變化率與導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、3.1變化率與導(dǎo)數(shù)變化率與導(dǎo)數(shù)3.1.1 3.1.1 變化率問題變化率問題34( )3V rr問題問題1 1 氣球膨脹率氣球膨脹率: :氣球的體積氣球的體積V V與半徑與半徑r r之間函數(shù)關(guān)系為之間函數(shù)關(guān)系為33()4Vr V2( )4.96.510h ttt 問題問題2 2 高臺跳水運(yùn)動中，運(yùn)發(fā)動相對于水面的高度高臺跳水運(yùn)動中，運(yùn)發(fā)動相對于水面的高度h h與起跳后時(shí)間與起跳后時(shí)間t t存函數(shù)關(guān)系為存函數(shù)關(guān)系為引導(dǎo)：引導(dǎo)：這一景象中，哪些量在改動？這一景象中，哪些量在改動？ 變量的變化情況？變量的變化情況？ 引入氣球平均膨脹率的概念引入氣球平均膨脹率的概念3343( )( )34VV rrr

2、V當(dāng)空氣容量從添加時(shí)，半徑添加了當(dāng)空氣容量從添加時(shí)，半徑添加了 r(1)r(1)r(0)= 0.62 r(0)= 0.62 當(dāng)空氣容量從加時(shí)，半徑添加了當(dāng)空氣容量從加時(shí)，半徑添加了 r(r() )r(r()= 0.)= 0. 探求活動探求活動 氣球的平均膨脹率是一個(gè)特殊的情況，我們把這一思緒延伸到函數(shù)上，歸納一下得氣球的平均膨脹率是一個(gè)特殊的情況，我們把這一思緒延伸到函數(shù)上，歸納一下得出函數(shù)的平均變化率出函數(shù)的平均變化率21212121()()()()r Vr VfxfxVVxx設(shè)某個(gè)變量設(shè)某個(gè)變量 f f 隨隨 x x 的變化而變化，的變化而變化，0limxfx 0()( )limxf xx

3、f xx 從從 x 經(jīng)過經(jīng)過 x ， 量量 f 的改動量為的改動量為()()ffxxfx 量量 f f 的平均變化率為的平均變化率為()( )ffxxfxxx 0 xfx 令， 則得到 在 的（瞬時(shí)）變化率：平均速度反映了汽車在前平均速度反映了汽車在前10秒內(nèi)的快慢程度，為了了解汽車的性能，還需求知道汽車在某一時(shí)秒內(nèi)的快慢程度，為了了解汽車的性能，還需求知道汽車在某一時(shí)辰的速度辰的速度瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度2 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度 平均速度的概念平均速度的概念這段時(shí)間內(nèi)汽車的平均速度為這段時(shí)間內(nèi)汽車的平均速度為 )/(5410150hkmtsv 所有的時(shí)間所有的時(shí)間經(jīng)過的路程經(jīng)過的路程 知物體作變速直線

4、運(yùn)動，其運(yùn)動方程為知物體作變速直線運(yùn)動，其運(yùn)動方程為ss(t)(表示位移，表示位移，t 表示時(shí)間表示時(shí)間)，求物體在，求物體在 t0 時(shí)辰的速度時(shí)辰的速度 如圖設(shè)該物體在時(shí)辰如圖設(shè)該物體在時(shí)辰t0的位置是的位置是(t0)OA0，在時(shí)辰，在時(shí)辰t0 +Dt 的位置是的位置是s(t0+Dt) OA1，那，那么從么從 t0 到到 t0 +Dt 這段時(shí)間內(nèi)，物體的這段時(shí)間內(nèi)，物體的 位移是位移是 )()(0001tsttsOAOAs 在時(shí)間段在時(shí)間段( t0+Dt) t0 = Dt 內(nèi)，物體的平均速度為內(nèi)，物體的平均速度為:tsttttsttsv 0000)()( 要準(zhǔn)確地描畫非勻速直線運(yùn)動，就要知道

5、物體在每一時(shí)辰運(yùn)動的快慢程度假設(shè)要準(zhǔn)確地描畫非勻速直線運(yùn)動，就要知道物體在每一時(shí)辰運(yùn)動的快慢程度假設(shè)物體的運(yùn)動規(guī)律是物體的運(yùn)動規(guī)律是 s =s(t )，那么物體在時(shí)辰，那么物體在時(shí)辰t 的瞬時(shí)速度的瞬時(shí)速度v，就是物體在，就是物體在t 到到 t+Dt 這段時(shí)這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)間內(nèi)，當(dāng) Dt0 時(shí)平均速度時(shí)平均速度的極限即的極限即vttsttstsvt )()(lim0 例例 物體作自在落體運(yùn)動，物體作自在落體運(yùn)動， 運(yùn)動方程為：運(yùn)動方程為： ，其中位移，其中位移 單位是單位是m ，時(shí)間單位是，時(shí)間單位是s ，g=9.8m/s2 求：求：(1) 物體在時(shí)間區(qū)間物體在時(shí)間區(qū)間 2，2.1上的平上的平均

6、速度；均速度； (2) 物體在時(shí)間區(qū)間物體在時(shí)間區(qū)間2，2.01上的平均速度；上的平均速度； (3) 物體在物體在t =2時(shí)的瞬時(shí)速度時(shí)的瞬時(shí)速度.221gts s ss(2+t)Os(2)tggtsv 212 (1) 將將 Dt=0.1代入上式，得代入上式，得 )/(09.2005. 2smgv (2) 將將 Dt=0.01代入上式，得代入上式，得)/(65.19005. 2smgv 平均速度平均速度 的極限為的極限為: :v, 0t 22 t ( 3) 當(dāng)當(dāng))/(6 .192limlim00smgtsvvtt 當(dāng)時(shí)間間隔當(dāng)時(shí)間間隔Dt 逐漸變小時(shí)逐漸變小時(shí),平均速度平均速度 就越接近就越接

7、近t0=2(s) 時(shí)的瞬時(shí)速度時(shí)的瞬時(shí)速度v=19.6(m/s) 即物體在時(shí)辰即物體在時(shí)辰t0=2(s)的瞬時(shí)速度等于的瞬時(shí)速度等于19.6(m/s).v 要準(zhǔn)確地描畫非勻速直線運(yùn)動，就要知道物體在每一時(shí)辰運(yùn)動的快慢程度假設(shè)要準(zhǔn)確地描畫非勻速直線運(yùn)動，就要知道物體在每一時(shí)辰運(yùn)動的快慢程度假設(shè)物體的運(yùn)動規(guī)律是物體的運(yùn)動規(guī)律是 s =s(t )，那么物體在時(shí)辰，那么物體在時(shí)辰t 的瞬時(shí)速度的瞬時(shí)速度v，就是物體在，就是物體在t 到到 t+Dt 這段時(shí)這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)間內(nèi)，當(dāng) Dt0 時(shí)平均速度時(shí)平均速度的極限即的極限即vttsttstsvt )()(lim0 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念00

8、000()()()limlimxxf xxf xffxxx 普通地，函數(shù)普通地，函數(shù) y =f(x) y =f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn)x=x0 x=x0處的瞬時(shí)變化率是處的瞬時(shí)變化率是0000()()limlimxxf xxf xfxx ox xy0()fx我們稱它為函數(shù)我們稱它為函數(shù) y = f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)，處的導(dǎo)數(shù)，記為記為 或或，即，即導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念也可記作也可記作ox xy 假設(shè)這個(gè)極限不存假設(shè)這個(gè)極限不存在，那么稱在點(diǎn)在，那么稱在點(diǎn)x0 x0 處處不可導(dǎo)。不可導(dǎo)。 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f(x) y = f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x=x0 x=x0 的附近有定義，當(dāng)自變量

9、的附近有定義，當(dāng)自變量 x x 在在 x0 x0 處獲得增量處獲得增量 x ( x ( 點(diǎn)點(diǎn) x0 x0 + +x x 仍在該定義內(nèi)時(shí)，仍在該定義內(nèi)時(shí)， 相應(yīng)地函數(shù)相應(yīng)地函數(shù) y y 獲得增量獲得增量 y = f (x0 +y = f (x0 +x)- f (x0 )x)- f (x0 )，假設(shè)，假設(shè)y y與與x x之比當(dāng)之比當(dāng) x0 x0的極限存在，那么稱函數(shù)的極限存在，那么稱函數(shù) y = f(x) y = f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 x0 處可導(dǎo)處可導(dǎo) ，并稱這個(gè)極限為函數(shù)，并稱這個(gè)極限為函數(shù) y = f(x)y = f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 x0 處的導(dǎo)數(shù)記為處的導(dǎo)數(shù)記為 0()fx00000

10、()()()limlimxxf xxf xyfxxx 即即闡明：闡明：)(xf0 x0 xxyxy0 x1函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處可導(dǎo)，是指處可導(dǎo)，是指時(shí)，時(shí)，有極限假設(shè)有極限假設(shè)不存在極限，就說函數(shù)在不存在極限，就說函數(shù)在處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)x是自變量是自變量x在在0 x處的改動量，處的改動量，0 x，而，而y是函數(shù)值的改動量，可以是零是函數(shù)值的改動量，可以是零 2)(xfy 0 x由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)在在處的處的導(dǎo)數(shù)的步驟導(dǎo)數(shù)的步驟:00()()ff xxf x 1求函數(shù)的增量求函數(shù)的增量:；00()()f xxf xfxx2求平均變化率求平均

11、變化率:；00()limxffxx 3取極限，得導(dǎo)數(shù)取極限，得導(dǎo)數(shù):口訣：一差、二化、三極限口訣：一差、二化、三極限例例1:(1)求函數(shù)求函數(shù)y=x2在在x=1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù); (2)求函數(shù)求函數(shù)y=x+1/x在在x=2處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).,)(21)1 () 1 (222xxxy 解解：,2)(22xxxxxy . 2|, 2)2(limlim100 xxxyxxy,)2( 2)212(21)2() 2(xxxxxy ,)2( 211)2( 2xxxxxxy .43|,43411)2( 211 limlim200 xxxyxxy練練1:求求y=f(x)=x2+1在在x=1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).Q

12、Py = x2+1xy-111OjM yx00002020()( ):limlim(1)1 (1 1)lim2()lim2.xxxxf xxf xyxxxxxxx 解(1)2f一是一是:根據(jù)物體的路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)求速度和加速度根據(jù)物體的路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)求速度和加速度.二是二是:求知曲線的切線求知曲線的切線.00( )( ),V tS t0()Kfx切)(xfxxfxxf)(00他能借助函數(shù)的圖象說說平均變化率他能借助函數(shù)的圖象說說平均變化率表示什么嗎？請?jiān)诤瘮?shù)表示什么嗎？請?jiān)诤瘮?shù)圖象中畫出來圖象中畫出來0 x割線割線PQ的的變化情況的的變化情況在在的過程中，的過程中，請?jiān)诤瘮?shù)圖象中畫出來請

13、在函數(shù)圖象中畫出來他能描畫一下嗎？他能描畫一下嗎？3.1.1 3.1.1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義00()( )nnnf xf xkxxPxy00 x( )yf xTnxPxyo0 x( )yf xT0000( )()( )(,()yf xxfxyf xM xf x函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率。0000()()lim()xf xxf xkxfx 00( )(,()yf xMxf x曲線在點(diǎn)處000()()yyfxxx的切線方程為的切線方程為0tan()PTkfx即即 圓的切線定義并不適用于普通的曲線。 經(jīng)過逼近的方法，將割線趨于確實(shí)定位置的直線定義為切線交點(diǎn)能夠不獨(dú)一

14、適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。 2l1lxyABCPPP 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在點(diǎn)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在點(diǎn)P附近，曲線可以附近，曲線可以用在點(diǎn)用在點(diǎn)P處的切線近似替代處的切線近似替代 。 大多數(shù)函數(shù)曲線就一小范圍來看，大致可看作直線，所以，某點(diǎn)附近的曲線可以用過此點(diǎn)的切線近似替代，即“以直代曲 以簡單的對象描寫復(fù)雜的對象 1.在函數(shù)在函數(shù) 的的圖像上，圖像上，(1)用圖形來表達(dá)導(dǎo)數(shù)用圖形來表達(dá)導(dǎo)數(shù) ， 的幾何意義的幾何意義. 105 . 69 . 4)(2ttth3 . 3) 1 (/h6 . 1)5 . 0(/hh0 . 15 . 0Ot (2)請描畫，比較曲線分

15、別在請描畫，比較曲線分別在 附近增減以及增減快慢的附近增減以及增減快慢的情況。情況。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4thtO3t4t0t1t2t (2)請描畫，比較曲線分別在請描畫，比較曲線分別在 附近增減以及增減快慢的附近增減以及增減快慢的情況。情況。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4t增減增減):增減快慢：增減快慢：=切線的斜率切線的斜率附近：附近：瞬時(shí)瞬時(shí)變化率變化率正或負(fù)正或負(fù)即：瞬時(shí)變化率導(dǎo)數(shù)即：瞬時(shí)變化率導(dǎo)數(shù)數(shù)形結(jié)合，以直代曲數(shù)形結(jié)合，以直代曲畫切線畫切線即：導(dǎo)數(shù)即：導(dǎo)數(shù)的絕多值的大小的絕多值的大小=切線斜率的絕對值的切線斜率的絕對值的 大小大小切線的

16、傾斜程度切線的傾斜程度峻峭程度峻峭程度以簡單對象描寫復(fù)雜的對象以簡單對象描寫復(fù)雜的對象(2) 曲線在曲線在 時(shí)，切線平行于時(shí)，切線平行于x軸，曲線在軸，曲線在 附近比較平坦，幾乎沒有升降附近比較平坦，幾乎沒有升降 0t曲線在 處切線 的斜率 0 在 附近，曲線 ，函數(shù)在 附近單調(diào)0t,1t,1t2t如圖，切線 的傾斜程度大于切線的傾斜程度， 2t1t,3t4t大于大于上升上升遞增遞增2l1l3l4l3t4t上升上升這闡明曲線在 附近比在附近 得迅速2t,1l2l,3l4l0)(),(2/1/thth0)(),(4/3/thth,1t2t,3t4t遞減遞減下降下降小于小于下降下降,3t4t 2如

17、圖表示人體血管中的藥物濃度c=f(t)單位：mg/ml隨時(shí)間t單位：min 變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計(jì) t=0.2,0.4,0.6,0.8min時(shí)，血管中 藥物濃度的瞬時(shí)變化率，把數(shù)據(jù)用表格 的方式列出。(準(zhǔn)確到0.1) 血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率,就是藥物濃度就是藥物濃度從圖象上看從圖象上看,它表示它表示曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率.函數(shù)函數(shù)f(t)在此時(shí)辰的導(dǎo)數(shù)在此時(shí)辰的導(dǎo)數(shù),數(shù)形結(jié)合，以直代曲數(shù)形結(jié)合，以直代曲以簡單對象描寫復(fù)雜的對象以簡單對象描寫復(fù)雜的對象)(0/xf)(/xf 籠統(tǒng)概括：籠統(tǒng)概括：是確定的數(shù)是確定的數(shù)是的函數(shù)是的函數(shù)x 導(dǎo)函數(shù)的概念：導(dǎo)函數(shù)的概念：)(/xfxxfxxfxfx)(lim0000/ xxfxxfxfx)(lim0/t 0.2 0.4 0.60.8藥物濃度的藥物濃度的瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率 3 . 004 . 15 . 0小結(jié)：小結(jié)：.函數(shù)函數(shù) 在