一元二次方程培優(yōu)提高例題

1、考點(diǎn)一、概念(1)定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表達(dá)式： 難點(diǎn)：如何理解 “未知數(shù)的最高次數(shù)是2”：該項(xiàng)系數(shù)不為“0”；未知數(shù)指數(shù)為“2”；若存在某項(xiàng)指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。典型例題：例1、下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）A B C D 變式：當(dāng)k 時(shí)，關(guān)于x的方程是一元二次方程。例2、方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為 。針對練習(xí)：1、方程的一次項(xiàng)系數(shù)是 ，常數(shù)項(xiàng)是 。2、若方程是關(guān)于x的一元一次方程，求m的值；寫出關(guān)于x的一元一次方程。3、若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的

2、取值范圍是 。4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，則下列不可能的是（ ）A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考點(diǎn)二、方程的解概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。應(yīng)用：利用根的概念求代數(shù)式的值； 典型例題：例1、已知的值為2，則的值為 。例2、關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為0，則a的值為 。說明：任何時(shí)候，都不能忽略對一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)的限制.例3、已知關(guān)于x的一元二次方程的系數(shù)滿足，則此方程必有一根為 。說明：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于對 “代數(shù)式形式”的觀察，再利用特殊根“-1”巧解代數(shù)式的值。例4、已知是方程的兩個(gè)根，是方程的兩個(gè)根，則

3、m的值為 。針對練習(xí)：1、已知方程的一根是2，則k為 ，另一根是 。2、已知關(guān)于x的方程的一個(gè)解與方程的解相同。求k的值； 方程的另一個(gè)解。3、已知m是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式 。4、已知是的根，則 。5、方程的一個(gè)根為（ ）A B 1 C D 6、若 ?？键c(diǎn)三、解法方法：直接開方法；因式分解法；配方法；公式法關(guān)鍵點(diǎn)：降次類型一、直接開方法：對于，等形式均適用直接開方法典型例題：例1、解方程： =0; 例2、解關(guān)于x的方程：例3、若，則x的值為 。針對練習(xí)：下列方程無解的是（ ）A. B. C. D.類型二、因式分解法:方程特點(diǎn)：左邊可以分解為兩個(gè)一次因式的積，右邊為“0”，方程形式：如， ，典

4、型例題：例1、的根為（ ）A B C D 例2、若，則4x+y的值為 。變式1： 。變式2：若，則x+y的值為 。例3、方程的解為（ ）A. B. C. D.例4、解方程： 例5、已知,則的值為 。變式：已知,且,則的值為 。針對練習(xí)：1、下列說法中：方程的二根為，則 . 方程可變形為正確的有（ ）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2、以與為根的一元二次方程是（）A BC D3、寫出一個(gè)一元二次方程，要求二次項(xiàng)系數(shù)不為1，且兩根互為倒數(shù)： 寫出一個(gè)一元二次方程，要求二次項(xiàng)系數(shù)不為1，且兩根互為相反數(shù)： 4、若實(shí)數(shù)x、y滿足，則x+y的值為（ ）A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D

5、、1或25、方程：的解是 。類型三、配方法在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。典型例題：例1、試用配方法說明的值恒大于0。例2、已知x、y為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式的最小值。例3、已知為實(shí)數(shù)，求的值。例4、分解因式：針對練習(xí)：1、試用配方法說明的值恒小于0。2、已知，則 .3、若，則t的最大值為 ，最小值為 。1、關(guān)于x的方程的兩根同為負(fù)數(shù)，則（ ）A且 B且C且 D且2、如果方程有兩個(gè)同號的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是            （ 

6、60;  ）A、    1       B、    01       C、    01      D、   0類型四、公式法條件：公式： ,典型例題：例1、選擇適當(dāng)方法解下列方程： 說明：解一元二次方程時(shí)，首選方法是因式分解法和直接開方法、其次選用求根公式法；一般不選擇配方法。例2、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1

7、）； （2）. 說明：對于二次三項(xiàng)式的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解，一般情況要用求根公式，這種方法首先令=0，求出兩根，再寫成=.分解結(jié)果是否把二次項(xiàng)系數(shù)乘進(jìn)括號內(nèi)，取決于能否把括號內(nèi)的分母化去.類型五、 “降次思想”的應(yīng)用求代數(shù)式的值； 解二元二次方程組。典型例題：例1、已知，求代數(shù)式的值。例2、如果，那么代數(shù)式的值。例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。說明：在運(yùn)用降次思想求代數(shù)式的值的時(shí)候，要注意兩方面的問題：能對已知式進(jìn)行靈活的變形；能利用已知條件或變形條件，逐步把所求代數(shù)式的高次冪化為低次冪，最后求解。例4、用兩種不同的方法解方程組說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種

8、：先消元，再降次；先降次，再消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學(xué)思想化歸思想，即把新問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們已知的問題.考點(diǎn)四、根的判別式根的判別式的作用：定根的個(gè)數(shù)；求待定系數(shù)的值；應(yīng)用于其它。典型例題：例1、若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 。例2、關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是( )A. B. C. D.例3、已知關(guān)于x的方程(1)求證：無論k取何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰ABC的一邊長為1，另兩邊長恰好是方程的兩個(gè)根，求ABC的周長。例4、已知二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，試求的值.說明：若二次三項(xiàng)式為一個(gè)完全平方式，則其相應(yīng)方程的判別式即：若，則二次三項(xiàng)式為完全平

9、方式；反之，若為完全平方式，則.例5、為何值時(shí)，方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解？有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解？針對練習(xí)：1、當(dāng)k 時(shí)，關(guān)于x的二次三項(xiàng)式是完全平方式。2、當(dāng)取何值時(shí)，多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式？這個(gè)完全平方式是什么？3、已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是 .4、為何值時(shí)，方程組（1）有兩組相等的實(shí)數(shù)解，并求此解；（2）有兩組不相等的實(shí)數(shù)解；（3）沒有實(shí)數(shù)解.5、當(dāng)取何值時(shí)，方程的根與均為有理數(shù)？考點(diǎn)五、方程類問題中的“分類討論”典型例題：例1、關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m為 ,只有一個(gè)根，則m為 。 例2、不解方程，判斷關(guān)于x的方程根的情況。例3、如果關(guān)于x的方程及方程均有實(shí)數(shù)根，問這兩方

10、程是否有相同的根？若有，請求出這相同的根及k的值；若沒有，請說明理由?？键c(diǎn)六、根與系數(shù)的關(guān)系前提：對于而言，當(dāng)滿足、時(shí)，才能用韋達(dá)定理。主要內(nèi)容：應(yīng)用：整體代入求值。典型例題：例1、已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊長恰是方程的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊是（ ） A. B.3 C.6 D.說明：要能較好地理解、運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，必須熟練掌握、之間的運(yùn)算關(guān)系.例2、解方程組：說明：一些含有、的二元二次方程組，除可以且代入法來解外，往往還可以利用根與系數(shù)的關(guān)系，將解二元二次方程組化為解一元二次方程的問題.有時(shí)，后者顯得更為簡便.例3、已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。例4、小明和小紅一起