多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)

1、17-2 多元函數(shù)的概念、多元函數(shù)的概念、 極限和連續(xù)極限和連續(xù) 21.柱面柱面:復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)1 222222 czbyax2. 橢球面橢球面3. 橢圓錐面橢圓錐面 22222xyzab4. 橢圓拋物面橢圓拋物面2222xyzab5. 雙曲拋物面雙曲拋物面 2222xyzab3第二節(jié)多元函數(shù)的概念、極限和連續(xù) 第七七章 一、平面區(qū)域一、平面區(qū)域 二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 三、二元函數(shù)的極限三、二元函數(shù)的極限四、二元函數(shù)的連續(xù)性四、二元函數(shù)的連續(xù)性 4一、平面區(qū)域一、平面區(qū)域1.1.平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集: :坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì) P 的點(diǎn)的集合的點(diǎn)的集合, ,稱為平

2、面點(diǎn)集稱為平面點(diǎn)集. .如：如： ( , ) ( , )Ex yx yP 記記作作：具具有有性性質(zhì)質(zhì) 221( , )14Ex yxy 2( , )0,0Ex y xy oxyoxy425),(0 PU |0PPP.)()(| ),(2020 yyxxyx：0P),(000yxP ),(000yxP 0P ),(0 PU： xyo 0P幾何意義：幾何意義：0(, )U P 表示表示xoy面上以面上以),(000yxP 不包括圓周上的點(diǎn)不包括圓周上的點(diǎn).60Pxyo 0P00(, ),U P 記記作作：00(, )U P 則則：.)()(0),( 2020 yyxxyx 00|PPP 注意注意:

3、 (1)如果不強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑如果不強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑,0()U p則則用用表表示示, ,00()U p去去心心鄰鄰域域用用表表示示. .0(2) (, )U p 在在圓圓平平面面上上表表示示形形鄰鄰域域. . 0(, )( , ) U Px y 2200()()xxyy 即即0(, )U p 在在空空間間表表示示球球形形鄰鄰域域： ,0()( , , ) U Px y z 222000()()()xxyyzz 7在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域, ,平面上的方鄰域?yàn)槠矫嫔系姆洁徲驗(yàn)椤?P因?yàn)榉洁徲蚺c圓因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含鄰域可以互相包含. . 0U( ,)(

4、, ) Px y 0,x x 0y y 83. 內(nèi)點(diǎn)和開集內(nèi)點(diǎn)和開集設(shè)有點(diǎn)集設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn)及一點(diǎn) P : 若存在點(diǎn)若存在點(diǎn) P 的某鄰域的某鄰域 U(P) E ,E則稱則稱 P 為為 E 的的內(nèi)點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)；pp 若存在點(diǎn)若存在點(diǎn) P 的某鄰域的某鄰域 U(P) E = ,則稱則稱 P 為為 E 的的外點(diǎn)外點(diǎn) ; 若點(diǎn)集若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，內(nèi)點(diǎn)，則稱則稱 E 為為開集；開集；41),(221 yxyxE94. 邊界點(diǎn)與邊界邊界點(diǎn)與邊界設(shè)有點(diǎn)集設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn)及一點(diǎn) P : 若對點(diǎn)若對點(diǎn) P 的任一鄰域的任一鄰域 U(P) 既含既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含中的內(nèi)點(diǎn)也含 EE則稱則稱

5、P 為為 E 的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) .的外點(diǎn)的外點(diǎn) ,顯然顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外點(diǎn)必不屬于的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的的邊界點(diǎn)可能屬于邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于也可能不屬于 E . p E 的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界點(diǎn)的全體稱為 E 的的邊界邊界, 記作記作 E ;10D5. 開區(qū)域及閉區(qū)域開區(qū)域及閉區(qū)域 若集若集 D 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D 的折線相連的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域閉區(qū)域.則稱則稱 D 是是連通的連通的 ; 連通的開集稱為連通的開集稱為開區(qū)域開區(qū)域 ,簡稱簡稱區(qū)域

6、區(qū)域 ;。 。例如，在平面上例如，在平面上開區(qū)域開區(qū)域 xyo ( , )0 x yxy 22( , ) 14x yxy xyo2111閉區(qū)域閉區(qū)域 xyoxyo21 ( , )0 x yxy 22( , ) 14x yxy 點(diǎn)集點(diǎn)集 是開集，是開集， 整個平面整個平面 是最大的開區(qū)域是最大的開區(qū)域 , 也是最大的閉區(qū)域；也是最大的閉區(qū)域；但非開區(qū)域但非開區(qū)域 .11oxy ( , )1x yx 12 對區(qū)域?qū)^(qū)域 D , 若存在正數(shù)若存在正數(shù) K , 使一切點(diǎn)使一切點(diǎn) P D 與某定點(diǎn)與某定點(diǎn) A 的距離的距離 AP K , 則稱則稱 D 為為有界區(qū)域有界區(qū)域 , 無無界區(qū)域界區(qū)域 .否則稱

7、為否則稱為6. 有界區(qū)域及無界區(qū)域有界區(qū)域及無界區(qū)域例如：例如：.41| ),(22 yxyxxyo0| ),( yxyxxyo137. n 維空間維空間n 元有序數(shù)組元有序數(shù)組的全體稱為的全體稱為 n 維空間維空間,L12(,)nx xx(1) n維空間的維空間的記號記號為為;nRKRR RRn KK12(,)R,1,2,nkx xxxkn n 維空間中的每一個元素維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為空間中的稱為該點(diǎn)的第稱為該點(diǎn)的第 k 個個坐標(biāo)坐標(biāo) .一個一個點(diǎn)點(diǎn), 當(dāng)所有坐標(biāo)當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為稱該元素為 nR中的零元中的零元,記作記作O . K12(,)nx xxkx數(shù)數(shù)0kx 時時，

8、(2) n維空間中維空間中兩點(diǎn)間距離公式兩點(diǎn)間距離公式 K12R( ,)nnxx xx 中中的的點(diǎn)點(diǎn)K12( ,)nyy yy 與與點(diǎn)點(diǎn)的的距離距離記作記作( , ),x yxy 或或規(guī)定為規(guī)定為 14(2) n維空間中兩點(diǎn)間距離公式維空間中兩點(diǎn)間距離公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為2221122( , )()()()nnx yx yxyxyxy = =KK2221122|()()()nnPQxyxyxy 與零元與零元 O 的距離為的距離為K12R(,)nnxx xx 中中的的點(diǎn)點(diǎn)K22212nxxxx 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng) 時，便為數(shù)軸、平面、時，便為數(shù)軸、平面、空

9、間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間的距離3, 2, 1 n注注: n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念也可類似定義也可類似定義15二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 1.定義定義 設(shè)設(shè)D是平面上的一個點(diǎn)集，是平面上的一個點(diǎn)集， 如果對于每個點(diǎn)如果對于每個點(diǎn)，DyxP ),(變量變量z按照一定的對應(yīng)法則總有確定的值按照一定的對應(yīng)法則總有確定的值和它對應(yīng)，和它對應(yīng)，則稱則稱z是變量是變量yx、的的二元函數(shù)，二元函數(shù)，類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)D稱為定義域稱為定義域. 函數(shù)值記為：函數(shù)值記為：),(,00),(0000yxfzzyxyyxx .1)sin(2y

10、xyz )1 ,2( z記為：記為：),(yxfz （或記為（或記為 ）.)(Pfz 如如則則當(dāng)當(dāng)2 n時，時，n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù). 211)12sin( . 21 16 013222yxyx 22242yxyx222)3arcsin(),(yxyxyxf xoy., 42| ),(222yxyxyxD 17114 . 12222 yxyxz) 2ln( . 2 yxyxz 04 : . 122 yxD0122 yx 4122 yx0 . 2 yxD：02 yx xy 2 xyoyx2 y=x+2 y=x -2xyo12.41: ),(22 yxyx.2,: ),( x

11、yxyyx183.二元函數(shù)幾何意義二元函數(shù)幾何意義 一元函數(shù)的圖象是平面上的曲線一元函數(shù)的圖象是平面上的曲線,二元函數(shù)的圖二元函數(shù)的圖形則是三維空間的曲面形則是三維空間的曲面.如二元函數(shù)如二元函數(shù) 的圖形就的圖形就是拋物面是拋物面,因此因此,二元函數(shù)在幾何上表示三維空間的二元函數(shù)在幾何上表示三維空間的一張曲面一張曲面.22yxz oxyzSD),(yxfz 192222azyx .),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 22yxz xyzoxyzo20三、將平面區(qū)域表示為不等式三、將平面區(qū)域表示為不等式-平行線穿越法平行線穿越法1.如果平面區(qū)域?yàn)椋喝绻矫鎱^(qū)域?yàn)椋?(2xy

12、 abD)(1xy oDba)(2xy )(1xy o, bxa ).()(21xyx X型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)：區(qū)域邊界相交不多于區(qū)域邊界相交不多于兩個兩個交點(diǎn)交點(diǎn).穿過區(qū)域穿過區(qū)域且且平行于平行于y軸的直線軸的直線與與其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間a,b上上連續(xù)連續(xù).)(1x )(2x X型型212.如果區(qū)域?yàn)椋喝绻麉^(qū)域?yàn)椋?(2yx )(1yx Dcdocd)(2yx )(1yx Do, dyc ).()(21yxy Y型型Y型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)：區(qū)域邊界相交區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn)不多于兩個交點(diǎn).穿過區(qū)域穿過區(qū)域且且平行于平行于x軸的直線軸的直線與與想得到想得到X-型區(qū)域型

13、區(qū)域時，時， 就就把區(qū)域投影在把區(qū)域投影在x軸軸上；上；想得到想得到Y(jié)-型區(qū)域型區(qū)域時，時， 就就把區(qū)域投影在把區(qū)域投影在y軸軸上上.一般地一般地:稱這種判斷區(qū)域類型的方法為：稱這種判斷區(qū)域類型的方法為：平行線穿越法平行線穿越法22, bxa dyc ，321DDDD 1D3D2D321DDD、xoyDcadb23例例3 .用不等式組表示平面區(qū)域用不等式組表示平面區(qū)域D，其中，其中2:(1)1,2,2.Dyxxyx 圍圍成成解解oxy作圖，作圖，:D則則212.21xyxx 122(2)1,(1) ,1.yx yxy 圍圍成成21yx 2xy 2x 24例例4 .用不等式組表示平面區(qū)域用不等式

14、組表示平面區(qū)域D，其中，其中2:(2)1,(1) ,1.Dyx yxy 圍圍成成oxy1yx 2(1)yx 1y 解解作圖作圖:D則則01.11yyxy 反過來反過來,給出平面區(qū)域給出平面區(qū)域D,會作出圖形會作出圖形.2522: 24-,Dxxyx 作出作出D的圖形的圖形.解解22,0yxxx 24-yx 0.y oxy22(1)1,xy ( , )sin ,(4,)(,).2f x yxyff xy xy 求求、解解(4,)2f 4sin2 2，(,)f xy xy ()sin().xyxy 224xy 263(1)( ).zyfxyzxf xz 并并且且1 1時時, , ,求求及及解解3(

15、1):yzxzyfx 將將1 1時時, ,代代入入得得3(1)1,fxx 31,xt 令令3(1) ,xt 3( )(1)1f tt 3233 ,ttt ( )f x 3233 ,xxx 3(1)1,fxx 又又3(1)zyfx 1.yx 27小結(jié)小結(jié)1.平面點(diǎn)集、平面點(diǎn)集、n維空間相關(guān)概念維空間相關(guān)概念鄰域鄰域0(, )U P .)()(| ),(2020 yyxxyx2.二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的概念 3.會求函數(shù)的定義域及函數(shù)值會求函數(shù)的定義域及函數(shù)值.4.會用不等式組表示平面區(qū)域會用不等式組表示平面區(qū)域.5.得到得到X-型區(qū)域、型區(qū)域、 Y-型區(qū)域的型區(qū)域的一般方法：一般方法：(1)想得到想得到X-型區(qū)域型區(qū)域時，時，就就把區(qū)域投影在把區(qū)域投影在x軸軸上；上；(2)想得到想得到Y(jié)-型區(qū)域型區(qū)域時，時，就就把區(qū)域投影在把區(qū)域投影在y軸軸上上.286.判斷區(qū)域類型的方法是：判斷區(qū)域類型的方法是：將將D投影到投影到x軸上，軸上，若投影區(qū)間為若投影區(qū)間為a,b,則則; bxa 用一組用一組平行于平行于y軸軸且且與與y軸同方向的直線軸同方向的直線穿越穿越D， 入口入口線線