(jì)算題 (共45分)1 (15分)一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的，假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克，若用載重量為5噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱才能保障不超載的概率大于0.977.其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)）。 2 (15分)某保險(xiǎn)公司經(jīng)多年的資料統(tǒng)計(jì)表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20%，在隨意抽查的100家索賠戶中被盜的索賠戶數(shù)為隨機(jī)變量。（1）寫出的概率分布；（2）利用棣莫佛拉普拉斯定理，求被盜的索賠戶數(shù)不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值。 附表： 3 (15分) 每顆炮彈

32、命中飛機(jī)的概率為0.01, 求500發(fā)炮彈至少命中7發(fā)的概率. 九、 證明題 (共30分)1. (10分)設(shè)X1, X2, , Xn，是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且證明:2. (20分)設(shè)X1, X2, , Xn，是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，已知記,試證明: 當(dāng)n充分大時(shí), 近似服從正態(tài)分布,并給出其分布參數(shù).參考答案選擇題 (C) (C)填空題1. 8; 2. ; 3. .計(jì)算題.1 解：設(shè)是裝運(yùn)的第i箱的重量（單位：千克），可以將視為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，而n箱的總重量 是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量之和。 由條件知 根據(jù)列維-林德伯格中心極限定理，近似服從N(50n,25n)分布，則每車的裝箱數(shù)n決

33、定于條件： 由此可見，從而n<98.0199,即知每車最多可以裝98箱。計(jì)算題2 解：（1）據(jù)題意，可知100家索賠戶中被盜的索賠戶數(shù)服從二項(xiàng)分布，其參數(shù)，即，且，（2）由，得 計(jì)算題3. 解: 設(shè)隨機(jī)變量X為500發(fā)炮彈中命中的炮彈個(gè)數(shù), 則XB(500,0.01), 則由德莫佛-拉普拉斯中心極限定理有則三證明題1 證明 因?yàn)閄1, X2, , Xn，獨(dú)立同分布,所以也獨(dú)立同分布,且, 由辛欽大數(shù)定律,對任意>0, 有證明題2 證明 因?yàn)閄1, X2, , Xn，獨(dú)立同分布,所以也獨(dú)立同分布,由得, ,由獨(dú)立同分布中心極限定理, 當(dāng)n充分大時(shí)有則 . 證畢.(另一思路)由獨(dú)立同分

34、布中心極限定理, 對任意,當(dāng)n充分大時(shí)有因此, 當(dāng)n充分大時(shí)有. 證畢.第六章 自測題時(shí)間：120分鐘十、 單項(xiàng)選擇題 (每題5分，共25分)1. 設(shè)總體, 其中已知,未知, X1, X2, , Xn是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，則下列表達(dá)式中不是統(tǒng)計(jì)量的是( )(A) (B) (C) (D) 2. 設(shè)隨機(jī)變量X和Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則 ( ) (A) X+Y服從正態(tài)分布；(B) X2+Y2服從c2分布；(C) X2和Y2都服從c2分布；(D) X2/Y2服從F分布。3. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)服從二維正態(tài)分布N(m1, m2, s12, s22, r) (r¹0)，則( )(A

35、) 2X+Y服從正態(tài)分布；(B) X2+Y2服從c2分布；(C) X-Y不服從正態(tài)分布；(D) X2/Y2服從F分布.4設(shè)X1, X2, , X10是來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，,則下列選項(xiàng)正確的是( ) (A)； (B) (C) (D) 5. 設(shè)總體X和Y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布,分別是來自總體X和Y容量為n的樣本均值, 則當(dāng)n固定時(shí), 概率的值隨著的增大而( )(A)單調(diào)增大; (B) 單調(diào)減小; (C)保持不變; (D) 增減不定.十一、 填空題 (每題5分，共15分)a) 設(shè)隨機(jī)變量是取自X的樣本,為樣本均值, 已知，則a ,b的值為( ).2. 設(shè)總體X服從正態(tài)分布,而是來自總體的簡

36、單隨機(jī)樣本，則隨機(jī)變量 服從（ ）分布，參數(shù)為（ ）.3. 設(shè)隨機(jī)變量X服從t(n), 則 服從的分布為( ). 三、計(jì)算題 (共60分)4 設(shè)容量為n的簡單隨機(jī)樣本取自總體N ( 3.4, 36 ),且樣本均值在區(qū)間(1.4,5.4)內(nèi)的概率不小于0.95,問樣本容量n至少應(yīng)取多大？2. 設(shè)X1, X2, , Xn是來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本， 試求 3設(shè)X1, X2, , X16是來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，為樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，若試求參數(shù)a .（）4. 設(shè)總體X服從正態(tài)分布，從中抽取簡單隨機(jī)樣本，（），其樣本均值為，求統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望E(Y). 參考答案1.單項(xiàng)選擇題 (1) C (2

37、)C (3)A (4) C (5) C選擇題4解析: 由此可知當(dāng)n固定時(shí),與無關(guān). 故選擇C. 事實(shí)上與無關(guān).2. 填空題: (1) a=5 , b=-5或者a=-5 , b=5.(2) F; (10,5).填空題2解析: 且顯然此二者相互獨(dú)立，則： (3) F(n,1).填空3解析: 由X服從t(n), 故存在使得, 則.3.計(jì)算題計(jì)算題1解析：設(shè)是取自總體的簡單隨機(jī)樣本，則： 又由于： 則：，查表得, 即知n至少應(yīng)取35.計(jì)算題2解析：總體故且相互獨(dú)立，故，則所以計(jì)算題3解析: , 相互獨(dú)立, 則由t分布的定義知,故則4a為t(15)的上0.95分位點(diǎn), 即計(jì)算題4解析: 第七、八章 自測

38、題 時(shí)間：90分鐘十二、 單項(xiàng)選擇題 (每題3分，共12分)1設(shè)總體XN (1,s 2)，總體YN (2,s 2)，X1, X2, , Xm和Y1, Y2, , Yn分別是來自總體X和總體Y的樣本，樣本方差分別為和，則s 2的無偏估計(jì)量是( ) (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 2設(shè)總體X的概率分布為 X 0 1 2 3 P 其中(0<<1/2)是未知參數(shù)，從總體X中抽取容量為8的一組樣本，其樣本值為3，1，3，0，3，1，2，3，求參數(shù)的矩估計(jì)值( ) （A）1/3 (B) 1/2 (C) 1/4 (D) 1/83 在假設(shè)檢驗(yàn)中，顯著性水平的意義是 ( )(A) 原

39、假設(shè)H0成立，經(jīng)檢驗(yàn)被拒絕的概率；(B) 原假設(shè)H0成立，經(jīng)檢驗(yàn)被接受的概率；(C) 原假設(shè)H0不成立，經(jīng)檢驗(yàn)被拒絕的概率；(D) 原假設(shè)H0不成立，經(jīng)檢驗(yàn)被接受的概率。 4在假設(shè)檢驗(yàn)問題中，如果H0的拒絕域是W，那么樣本值(x1, x2, xn)只可能有下列四種情況，其中拒絕H0且不會犯錯(cuò)誤的是( )(A) H0成立，(x1, x2, xn)W；(B) H0成立，(x1, x2, xn)W；(C) H0不成立，(x1, x2, xn)W；(D) H0不成立，(x1, x2, xn)W。十三、 填空題 (每題3分，共18分)1設(shè)總體X服從參數(shù)為的泊松分布，X1, X2, , Xn是取自X的隨機(jī)

40、樣本，其均值和方差分別為和。如果是的無偏估計(jì)，則a= 。2已知,為未知參數(shù)的兩個(gè)無偏估計(jì)，且與不相關(guān)，。如果也是的無偏估計(jì)，且是,的所有同類型線性組合中方差最小的，則a= ，b= 。3設(shè)X是在一次隨機(jī)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，進(jìn)行了n次試驗(yàn)得一組樣本X1, X2, , Xn，其中事件A發(fā)生了k次。則事件A發(fā)生的概率p的矩估計(jì)為 ；最大似然估計(jì)為 。4設(shè)(X1, X2, Xn)是取自正態(tài)總體XN (,9)的簡單隨機(jī)樣本，其中是未知參數(shù)，樣本均值為，如果對檢驗(yàn)問題H0：=0, H1：¹0。當(dāng)n=25時(shí)，取檢驗(yàn)拒絕域C=(x1, x2, x25)：|0|³ c ，=0.05, 則c

41、 = ；如果檢驗(yàn)拒絕域C=(x1, x2, xn)：|0|³ 1.96 ，則樣本容量n= 。5設(shè)總體XN (,s 2)，X1, X2, X10是來自總體X的樣本，且樣本方差S28.72，檢驗(yàn)假設(shè)H0：s 2=64，H1：s 2>64，顯著性水平=0.05，利用統(tǒng)計(jì)量 求H0拒絕域?yàn)?。6設(shè)總體XN (,s 2)，原假設(shè)H0：=0，若拒絕域?yàn)?ta(n-1),+¥)，則備擇假設(shè)H1： ； 若拒絕域?yàn)椋?#165;，ta/2(n-1)）È(ta/2(n-1),+¥)，則備擇假設(shè)H1： 。 十四、 基本計(jì)算題 (共60分)1(10分) 設(shè)總體X 的概率密

42、度為其中q>0為未知參數(shù)，從總體中抽取樣本X1, X2, , Xn，其觀察值為 x1, x2, , xn，(1) 求參數(shù)q 的最大似然估計(jì)量； (2) 討論是否具有無偏性；(3) 若不是q 的無偏估計(jì)量，修正它，并由此指出q 的一個(gè)無偏量估計(jì)*。2(10 分) 一個(gè)人重復(fù)的向同一目標(biāo)射擊，設(shè)他每次擊中目標(biāo)的概率為p，射擊直至命中目標(biāo)為止。此人進(jìn)行了n(n³1)輪這樣的射擊，各輪射擊的次數(shù)分別為 x1, x2, xn，試求命中率p的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值。 3(10分)設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為，其中為未知參數(shù), 設(shè)X1, X2, , Xn 是來自總體X的樣本。求的矩估計(jì)量，計(jì)算的方差，并討論的無偏性。4(10分) 設(shè)總體X在區(qū)間（0，q）服從均勻分布(未知參數(shù)q >0), X1, X2, Xn是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本。記X(n)max(X1, X2, Xn) .(1) 求X(n)的分布函數(shù)F(n) (x)與密度函數(shù)f(n) (x)；(2) 若對檢驗(yàn)問題H0：q ³2，H1：q <2,取H0的拒絕域C =X(n)£ 1.5，求犯第一類錯(cuò)誤的概率及其最大值； 5(1