復(fù)數(shù)三角形式

1、復(fù)數(shù)的三角形式復(fù)習(xí)引入新課：oxyabZ（a，b）r復(fù)數(shù)的表示的三種方法：代數(shù)式a+bi點(diǎn)z（a，b）向量ozZ=a+bi所對(duì)應(yīng)的向量oza為復(fù)數(shù)的實(shí)部 b為復(fù)數(shù)的虛部r=a2+b2 為復(fù)數(shù)的模rab復(fù)數(shù)輻角的概念：以x軸的正半軸為始邊，向量oz所在的射線為終邊的角，XOYZ(a,b)rab（二）復(fù)數(shù)的三角形式：當(dāng)a=rCos b=rSina+bi=rCos+iSin= r（Cos+iSin ）則z=r（Cos+Sin）為復(fù)數(shù)的三角形式。XYZ(a,b)O復(fù)數(shù)的三角形式條件：Z= （ i ）r0。加號(hào)連接。Cos在前，Sin在后。前后一致，可任意值。r Cos Sin+例1：把下列復(fù)數(shù)代數(shù)式化

2、成三角式：i31213r解3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限3c o s26即6623iSinCosi211r解i12127c o s242對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限而i1474721iSinCosi想一想：代數(shù)式化三角式的步驟（1）先求復(fù)數(shù)的模（2）決定輻角所在的象限（3）根據(jù)象限求出輻角（4）求出復(fù)數(shù)三角式。小結(jié)：一般在復(fù)數(shù)三角式中的輻角，常取它的主值這既使小結(jié)：一般在復(fù)數(shù)三角式中的輻角，常取它的主值這既使表達(dá)式簡(jiǎn)便，又便于運(yùn)算，但三角形式輻角不一定要主值。表達(dá)式簡(jiǎn)便，又便于運(yùn)算，但三角形式輻角不一定要主值。例2：將下列復(fù)數(shù)化為三角形式；552iSinCos43432iCosSin3321iSinCos552

3、iSinCos59592iSinCos47472iSinCos343421iSinCos54542iSinCos(1)6(cos0+isin 0)(2)5(cos+isin(2)5(cos+isin)把下列復(fù)數(shù)化成三角形式：（1）6 （2）-5 （3）2i（4）-I （5）-2+2i解 2223iSinCos 23234iSinCos 4343225iSinCos（四）練習(xí)：例例3求復(fù)Z=1+cos+isin(2)的模與輻角主值. 分析分析:式子中多3個(gè)“1”，只有將“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”. 解解:Z=1+cos+isin=1+(2cos2-1)+2isin

4、cos=2cos(cos+isin).(1) 2 ,cos0(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2coscos(+)+isin(+) r=-2cos +2，argZ=+分分析析與與解解答答： . i1i 43i7i 43i 42i 35i 43i 42) i1)(i 41(z 又又 tg =a-1, -1tg 1, 的輻角主值的輻角主值)2 ,474, 0 . =z+ai=1-i+ai=1+(a-1)i 且且2| ， 2)1a(12 ， 解解得得 0a2, 此此題題首首先先要要算算對(duì)對(duì)了了，還還要要會(huì)會(huì)算算模模以以及及輻輻角角.其其中中，最最容容 易易出出問問題題的的是是 的的范

5、范圍圍的的確確定定.僅僅有有-1tg 1 是是不不夠夠的的，還還 應(yīng)應(yīng)當(dāng)當(dāng)注注意意到到 =1+(a-1)i 的的實(shí)實(shí)部部為為 1，虛虛部部 a-1 在在-1，1內(nèi)內(nèi)， 所所以以 所所對(duì)對(duì)的的輻輻角角只只能能在在第第一一和和第第四四象象限限. 復(fù)數(shù)的三角形式這樣，我們把 叫做復(fù)數(shù)a+bi的三角形式(cossin )ri cossin(cossin )abirirri 二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則引入復(fù)數(shù)三角形式的一個(gè)重要原因在于用三角形式進(jìn)行乘除法、乘方、開方相對(duì)于代數(shù)形式較為簡(jiǎn)單。所以這里只介紹三角形式的乘法、除法、乘方與開方的運(yùn)算法則。1、復(fù)數(shù)的乘法設(shè)1111(cossin)zri 2222(

6、cossin)zri 那么1 2111111 (cossin) (cossin)z zriri 復(fù)數(shù)的三角形式二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則1、復(fù)數(shù)的乘法1 2111222 (cossin) (cossin)z zriri1 212121 21212(coscossinsin)(sincoscossin)rrirr 1 21212cos()sin()rri 這說(shuō)明，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘等于它們的模相乘而幅角相加即1 21 21212cos()sin()z zrri 這個(gè)運(yùn)算在幾何上可以用下面的方法進(jìn)行：將向量z1的模擴(kuò)大為原來(lái)的r2倍，然后再將它繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角2，就得到z1z2。復(fù)數(shù)的三角形式二、復(fù)數(shù)

7、三角形式的運(yùn)算法則2、復(fù)數(shù)的除法11112222(cossin)(cossin)rizzri 1112222222(cossin)(cossin)(cossin)(cossin)riirii 1121221212(coscossinsin)(sincoscossin)rri112122cos()sin()rir復(fù)數(shù)的三角形式二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則2、復(fù)數(shù)的除法11121222cos()sin()zrizr 即這說(shuō)明，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除等于它們的模相除而幅角相減這個(gè)運(yùn)算在幾何上可以用下面的方法進(jìn)行：將向量z1的?？s小為原來(lái)的r2分之一，然后再將它繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角2，就得到z1z2。將向量z1的模

8、變?yōu)樵瓉?lái)的n次方，然后再將它繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角n，就得到zn。3、復(fù)數(shù)的乘方。這個(gè)運(yùn)算在幾何上可以用下面的方法進(jìn)行：(cossin)nnzrnin 4、復(fù)數(shù)的開方那么 (cossin )(cossin)nnninin 所以2012,(,)nrnkk 即22012,(,)nkkrknnn 顯然，當(dāng)k從0依次取到n1,所得到的角的終邊互不相同，但k從n開始取值后，前面的終邊又周期性出現(xiàn)。因此，復(fù)數(shù)z的n個(gè)n次方根為220 1 21(cossin),(, , ,)nkkkriknnn 設(shè) 的一個(gè)n次方根為(cossin )zri (cossin)i4、復(fù)數(shù)的開方復(fù)數(shù)的三角形式二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法

9、則220 1 21(cossin),(, , ,)nkkkriknnn 從求根公式可以看出，相鄰兩個(gè)根之間幅角相差n 所以復(fù)數(shù)z的n個(gè)n次方根均勻地分布在以原點(diǎn)為圓心，以它的模的n次算術(shù)根為半徑的圓周上。因此，求一個(gè)復(fù)數(shù)z的全部n次方根，可以用下面的幾何手段進(jìn)行：(cossin )zri 先作出圓心在原點(diǎn)，半徑為 的圓，然后作出角 的終邊nrn 以這條終邊與圓的交點(diǎn)為分點(diǎn)，將圓周n等分，那么，每個(gè)等分點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是復(fù)數(shù)z的n次方根。復(fù)數(shù)的指數(shù)形式在對(duì)復(fù)數(shù)三角形式的乘法規(guī)則討論中，我們發(fā)現(xiàn)，復(fù)數(shù)的三角形式將復(fù)數(shù)的乘法“部分地”轉(zhuǎn)變成加法（模相乘，幅角相加）這種改變運(yùn)算等級(jí)的現(xiàn)象在初等函數(shù)中有過(guò)

10、體現(xiàn)：對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)xyxya aa log ()loglogaaaxyxy前者將兩個(gè)同底冪的乘積變成同底的指數(shù)相加；后者將兩個(gè)真數(shù)積的對(duì)數(shù)變成兩個(gè)同底對(duì)數(shù)的和。1 21 21212cos()sin()z zrri 從形式上看，復(fù)數(shù)的乘法與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系更為密切些：121 2() ()()xyxybab abba 復(fù)數(shù)的指數(shù)形式根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，復(fù)數(shù) 應(yīng)該可以表示成某種指數(shù)形式(cossin )zri 即復(fù)數(shù)應(yīng)該可以表示成 的形式xy a 這里有三個(gè)問題需要解決：（1）反映復(fù)數(shù)本質(zhì)特征的三個(gè)因素：模r、幅角、虛數(shù)單位i應(yīng)各自擺放在什么位置？（2）在這些位置上它們應(yīng)呈現(xiàn)什么形態(tài)？（3）作為指數(shù)形

11、式的底應(yīng)該用什么常數(shù)？先來(lái)研究第一個(gè)問題.復(fù)數(shù)的指數(shù)形式1 21 21212cos()sin()z zrri 121 2() ()()xyxybab abba 再重新觀察下面的等式xy a 首先，顯然模r應(yīng)該占據(jù) 中系數(shù)y的位置,其次，幅角應(yīng)該占據(jù) 中指數(shù)x的位置,xy a 對(duì)于虛數(shù)單位i，如果放到系數(shù)y的位置會(huì)怎樣？由于222()xxi rar a 等式右邊是實(shí)數(shù)，對(duì)于任意虛數(shù)而言，這是不可能的。因此幅角也應(yīng)該占據(jù)指數(shù)的位置。這樣第二個(gè)問題就產(chǎn)生了：它與幅角一起在指數(shù)的位置上是什么關(guān)系？（相加？相乘？）復(fù)數(shù)的指數(shù)形式幅角與虛數(shù)單位i是相加的關(guān)系會(huì)怎樣？先考察模為1的復(fù)數(shù)cossini 如果寫成 的形式ia iiaaa 一方面，由于與 的形式差別不是很大，()ir a 其次()inni naa 在復(fù)數(shù)的乘方法則中，應(yīng)該僅是幅角的n倍而沒有虛數(shù)單位也要n倍，所以虛數(shù)單位與幅角不應(yīng)該是相加關(guān)系，而應(yīng)該是相乘關(guān)系izra 現(xiàn)在來(lái)審查乘法、除法和乘方法則是否吻合復(fù)數(shù)的指數(shù)形式12121 2121 2()()()()iiiz zrar arr a 1212121212()()()()iiizzrar arr a ()()ninni nzrar a 乘除法保持“模相乘除、幅角相加減”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本質(zhì)特征(cossin )izabirire 從復(fù)數(shù)的模與幅角