森林救火模型

1、.森林救火模型問題提出：森林失火了， 消防隊接到報警后應(yīng)派多少消防隊員去救火呢？一、問題分析 :派出的隊員越多，森林損失越小，但是救援開支會越多，所以需要綜合考慮森林的損失費和救援費與隊員人數(shù)之間的關(guān)系，以總費用最少來決定派出隊員的數(shù)目。損失費通常正比于森林燒毀面積， 而燒毀面積與失火、滅火時間有關(guān)，滅火時間又取決于消防隊員數(shù)目，隊員越多，滅火時間越短。而救援費既與消防隊員人數(shù)有關(guān)，又與滅火時間長短有關(guān)。記失火時刻為t 0 ，開始救火時刻為 tt1 ，設(shè)在時刻 t 森林燒毀面積為 B( t ) ，則造成損失的森林燒毀面積為B(t 2 ) ，建模要對函數(shù) B(t ) 的形式作出合理的簡單假設(shè)。d

2、B比 B(t ) 更為直接和方便，dB研究dt是單位時間燒毀面積，表dt示火勢蔓延的程度。在消防隊員到達之前，即 t1 tt2 時，火勢越來越大，即dB隨 t 的增加而增加；開始救火后，即 t1t t2 ，如果dtdB消防隊員救火能力足夠強，火勢會越來越小，即dt 應(yīng)該減小，并且當 tt2 時，有dB0。dt救援費可以分為兩個部分：一部分是滅火材料的損耗和消防隊員的薪金等，與隊員數(shù)量及滅火時間有關(guān)； 另外一部分是運送隊員一次.性支出，只與消防隊員人數(shù)有關(guān)。二、模型假設(shè)：1、森林中樹木分布均勻，而且火災(zāi)是在無風條件下發(fā)生的。2、損失費與森林燒毀面積B( t2 ) 成正比，比例系數(shù) c1 為單位燒

3、毀面積的損失費。dB3、從失火到開始救火這段時間（0tt1 ）內(nèi)，火勢蔓延程度dt與時間 t 成正比，比例系數(shù) 為火勢蔓延速度，即：dBdtt,0tt1;4、派出消防隊員x 名，開始救火后（tt1 ），火勢蔓延速度降為x ，其中為每個隊員的平均滅火速度，顯然有x 。因 為要撲滅森林大火， 滅火速度必須大于火勢蔓延速度，否則火勢 將難以控制。5、每個消防隊員單位時間費用為c2 （包括滅火材料的消耗及消防隊員的薪金等），救火時間為 t2t1 ；每個隊員的一次性支出為c3（運送隊員、器材一次性支出） 。對于假設(shè) 3 作如下解釋：由于森林中樹木分布均勻，且火災(zāi)是在無風條件下發(fā)生的， 因而火勢可以看作以

4、失火點為中心，以均勻速度向四周呈圓形蔓延，因而蔓延半徑r 與時間 t 成正比，又因為燒毀面積 B 與 t2成正比，從而dB與 t 成正比。dt三、模型的構(gòu)成：.dB根據(jù)假設(shè)條件 3，4，火勢蔓延程度 dt 在 0 t t1 線性地增加，在 t1 t t2 線性地減少，圖形如下：記t tdBb ，燒毀面積 B(t 2 )t2dB時dt 恰好是圖形中三角形的1dt0dt面積，顯然有 B(t2 )1 bt22由 b 的定義有 bt1 ( x )(t 2t1 ) ，于是t2t1bt1t2bbxxx所以 B(t 2 )1 b( bb)2x根 據(jù) 假 設(shè) 條 件 2 ， 5 ， 森林 損 失 費 為 c1

5、B(t2 ) ， 救援 費 為c2 x(t2t1 ) c3 x所以總費用為：.C(X)c1 B( t 2 )c2 x(t2t1 )c3 x即： C( x)1(bb)c2bxbc1xxc3 x2四、模型求解：為了求 x 使得 C(x ) 達到最小，令dC0，可以得到應(yīng)該派出的dx隊員人數(shù)為： xc1b22c2 b2c32五、模型分析與改進：1、應(yīng)該派出（最優(yōu)）隊員人數(shù)有兩個部分組成，其中一部分是為了把火撲滅所必須派出的最少隊員數(shù)。因為是火勢蔓延速度，而是每個隊員的平均滅火速度，同時也說明這個最優(yōu)解滿足約束條件，結(jié)果是合理的。2、派出隊員的另外一部分與問題的各個參數(shù)有關(guān)。當隊員的滅火速度和救援費用系數(shù) c3 增大時，隊員人數(shù)減少 ; 當火勢蔓延速度，開始救火時的火勢b 及損失費用系數(shù) c1 增大時，消防隊員人數(shù)增加；救援費用系數(shù) c2 增大時，隊員人數(shù)也增加。3、改進方向 :（ 1）取消樹木分布均勻、無風這一假設(shè)，考慮更一般情況；（ 2）滅火速度是常數(shù)不盡合理，至少與開始救火時的火勢有關(guān)；（ 3）對不同種類的森林發(fā)生火災(zāi)，派出的隊員數(shù)應(yīng)不同，雖然能從某種程度上