復(fù)變函數(shù)與積分變換6.1 共形映射概念ppt課件

1、1第六章 共形映射 第六章第六章 共形映射共形映射6.2 共形映射的根本問題共形映射的根本問題6.1 共形映射的概念共形映射的概念6.3 分式線性映射分式線性映射6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的共形映射幾個初等函數(shù)構(gòu)成的共形映射2第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 6.1 共形映射的概念共形映射的概念 本章將從幾何的角度來研討復(fù)變函數(shù)，特別是要弄清楚本章將從幾何的角度來研討復(fù)變函數(shù)，特別是要弄清楚 解析函數(shù)的幾何映射特征。解析函數(shù)的幾何映射特征。 詳細(xì)地說，詳細(xì)地說， 平面上的曲線或者區(qū)域經(jīng)映射平面上的曲線或者區(qū)域經(jīng)映射 后，后， 在在 平面上的象究竟發(fā)生了什么變化？平面上的象究竟發(fā)生了什么變

2、化？ )(zfw wz 3第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 6.1 共形映射的概念共形映射的概念 一、伸縮率與旋轉(zhuǎn)角一、伸縮率與旋轉(zhuǎn)角 二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 三、共形映射三、共形映射 4第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 ( (平均伸縮率平均伸縮率) ) 0limzz0C一、伸縮率與旋轉(zhuǎn)角一、伸縮率與旋轉(zhuǎn)角 1. 伸縮率伸縮率 w )(zfw 映射后，映射后， 可以看出，曲線被伸縮和旋轉(zhuǎn)?？梢钥闯觯€被伸縮和旋轉(zhuǎn)。 如圖，過如圖，過 點(diǎn)的曲線點(diǎn)的曲線 經(jīng)經(jīng) 0z0C)(zfw |00zzww |zw 0lim z0C定義定義 稱稱 為曲線為曲線 經(jīng)經(jīng) 映射后映射

3、后 0C)(zfw 0z在在 點(diǎn)的伸縮率點(diǎn)的伸縮率 。 0w .0變成了過變成了過 點(diǎn)的曲線點(diǎn)的曲線 z 0C)(z0z)(w00wzw5第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 0 切線切線 )(z0Cz0z )(w0w0wz w )(zfw )( 0limzz0C定義定義 稱稱 為曲線為曲線 經(jīng)經(jīng) 映射后映射后 0C)(zfw 0z在在 點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角。點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角。 2. 旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角 00 一、伸縮率與旋轉(zhuǎn)角一、伸縮率與旋轉(zhuǎn)角 如圖，過如圖，過 點(diǎn)的曲線點(diǎn)的曲線 經(jīng)經(jīng) 映射后，變成了過映射后，變成了過 點(diǎn)的曲線點(diǎn)的曲線 可以看出，曲線被伸縮和旋轉(zhuǎn)?？梢钥闯?，曲線被伸縮和旋轉(zhuǎn)。 0z0C)(z

4、fw 0w .00 切線切線 這兩個目的定量地描寫了曲線經(jīng)映射后的部分變化特征。這兩個目的定量地描寫了曲線經(jīng)映射后的部分變化特征。 6第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)解析，內(nèi)解析， 且且 ,0Dz )(zfw .0)(0 zf分析分析 ,zw 0lim z0C由由,|,|ee iizzww 有有 ,|)(e izw0lim z0C)(0zf ,|)(00e izw0lim z0Czwz 0lim)(0zf 0 )(z0Cz0z 0 )(w0w0wz w )(zfw 切線切線 切線切線 7第六章 共形映射 6.1

5、共形映射的概念 二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)解析，內(nèi)解析， 且且 ,0Dz )(zfw .0)(0 zf分析分析 ,|)(00e izw0lim z0C)(0zf .| )(|)(arg00ezfizf 1. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 | )(|0zf 為曲線為曲線 在在 點(diǎn)的伸縮率。點(diǎn)的伸縮率。 0z0C)(arg0zf 為曲線為曲線 在在 點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角。點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角。 0z0C 0 )(z0Cz0z 0 )(w0w0wz w )(zfw 切線切線 切線切線 8第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 1 11 1C 0 )(z0Cz0z 0 )(

6、ww0wz w )(zfw 切線切線 切線切線 0二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 2. 伸縮率不變性伸縮率不變性 任何一條經(jīng)過任何一條經(jīng)過 點(diǎn)的曲線的點(diǎn)的曲線的 0z3. 旋轉(zhuǎn)角不變性旋轉(zhuǎn)角不變性 . | )(|0zf 伸縮率均為伸縮率均為 任何一條經(jīng)過任何一條經(jīng)過 點(diǎn)的曲線的點(diǎn)的曲線的 0z. )(arg0zf 旋轉(zhuǎn)角均為旋轉(zhuǎn)角均為 即即 000)(arg zf,11 9第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 1 11 1C二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 0 )(z0Cz0z 0 )(ww0wz w )(zfw 切線切線 切線切線 001 01 2. 伸縮率不變性伸縮率不變性

7、任何一條經(jīng)過任何一條經(jīng)過 點(diǎn)的曲線的點(diǎn)的曲線的 0z3. 旋轉(zhuǎn)角不變性旋轉(zhuǎn)角不變性 . | )(|0zf 伸縮率均為伸縮率均為 任何一條經(jīng)過任何一條經(jīng)過 點(diǎn)的曲線的點(diǎn)的曲線的 0z. )(arg0zf 旋轉(zhuǎn)角均為旋轉(zhuǎn)角均為 4. 保角性保角性 .0101 000)(arg zf,11 由由 即即 堅(jiān)持了兩條曲線的交角的大小與方向不變。堅(jiān)持了兩條曲線的交角的大小與方向不變。 )(zfw 即即 10第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 三、共形映射三、共形映射 1. 第一類保角映射第一類保角映射 定義定義 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)滿足：內(nèi)滿足： )(zfw (2) 伸縮率不變性，

8、伸縮率不變性， (1) 保角性保角性 , (保大小保大小, 保方向保方向)； 那么稱函數(shù)那么稱函數(shù) 為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域 D 內(nèi)的內(nèi)的 )(zfw )(zfw 0 )(z0C0z)(w1 11 1C第一類保角映射。第一類保角映射。 且且 ,0)( zf假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)解析，內(nèi)解析， )(zfw 結(jié)論結(jié)論 那么函數(shù)那么函數(shù) 為為 )(zfw 區(qū)域區(qū)域 D 內(nèi)的第一類保角映射。內(nèi)的第一類保角映射。 01 01 0 00wP定義定義 6.1 P定理定理 6.1 11第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 三、共形映射三、共形映射 1. 第一類保角映射第一類保角映射 2. 第二類保角映

9、射第二類保角映射 定義定義 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)滿足：內(nèi)滿足： )(zfw 那么稱函數(shù)那么稱函數(shù) 為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域 D 內(nèi)的內(nèi)的 )(zfw 第二類保角映射。第二類保角映射。 (2) 伸縮率不變性，伸縮率不變性， (1) 能堅(jiān)持兩條曲線的交角的大小能堅(jiān)持兩條曲線的交角的大小 )(zfw 1 10w0 01 1C01 01 不變，但方向相反；不變，但方向相反； 0 )(z0C)(w0zP定義定義 6.1 12第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 三、共形映射三、共形映射 1. 第一類保角映射第一類保角映射 2. 第二類保角映射第二類保角映射 3. 共形映射共形映射 假設(shè)函數(shù)假設(shè)

10、函數(shù) 為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域 D 內(nèi)的第一類保角映射，內(nèi)的第一類保角映射， )(zfw 定義定義 那么稱那么稱 為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域 D 內(nèi)內(nèi) )(zfw 時，時， , )()(21zfzf 21zz 的共形映射。的共形映射。 關(guān)鍵關(guān)鍵 要求函數(shù)還必需是一一映射要求函數(shù)還必需是一一映射(即雙方單值即雙方單值)。 且當(dāng)且當(dāng) P定義定義 6.2 ( (保角映射的來歷保角映射的來歷?)?)13第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 (1) 在在 點(diǎn)，點(diǎn)， iz 1,22)(2eiiif 因此，函數(shù)因此，函數(shù) 在在 處處 )(zfw iz 1其伸縮率為其伸縮率為 2，旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)角為 .2/ (2) 在在 點(diǎn)，點(diǎn)，

11、 02 z,0)0( f因此，函數(shù)的保角性不成立。因此，函數(shù)的保角性不成立。 的伸縮率不變，且具有保角性，的伸縮率不變，且具有保角性， )(zfw )(z)(w解解 函數(shù)函數(shù) 在復(fù)平面上處處解析，且在復(fù)平面上處處解析，且 .2)(zzf )(zf0C1C 0 21P 例例6.1 14第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 解解 (1) 由于由于 |zw 0lim z|zz 0lim z,1 因此，它具有伸縮率不變性；因此，它具有伸縮率不變性； (2) 顯然，該函數(shù)能堅(jiān)持兩條曲線的顯然，該函數(shù)能堅(jiān)持兩條曲線的 的交角的大小不變的交角的大小不變 , 但方向相反，但方向相反， 因此，它是第二類保角

12、映射。因此，它是第二類保角映射。 P 例例6.2 15第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 因此，它在整個復(fù)平面上是第一類共形映射。因此，它在整個復(fù)平面上是第一類共形映射。 可見，它不是雙方單值的，可見，它不是雙方單值的， (2) 令令 ,111yixz 解解 (1) 由于由于 在復(fù)平面上處處解析，且在復(fù)平面上處處解析，且 zwe ,0)(ee zz1e1zw ,11eeyix 那么那么 那么那么 2e2zw )2(11ee yix11eeyix ,1w (3) 假設(shè)設(shè)區(qū)域假設(shè)設(shè)區(qū)域 , 2Im0:zzD 是雙方單值的，是雙方單值的， 那么它在區(qū)域那么它在區(qū)域 D 內(nèi)內(nèi) 因此，它不是共形映

13、射。因此，它不是共形映射。 因此，它是區(qū)域因此，它是區(qū)域 D 內(nèi)共形映射。內(nèi)共形映射。 , )2(222yixz令令 P 例例6.3 16第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 休憩一下17第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 附：保角映射的來歷附：保角映射的來歷 1777年年 歐拉歐拉(Euler)就曾遇到過所謂的保角映射，他把就曾遇到過所謂的保角映射，他把 這種映射稱為這種映射稱為“小范圍里的類似映射。小范圍里的類似映射。 保角映射這一術(shù)語最早出如今俄羅斯科學(xué)院院士保角映射這一術(shù)語最早出如今俄羅斯科學(xué)院院士 舒別爾特舒別爾特( )的制圖學(xué)著作中。的制圖學(xué)著作中。 1788年年 1779年年 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)創(chuàng)建了從旋轉(zhuǎn)曲面到平面上創(chuàng)建了從旋轉(zhuǎn)曲面到平面上 的保角映射實(shí)際。的保角映射實(shí)際。 1822年年 高斯高斯( Gauss )創(chuàng)建了由復(fù)變函數(shù)出發(fā)的普通的保創(chuàng)建了由復(fù)變函數(shù)出發(fā)的普通的保 角映射實(shí)際。角映射實(shí)際。 18第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 附：保角映射的來歷附：保角映射的來歷 1851年年 黎曼黎曼(Riemann)初次發(fā)表了關(guān)于恣意的單連域都