分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(理帶答案)(共12頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理基礎(chǔ)自測(cè)：15位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有_種32解析每位同學(xué)有兩種不同的報(bào)名方法，而且只有這5位同學(xué)全部報(bào)名結(jié)束，才算事件完成所以共有2×2×2×2×232(種)2有不同顏色的4件上衣與不同顏色的3件長(zhǎng)褲，如果一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)是_12解析由分步乘法計(jì)數(shù)原理，一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套，分兩步，第一步選上衣有4種選法，第二步選長(zhǎng)褲有3種選法，所以有4×312(種)選法3甲、乙兩人從4門(mén)課程中各選修2門(mén)，則甲

2、、乙所選的課程中恰有1門(mén)相同的選法有_種答案24解析分步完成首先甲、乙兩人從4門(mén)課程中同選1門(mén)，有4種方法，其次甲從剩下的3門(mén)課程中任選1門(mén)，有3種方法，最后乙從剩下的2門(mén)課程中任選1門(mén)，有2種方法，于是，甲、乙所選的課程中恰有1門(mén)相同的選法共有4×3×224(種)4用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有_個(gè)(用數(shù)字作答)答案14解析數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，包括以下情況：“2”出現(xiàn)1次，“3”出現(xiàn)3次，共可組成C4(個(gè))四位數(shù)“2”出現(xiàn)2次，“3”出現(xiàn)2次，共可組成C6(個(gè))四位數(shù)“2”出現(xiàn)3次，“3”出現(xiàn)1次，共可組成C4(個(gè))四位數(shù)綜上所

3、述，共可組成14個(gè)這樣的四位數(shù).題型一分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例1一班有學(xué)生50人，男生30人，女生20人；二班有學(xué)生60人，男生30人，女生30人；三班有學(xué)生55人，男生35人，女生20人(1)從一班或二班或三班中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法？(2)從一班、二班男生中，或從三班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長(zhǎng)，有多少種不同的選法？思維啟迪用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理解(1)完成這件事有三類(lèi)方法第一類(lèi)，從高三一班任選一名學(xué)生共有50種選法；第二類(lèi)，從高三二班任選一名學(xué)生共有60種選法；第三類(lèi)，從高三三班任選一名學(xué)生共有55種選法，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，任選一名學(xué)生任校學(xué)生會(huì)主席共有50605

4、5165(種)選法(2)完成這件事有三類(lèi)方法第一類(lèi)，從高三一班男生中任選一名共有30種選法；第二類(lèi)，從高三二班男生中任選一名共有30種選法；第三類(lèi)，從高三三班女生中任選一名共有20種選法綜上知，共有30302080(種)選法思維升華分類(lèi)時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合它的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類(lèi)；其次分類(lèi)時(shí)要注意滿(mǎn)足一個(gè)基本要求，就是完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類(lèi)，并且分別屬于不同種類(lèi)的兩種方法是不同的方法，只有滿(mǎn)足這些條件，才可以用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理(1)在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個(gè)？(2)方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，其中m1,2,3,4,5

5、，n1,2,3,4,5,6,7，那么這樣的橢圓有多少個(gè)？解(1)分析個(gè)位數(shù)字，可分以下幾類(lèi)：個(gè)位是9，則十位可以是1,2,3，8中的一個(gè)，故有8個(gè)；個(gè)位是8，則十位可以是1,2,3，7中的一個(gè)，故有7個(gè)；同理，個(gè)位是7的有6個(gè)；個(gè)位是6的有5個(gè)；個(gè)位是2的只有1個(gè)由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)有1234567836(個(gè))(2)以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，分為五類(lèi)第一類(lèi)：m1時(shí)，使n>m，n有6種選擇；第二類(lèi)：m2時(shí)，使n>m，n有5種選擇；第三類(lèi)：m3時(shí)，使n>m，n有4種選擇；第四類(lèi)：m4時(shí)，使n>m，n有3種選擇；第五類(lèi)：m5時(shí)，使n>m，n有2種選擇共有654

6、3220(種)方法，即有20個(gè)符合題意的橢圓題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例2有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目，在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法？(不一定六名同學(xué)都能參加)(1)每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限；(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)；(3)每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限思維啟迪可以根據(jù)報(bào)名過(guò)程，使用分步乘法計(jì)數(shù)原理解(1)每人都可以從這三個(gè)比賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有選法36729(種)(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目只有4種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共

7、有報(bào)名方法6×5×4120(種)(3)由于每人參加的項(xiàng)目不限，因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參賽，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有不同的報(bào)名方法63216(種)思維升華利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題：要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的；各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事已知集合M3，2，1,0,1,2，若a，b，cM，則：(1)yax2bxc可以表示多少個(gè)不同的二次函數(shù)；(2)yax2bxc可以表示多少個(gè)圖象開(kāi)口向上的二次函數(shù)解(1)a的取值有5種情況，b的取值有6種情況，c的取值有6種情況，因此yax2bxc可以表示5

8、5;6×6180(個(gè))不同的二次函數(shù)(2)yax2bxc的圖象開(kāi)口向上時(shí)，a的取值有2種情況，b、c的取值均有6種情況，因此yax2bxc可以表示2×6×672(個(gè))圖象開(kāi)口向上的二次函數(shù)題型三兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用例3如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法總數(shù)思維啟迪染色問(wèn)題是常見(jiàn)的計(jì)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，可從選顏色、選頂點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)、分步，從不同角度解決問(wèn)題解方法一可分為兩大步進(jìn)行，先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色，然后再分類(lèi)考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)論由題設(shè)，四棱錐SABCD的

9、頂點(diǎn)S、A、B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×360(種)染色方法當(dāng)S、A、B染好時(shí)，不妨設(shè)其顏色分別為1、2、3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法可見(jiàn)，當(dāng)S、A、B已染好時(shí)，C、D還有7種染法，故不同的染色方法有60×7420(種)方法二以S、A、B、C、D順序分步染色第一步，S點(diǎn)染色，有5種方法；第二步，A點(diǎn)染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步，B點(diǎn)染色，與S、A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步，C點(diǎn)染色，也有3種方法，但考慮到D點(diǎn)與S、A、C相鄰，需要針對(duì)A與C

10、是否同色進(jìn)行分類(lèi)，當(dāng)A與C同色時(shí)，D點(diǎn)有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時(shí)，因?yàn)镃與S、B也不同色，所以C點(diǎn)有2種染色方法，D點(diǎn)也有2種染色方法由分步乘法、分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×32×2)420(種)方法三按所用顏色種數(shù)分類(lèi)第一類(lèi)，5種顏色全用，共有A種不同的方法；第二類(lèi)，只用4種顏色，則必有某兩個(gè)頂點(diǎn)同色(A與C，或B與D)，共有2×A種不同的方法；第三類(lèi)，只用3種顏色，則A與C、B與D必定同色，共有A種不同的方法由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，得不同的染色方法總數(shù)為A2×AA420(種)思維升華用兩個(gè)計(jì)數(shù)

11、原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是明確需要分類(lèi)還是分步(1)分類(lèi)要做到“不重不漏”，分類(lèi)后再分別對(duì)每一類(lèi)進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)(2)分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成任務(wù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)(3)對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，可同時(shí)運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理或借助列表、畫(huà)圖的方法來(lái)幫助分析用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？解如圖所示，將4個(gè)小方格依次編號(hào)為1,2,3,4，第1個(gè)小方格可以從5 種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法當(dāng)?shù)?個(gè)

12、、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí)，有A12(種)不同的涂法，第4個(gè)小方格有3種不同的涂法由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，有5×12×3180(種)不同的涂法；當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí)，有4種涂法，由于相鄰方格不同色，因此，第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5×4×480(種)不同的涂法由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得，共有18080260(種)不同的涂法A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題1從集合1,2,3，10中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A3 B4 C6 D8解析按從小到大順序有124,139,248,469共

13、4個(gè)，同理按從大到小順序也有4個(gè)，故這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為8個(gè)2. 現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的 兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()A24種 B30種 C36種 D48種解析共有4×3×2×248(種)，故選D.3集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且PQ.把滿(mǎn)足上述條件的一對(duì)有序整數(shù)對(duì)(x，y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A9 B14 C15 D21解析當(dāng)x2時(shí)，xy，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1×77(個(gè))；當(dāng)x2時(shí)，xy，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7×17(個(gè))，則共有14個(gè)點(diǎn)，故選B.4(2

14、013·山東)用0,1，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A243 B252 C261 D279解析0,1,2，9共能組成9×10×10900(個(gè))三位數(shù)，其中無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8648(個(gè))有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900648252(個(gè))5(2013·四川)從1,3,5,7,9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lg alg b的不同值的個(gè)數(shù)是()A9 B10 C18 D20解析由于lg alg blg(a>0，b>0)，從1,3,5,7,9中任取兩個(gè)作為有A20種，又與相同，與

15、相同，lg alg b的不同值的個(gè)數(shù)有A220218，選C.二、填空題6一個(gè)乒乓球隊(duì)里有男隊(duì)員5名，女隊(duì)員4名，從中選取男、女隊(duì)員各一名組成混合雙打，共有_種不同的選法答案20解析先選男隊(duì)員，有5種選法，再選女隊(duì)員有4種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有5×420(種)不同的選法7某次活動(dòng)中，有30人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為_(kāi)(用數(shù)字作答)答案7 200解析其中最先選出的一個(gè)人有30種方法，此時(shí)不能再?gòu)倪@個(gè)人所在的行和列上選人，還剩一個(gè)5行4列的隊(duì)形，故選第二個(gè)人有20種方法，此時(shí)不能再?gòu)脑撊怂诘男泻土猩线x人，

16、還剩一個(gè)4行3列的隊(duì)形，此時(shí)第三個(gè)人的選法有12種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的選法種數(shù)是30×20×127 200.8已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，從M，N這兩個(gè)集合中各選一個(gè)元素分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_答案6解析分兩類(lèi)：第一類(lèi)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)，有2×24(個(gè))；第二類(lèi)，第二象限內(nèi)的點(diǎn)，有1×22(個(gè))共426(個(gè))三、解答題9某外語(yǔ)組有9人，每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門(mén)，其中7人會(huì)英語(yǔ)，3人會(huì)日語(yǔ)，從中選出會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各一人，有多少種不同的選法？解由題意得有1人既會(huì)英語(yǔ)又

17、會(huì)日語(yǔ)，6人只會(huì)英語(yǔ)，2人只會(huì)日語(yǔ)第一類(lèi)：從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人說(shuō)英語(yǔ)，共有6種方法，則說(shuō)日語(yǔ)的有213(種)，此時(shí)共有6×318(種)；第二類(lèi)：不從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人說(shuō)英語(yǔ)，則只有1種方法，則選會(huì)日語(yǔ)的有2種，此時(shí)共有1×22(種)；所以根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知共有18220(種)選法10在某種信息傳輸過(guò)程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為多少？解方法一分0個(gè)相同、1個(gè)相同、2個(gè)相同討論(1)若0個(gè)相同，則信息為1001.共1個(gè)(2)若1個(gè)相同，則信

18、息為0001,1101,1011,1000.共4個(gè)(3)若2個(gè)相同，又分為以下情況：若位置一與二相同，則信息為0101；若位置一與三相同，則信息為0011；若位置一與四相同，則信息為0000；若位置二與三相同，則信息為1111；若位置二與四相同，則信息為1100；若位置三與四相同，則信息為1010.共6個(gè)故與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為14611.方法二若0個(gè)相同，共有1個(gè)；若1個(gè)相同，共有C4(個(gè))；若2個(gè)相同，共有C6(個(gè))故共有14611(個(gè))復(fù)習(xí)與回顧一、 立體幾何：1.(2013·廣東)某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是()A.4B. C

19、.D.6解析由三視圖知四棱臺(tái)的直觀圖為由棱臺(tái)的體積公式得：V(2×2 1×1)×2.2.(2013·課標(biāo)全國(guó))已知m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿(mǎn)足lm，ln，l，l，則()A.且lB.且lC.與相交，且交線垂直于lD.與相交，且交線平行于l解析假設(shè)，由m平面，n平面，則mn，這與已知m，n為異面直線矛盾，那么與相交，設(shè)交線為l1，則l1m，l1n，在直線m上任取一點(diǎn)作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直線m與n1所確定的平面，所以l1l.3、如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一點(diǎn)，PE

20、2EC.(1)證明：PC平面BED；(2)設(shè)二面角APBC為90°，求PD與平面PBC所成角的大小.思維啟迪利用PA平面ABCD建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求解.方法一(1)證明因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BDAC.又PA底面ABCD，所以PCBD.如圖，設(shè)ACBDF，連接EF.因?yàn)锳C2，PA2，PE2EC，故PC2，EC，F(xiàn)C，從而，.因?yàn)椋現(xiàn)CEPCA，所以FCEPCA，F(xiàn)ECPAC90°.由此知PCEF.因?yàn)镻C與平面BED內(nèi)兩條相交直線BD，EF都垂直，所以PC平面BED.(2)解在平面PAB內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AGPB，G為垂足.因?yàn)槎娼茿PBC為90°，所以

21、平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.因?yàn)锽C與平面PAB內(nèi)兩條相交直線PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD為正方形，AD2，PD2.設(shè)D到平面PBC的距離為d.因?yàn)锳DBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，A、D兩點(diǎn)到平面PBC的距離相等，即dAG.設(shè)PD與平面PBC所成的角為，則sin .所以PD與平面PBC所成的角為30°.方法二(1)證明以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AC為x軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則C(2，0,0)，P(0,0,2)，E，設(shè)D(，b,0)，其中b>

22、0，則B(，b,0).于是(2，0，2)，從而·0，·0，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BED.(2)解(0,0,2)，(，b,0).設(shè)m(x，y，z)為平面PAB的法向量，則m·0，m·0，即2z0且xby0，令xb，則m(b，0).設(shè)n(p，q，r)為平面PBC的法向量，則n·0，n·0，即2p2r0且bqr0，令p1，則r，q，n.因?yàn)槎娼茿PBC為90°，所以面PAB面PBC，故m·n0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)，所以cosn，所以n，60°.因?yàn)镻D與平面P

23、BC所成角和n，互余，故PD與平面PBC所成的角為30°.二、圓錐曲線：1雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為4，離心率為3，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)，漸近線方程為_(kāi)答案1y±2x解析由題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)，則2a4，即a2，e3，則c6，b4，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，漸近線方程為y±x±2x.2、若點(diǎn)(3,1)是拋物線y22px一條弦的中點(diǎn)，且這條弦所在直線的斜率為2，則p_.答案2解析設(shè)弦兩端點(diǎn)為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則，兩式相減得，2.又y1y22，p2.3、已知橢圓E的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1且斜率為2的直線交橢圓E于P、Q兩點(diǎn)，若PF1F2為直角三角形，則橢圓E的離心率為()A.B.C.D.解析由題意可知，F(xiàn)1PF2是直角，且tanPF1F22，2，又|PF1|PF2|2a，|PF1|，|PF2|.根據(jù)勾股定理得22(2c)2，所以離心率e.4、已知雙曲線1 (a>0