江蘇省12市2015屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題分類匯編：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、.江蘇省 12 市 2015 屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題分類匯編導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、填空題1、（常州市2015 屆高三）曲線y x cosx 在點(diǎn)pp處的切線方程為2，2二、解答題1、（常州市2015 屆高三）已知 a， b 為實(shí)數(shù)，函數(shù)f ( x)1，函數(shù) g (x)ln x xba（ 1）當(dāng) ab 0時(shí)，令 F ( x)f (x) g (x) ，求函數(shù) F ( x) 的極值；（ 2）當(dāng) a1時(shí)，令 G( x)f (x) g( x) ，是否存在實(shí)數(shù) b ，使得對于函數(shù)yG(x)定義域中的任意實(shí)數(shù)x1，均存在實(shí)數(shù) x2 1,) ，有 G( x1 ) x20成立，若存在，求出實(shí)數(shù) b 的取值集合；

2、若不存在，請說明理由2、（連云港、徐州、淮安、宿遷四市 2015 屆高三）已知函數(shù) f ( x)ln x1 ax 2x ，a R (1)若 a2 ，求函數(shù) f (x) 的單調(diào)遞減區(qū)間；2(2)若關(guān)于 x 的不等式f ( x) ax 1恒成立，求整數(shù)a 的最小值；(3)若a2， x1 ， x2 是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且12120，f ( x )f ( x) x x求證： x1 x251 23、（南京市、鹽城市2015屆高三）已知函數(shù) f (x)ex， g ( x) mxn .（ 1）設(shè) h( x) f ( x) g (x) .若函數(shù) h( x) 在 x0 處的切線過點(diǎn)(1,0) ，求 mn的值；當(dāng)

3、 n 0 時(shí)，若函數(shù) h(x) 在 ( 1,) 上沒有零點(diǎn)，求m 的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù) r ( x)1nx0) ，求證：當(dāng) x0 時(shí)， r ( x) 1.f ( x)，且 n 4m(mg ( x)4、（南通市2015 屆高三）若函數(shù)yf ( x) 在 xx0 處取得極大值或極小值，則稱x0 為函數(shù) yf ( x) 的極值點(diǎn) .已知函數(shù)f (x)ax33x ln x1(aR).1 當(dāng) a0 時(shí)，求 f ( x) 的極值；2 若 f ( x) 在區(qū)間 ( e, 1) 上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 .e;.5、（蘇州市2015 屆高三上期末）已知函數(shù)f (x) exa( x1) ，

4、其中 aR,e 為自然對數(shù)底數(shù) .（1）當(dāng) a1 時(shí)，求函數(shù) f (x) 在點(diǎn) (1, f (1)處的切線方程；（2）討論函數(shù)f (x) 的單調(diào)性，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；（3）已知 bR ，若函數(shù)f ( x)b 對任意 xR 都成立，求 ab 的最大值 .6、（泰州市 2015屆高三上期末）已知函數(shù) f ( x)1， g(x)ax b ln xx(1)若函數(shù) h( x)f (x)g( x) 在 (0,) 上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；(2)若直線 g(x)axb 是函數(shù) f ( x)1b 的最小值；ln x圖象的切線，求 ax(3)當(dāng) b 0 時(shí)，若 f ( x) 與 g ( x) 的圖象

5、有兩個(gè)交點(diǎn)A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，求證： x1 x2 2e2 （取 e 為 2.8 ，取 ln 2 為 0.7 ，取 2 為 1.4）7、（無錫市 2015屆高三上期末）設(shè)函數(shù)f (x ) =x 2 ln x - ax 2+ b 在點(diǎn) (x0, f (x0 )處的切線方程為 y = - x + b .(1)求實(shí)數(shù) a 及 x0 的值；(2)求證：對任意實(shí)數(shù)，函數(shù) f (x )有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) .8、（揚(yáng)州市 2015 屆高三上期末）已知函數(shù)f ( x) ex , g( x) ax2bx c 。（1）若 f（ x）的圖象與 g（x）的圖象所在兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)在y

6、 軸上，且在該點(diǎn)處兩條曲線的切線互相垂直，求b 和 c 的值。（ 2）若 a c1 ，b0，試比較 f（ x）與 g（ x）的大小，并說明理由；（ 3）若 b c0，證明：對任意給定的正數(shù)a，總存在正數(shù) m，使得當(dāng) x (m,) 時(shí)，恒有 f（ x） g（ x）成立。;.9、（連云港、 徐州、淮安、宿遷四市2015 屆高三） 如圖， 有一個(gè)長方形地塊ABCD ，邊 AB為 2 km ， AD 為 4 km 地塊的一角是草坪（圖中陰影部分），其邊緣線AC 是以直線 AD 為對稱軸，以A 為頂點(diǎn)的拋物線的一部分現(xiàn)要鋪設(shè)一條過邊緣線AC 上一點(diǎn) P 的直線型隔離帶 EF ， E ， F 分別在邊 A

7、B ， BC 上（隔離帶不能穿越草坪，且占地面積忽略不計(jì)），將隔離出的 BEF 作為健身場所設(shè)點(diǎn)P 到邊 AD 的距離為 t （單位： km ）， BEF 的面積為 S（單位： km 2 ）( 1) 求 S關(guān)于 t 的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；( 2) 是否存在點(diǎn)P ，使隔離出的 BEF 面積 S超過 3 km 2 ？并說明理由DCFPAEB（第 17 題）參考答案一、填空題1、 2 x yp02二、解答題1，1、解：（ 1） F (x)ln xxF (x)x21 ，令 F (x)0 ，得 x 11 分x列表：x(0,1)1(1, );.F (x)0+F ( x)極小值所以 F ( x

8、) 的極小值為 F (1)1，無極大值4 分（2）當(dāng) a1時(shí)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)b 滿足條件， 則 G( x)1b)ln x 1 在 x (0,1)(1, )(1x上恒成立5 分1）當(dāng) x(0,1) 時(shí)， G(x)(1b)ln x 1可化為 (bx1b)ln x x 1 0 ，1x令 H (x)(bx 1b)ln x x1, x(0,1) ，問題轉(zhuǎn)化為： H ( x) 0 對任意 x (0,1)恒成立；（* ）則H(1)0 ， H(x)b ln x1bb1， H (1)0 x令 Q(x)b ln x1bb( x1)1xb 1，則 Q ( x)x2 b 1 時(shí)，因?yàn)?b( x 1)1 1(x 1) 1

9、121 0 ，222故 Q (x)0 ，所以函數(shù) yQ( x) 在 x(0,1) 時(shí)單調(diào)遞減， Q(x) Q(1) 0 ，即 H ( x)0 ，從而函數(shù) yH ( x) 在 x(0,1) 時(shí)單調(diào)遞增，故H ( x) H (1) 0 ，所以（ * ）成立，滿足題意；1當(dāng) b時(shí)， Q ( x)因?yàn)?b1 ，所以 12b7 分b x1b(x 1) 1( 1)b，x2x21 1，記I（111，）（0,1），則當(dāng) xI 時(shí)， x (11) 0，bb故 Q (x)0 ，所以函數(shù) yQ( x) 在 xI 時(shí)單調(diào)遞增， Q( x)Q(1)0 ，即 H ( x)0 ，從而函數(shù) yH ( x) 在 xI 時(shí)單調(diào)遞

10、減，所以H ( x)H(1) 0，此時(shí)（ *）不成立；所以當(dāng) x (0,1)， G( x)(1b)ln x 1 恒成立時(shí)， b 1 ；9 分x122）當(dāng) x(1,) 時(shí)， G(x)(1b)ln xx 1 0 ，b)ln x 1 可化為 (bx 1x1令 H (x)(bx1b)ln x x1, x (1,) ，問題轉(zhuǎn)化為： H ( x) 0 對任意的 x (1, ) 恒成立；（ * ）則H(1)0 ， H(x)b ln x1b1， H (1)0 bx令 Q(x) b ln x1b1，則 Q ( x)b( x 1)1xb2x;.b 1b( x 1) 12b 1 1 2 1 022Q (x)0yQ(

11、 x) x(1,)Q(x) Q(1) 0H ( x)0yH ( x) x(1,)H(x) H(1)0*11b12b 0Q (x )0yQ(x)x(1, )Q( x) Q(1)0H ( x )0yH ( x)x(1,)H ( x) H (1)0*130b1111x 1,112bbb x11)b( x1)(Q (x)1b0x2x2yQ( x) x1,11Q( x)Q(1)0H ( x)0by H ( x) x1, 11H ( x)H(1) 0*bx(1,) G( x)(11b)lnx 1b 115x2x (0,1)(1,) G( x)(1b)ln x 1b1x12b11621f(1)a0a 212

12、122x2f (x) ln x x2x, x 0 f ( x)12x 1x 1 ( x 0)2xxf ( x)02x2x10x 0x1f ( x)(1,)42g(x)f (x) -( ax1)ln x1ax2(1a) x12g ( x)1ax(1a)ax2(1a) x1xxa 0x0g ( x)0g( x) (0,);.g(1) ln11 a12(1a)13 a2022xf (x) ax1611)g (x)1a 0g (x)ax2(1a) x1a( xa)( x0xxxax (0,1)g (x)0x(1)g (x)0a,ag (x)x(0,1)x1,)a(ag( x)g (1)ln11a(1)

13、2(1a)111ln a8aa2aa2ah( a)1ln ah(1)10 h(2)1ln 20h(a) a(0,)2a24a 2h( a)0a210f (x) ax1ln x1 ax2x ax1 (0,)2a ln xx11 x2x(0,)ln xx21g( x)1x2xa g (x)max62(x 1)(1 xln x)1g (x)2g ( x)0ln x01x(x2x)222h( x)1 xln xh ( x)110h(x) (0,)22x1ln x0x0x(0, x0 )g ( x)0x(x0 ,)x2g ( x )0g( x) x(0, x0 )x( x0 ,);.ln x0x0111

14、 x1g( x)maxg( x0 )208121x02 x0x0x0 (12x0 )h( 1)ln 210 h(1)101x01112x02422g( x )(1,2 )a 2a210m a x3a2f ( x)l nx2xx, x 0f ( x1 )f ( 2x )1x 2x 0ln x1x12x1ln x2x22x2x1x20( x1x2 )2( x1x2 ) x1x2ln( x1x2 )13tx1x2(t )tln t(t )t1t(t )(0,1)(1,)(t) (1) 1 ( x1x2 )2( x1x2 ) 1x1x2 5116231h (x) ( f (x)g( x)(exmxn)

15、exmh(x) x0k1m2h(0)1nh( x) x0y(1n)(1m)x(1,0)mn2 .42n0h (x)(exmx)exmx1ex11emh ( x)exm0h( x) ( 1,)h(0) 1eh(1m0m11m11)ee.6eem1h (x)exm0xln m( 1,)ex(1,ln m)h (x)0 h(x)x(ln m,)h ( x)0h( x).h(x) (1,)h(ln m) mm ln mmm ln m0me1me .1em,e) .10en0 exmxx0;.當(dāng) x1且 x0 時(shí)，mexyexyex x exex x 1，令，則x2x2xx當(dāng) 1x0 時(shí)， y0 ，函數(shù)

16、 yex0x1時(shí)，y0 ，函數(shù) yex單調(diào)遞減，單調(diào)xx遞減，當(dāng) x1 時(shí)， y0 ，函數(shù) yexy x1e ，由題意知x單調(diào)遞增，又1， y x 11em ,e) .en x1nx114x（ 3）由題意，r ( x)mn，f ( x) g( x) exexxx 4m而 r ( x)14xex令 F ( x)ex (3x4)則 F (0) 0 ，且 F ( x)令 G (x) F ( x) ，則 G 因 x 0 ， 所以 G ( x)x 4x 4 ， ex (3 x(x)ex0 ，12 分1)1， F (0)0 ，(3x2) ，14 分所以導(dǎo)數(shù) F ( x) 在 0,) 上單調(diào)遞增，于是F (

17、 x)F (0)0 ，從而函數(shù) F ( x) 在 0,) 上單調(diào)遞增，即F( x)F (0)0 .16 分4、;.;.51a1f ' xex1 f ' 1e1 f1e2fx1, f1y ee1 x 1ye1 x142f ' xexaa 0f 'x0fx R6a0f ' xexa 0 xln ax,ln af' x0 fxxln a,f ' x 0fxa 0fx(,)a0fxln a,ln a932a0f xRf x b10a0b 0ab011a0fx bx Rb f minxfminxfln a2aa ln ab 2a a ln a13a

18、b 2a2a2 ln a;.g a2a2a2 ln aa0g 'a4a2aln aa3a2a ln aa0g ' a0ln a332ae233a0, e2g ' a0 gaae2 ,g ' a0 gagmaxae3abe32233ae2 , b1 e216261 h( x)f ( x)g (x)ln x1axb , h ( x)11axxx211h( x)f ( x)g(x) (0,)x0h ( x)a 0xx21111x0a0a0xx2x2xa(,04(2)( x0 ,lnx01)y(ln x01 )( 112 )( x x0 )x0x0x0x0y( 112

19、) x( 112 )x0(ln x01 )y( 112)x(ln x021)x0x0x0x0x0x0x0x01t0a11tt 2 ,bln x021ln t2t 1x0x0x02x0ab(t)ln tt2t1(t)12t1(2t 1)(t 1)ttt(0,1)(t)0(t) (0,1)t(1,)(t)0(t) (1,)ab(t)(1)1ab13ln x11ax1 ln x21ax2x1x2ln x1x2x1x2a( x1x2 )ln x2x1x2a( x2x1 )x1x2x1x1x2;.lnx21x1 x2ln x21即x1a ， ln x1 x2(x1)( x1x2 ) ，x1x1 x2x1

20、x2x1x2x2x1 x2即 ln x1 x22( x1x2 )x1x2lnx2 ， 分x1 x2x2x1x1不妨令 0x1 x2 ，記 tx21 ，令 F (t )ln t2(t1)1)(t1)2x1t1(t，則 F (t)0 ，t (t1) F (t)ln t2(t1) 在 (1,) 上單調(diào)遞增，則 F (t )ln t2(t1)F (1)0 ，t 1t1 ln t2(t 1) ，則 ln x22( x2x1 ) ， ln x1 x22( x1x2 )x1x2 ln x22 ，t 1x1x1x2x1 x2x2x1 x1又 ln x1 x22( x1x2 )ln x1 x24 x1 x2ln

21、 x1x242ln4，x1 x2x1 x2x1 x2x1x2x1 x2 2lnx1 x242 ，即 lnx1 x221，x1 x2x1x2令 G( x)ln x20 時(shí)， G (x)120 ， G(x) 在(0,) 上單調(diào)遞增，則 xxx2x又 ln2e21 ln 2120.851，2e2e G( x1x2 ) ln x1x221 ln 2e2，則 x1x22e ，即 x1x22e2 x1x22e 分7、;.8:f (0) 1f'(x)exf '(0)1g(0) cg '( x) 2axbg '(0) b2f (0) g (0)1c1,4f '(0) g

22、 '(0)b1;.解 : a c 1， b0 時(shí)， g(x)x21 ，5 分 x0時(shí)， f (0)1 ， g(0)1，即 f (x)g (x) x0時(shí)， f ( x)1， g (x)1 ，即 f (x)g (x) x0時(shí)，令 h( x)f ( x)g( x)exx21, 則 h'(x) ex2x .設(shè) k (x)h '(x)=ex2x ，則 k '(x)=ex2 ，當(dāng) xln 2 時(shí) ,k '(x)0, k( x) 單調(diào)遞減 ; 當(dāng) xln 2時(shí) , k '(x)0, k(x) 單調(diào)遞增 .所以當(dāng) xln 2時(shí) ,k (x) 取得極小值 , 且極小值為k(ln 2)eln 22ln 22ln 40即 k (x)h '(x)=ex2x0 恒成立，故 h( x) 在 R 上單調(diào)遞增 , 又 h(0) 0 ,因此 , 當(dāng) x0 時(shí) ,h( x)h(0)0 , 即 f ( x)g( x) .9 分綜 上 ， 當(dāng) x0 時(shí) ,f ( x) g( x) ； 當(dāng) x0 時(shí) ,f ( x) g( x) ； 當(dāng) x 0 時(shí) ,f ( x)g( x) 10 分證法一：若0a1，由知，當(dāng)x0 時(shí) ,exx21 . 即 exx