數(shù)論的方法技巧

1、頁共第十三頁第1講數(shù)論的方法技巧(上)數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一個數(shù)學(xué)分支，它歷史悠久，而且有著強大的生命力。數(shù)論問題敘述簡明，“很多數(shù)論問題可以從經(jīng)驗中歸納出來，并且僅用三言兩語就能向一個行外人解釋清楚，但要證明它卻遠非易事”。因而有人說：“用以發(fā)現(xiàn)天才，在初等數(shù)學(xué)中再也沒有比數(shù)論更好的課程了。任何學(xué)生，如能把當今任何一本數(shù)論教材中的習(xí)題做出，就應(yīng)當受到鼓勵，并勸他將來從事數(shù)學(xué)方面的工作?！彼栽趪鴥?nèi)外各級各類的數(shù)學(xué)競賽中，數(shù)論問題總是占有相當大的比重。小學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的數(shù)論問題，常常涉及整數(shù)的整除性、帶余除法、奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與分拆。主要的結(jié)論有：1. 帶余除法：若

2、a，b是兩個整數(shù)，b>0，則存在兩個整數(shù)q，r，使得a=bq+r(0<r<b),且q，r是唯一的。特別地，如果r=0，那么a=bq。這時，a被b整除，記作b|a，也稱b是a的約數(shù)，a是b的倍數(shù)。2. 若a|c，b|c，且a，b互質(zhì)，則ab|c。3. 唯一分解定理：每一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即其中p1<p2V-Ypk為質(zhì)數(shù)，al,a2,，ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的。(1)式稱為n的質(zhì)因數(shù)分解或標準分解。4. 約數(shù)個數(shù)定理：設(shè)n的標準分解式為(1)，則它的正約數(shù)個數(shù)為：d(n)=(a1+1)(a2+1)(ak+1)。5. 整數(shù)集的離散性：n與n+

3、1之間不再有其他整數(shù)。因此，不等式x<y與xvy-1是等價的。下面，我們將按解數(shù)論題的方法技巧來分類講解。一、利用整數(shù)的各種表示法對于某些研究整數(shù)本身的特性的問題，若能合理地選擇整數(shù)的表示形式，則常常有助于問題的解決。這些常用的形式有：二頁十三頁共第1 .十進制表示形式：n=an10n+an-110n-1+a0；2 .帶余形式：a=bq+r；3 .2的乘方與奇數(shù)之積式：n=2mt，其中t為奇數(shù)。例1紅、黃、白和藍色卡片各1張，每張上寫有1個數(shù)字，小明將這4張卡片如下圖放置，使它們構(gòu)成1個四位數(shù)，并計算這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差。結(jié)果小明發(fā)現(xiàn)，無論白色卡片上是什么數(shù)字，計算結(jié)

4、果都是1998。問：紅、黃、藍3張卡片上各是什么數(shù)字？解：設(shè)紅、黃、白、藍色卡片上的數(shù)字分別是a3，a2，a1，a0，則這個四位數(shù)可以寫成1000a3+100a2+10a1+a0，它的各位數(shù)字之和的10倍是10(a3+a2+a1+a0)=10a3+10a2+10a1+10a0，這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差是990a3+90a2-9a0=1998，110a3+10a2-a0=222。比較上式等號兩邊個位、十位和百位，可得a0=8，a2=1，a3=2。所以紅色卡片上是2，黃色卡片上是1，藍色卡片上是8。解：依題意，得三頁共第十三頁a+b+c>14，說明：求解本題所用的基本知識是，

5、正整數(shù)的十進制表示法和最簡單的不定方程。例3從自然數(shù)1,2,3,，1000中，最多可取出多少個數(shù)使得所取出的數(shù)中任意三個數(shù)之和能被18整除？a+b+c=18m，a+b+d=18n，其中m，n是自然數(shù)。于是c-d=18（m-n）。上式說明所取出的數(shù)中任意2個數(shù)之差是18的倍數(shù)，即所取出的每個數(shù)除以18所得的余數(shù)均相同。設(shè)這個余數(shù)為r，則a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，其中a1，b1，c1是整數(shù)。于是a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r。因為18|（a+b+c）,所以1813r,即61r,推知r=0,6,12。因為1000=55X18+10:所以，從1,2,，1000中

6、可取6,24,42,，996共56個數(shù)，它們中的任意3個數(shù)之和能被18整除。例4求自然數(shù)N,使得它能被5和49整除，并且包括1和N在內(nèi)，它共有10個約數(shù)。解：把數(shù)N寫成質(zhì)因數(shù)乘積的形式由于N能被5和72=49整除，故a3>1,a4n2,其余的指數(shù)ak為自然數(shù)或零。依題意，有（a1+1）（a2+1）（an+1）=10。由于a3+1>2,a4+1支3,且10=2X5,故,=an+1=1a1+1=a2+1=a5+1=四頁共第十三頁即a1=a2=a5=an=0,N只能有2個不同的質(zhì)因數(shù)5和7,因為a4+1>3>2,故由（a3+1）（a4+1）=10知，a3+1=5,a4+1=2

7、是不可能的。因而a3+1=2,a4+1=5,即2-15-14=12005。XN=57=57X例5如果N是1,2,3,，1998,1999,2000的最小公倍數(shù)，那么N等于多少個2與1個奇數(shù)的積？1011=2048>2000，每一個不大于2000的自然數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)=1024，22解：因為相乘，其中2的個數(shù)不10，所以，N等于10個2與某個奇數(shù)的積。數(shù)不多于10個，而1024=2說明：上述5例都是根據(jù)題目的自身特點，從選擇恰當?shù)恼麛?shù)表示形式入手，使問題迎刃而解。二、枚舉法枚舉法（也稱為窮舉法）是把討論的對象分成若干種情況（分類），然后對各種情況逐一討論，最終解決整個問題。運用枚舉法有時要進

8、行恰當?shù)姆诸?，分類的原則是不重不漏。正確的分類有助于暴露問題的本質(zhì)，降低問題的難度。數(shù)論中最常用的分類方法有按模的余數(shù)分類，按奇偶性分類及按數(shù)值的大小分類等。例6求這樣的三位數(shù)，它除以11所得的余數(shù)等于它的三個數(shù)字的平方和。分析與解：三位數(shù)只有900個，可用枚舉法解決，枚舉時可先估計有關(guān)量的范圍，以縮小討論范圍，減少計算量。設(shè)這個三位數(shù)的百位、十位、個位的數(shù)字分別為X,y,z。由于任何數(shù)除以11所得余數(shù)都不大于10，所以x2+y2+z2<10,從而1VxV3,0<y<3,0VzC3。所求三位數(shù)必在以下數(shù)中：100，101，102，103，110，111，112，202，201

9、，200，130，122，121，120五頁共十三第頁211，212，220，221，300，301，310。不難驗證只有100，101兩個數(shù)符合要求。例7將自然數(shù)N接寫在任意一個自然數(shù)的右面（例如，將2接寫在35的右面得352），如果得到的新數(shù)都能被N整除，那么N稱為魔術(shù)數(shù)。問：小于2000的自然數(shù)中有多少個魔術(shù)數(shù)？對N為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)分別討論。解：設(shè)a，b，c，d是所取出的數(shù)中的任意4個數(shù)，則N|100，所以N=10，20，25，50；N|1000，所以N=100，125，200，250，500；1250 ， 2000 ， 2500 ， 5000 。符合條件的有10k 的約

10、數(shù)，反之亦然。（4）當N為四位數(shù)時，同理可得N=10001000，1250。綜上所述，魔術(shù)數(shù)的個數(shù)為14個。說明：（1）我們可以證明：k位魔術(shù)數(shù)一定是（2）這里將問題分成幾種情況去討論，對每一種情況都增加了一個前提條件，從而降低了問題的難度，使問題容易解決。例8有3張撲克牌，牌面數(shù)字都在10以內(nèi)。把這3張牌洗好后，分別發(fā)給小明、小亮、小光3人。每個人把自己牌的數(shù)字記下后，再重新洗牌、發(fā)牌、記數(shù)，這樣反復(fù)幾次后，3人各自記錄的數(shù)字的和順次為13，15，23。問：這3張牌的數(shù)字分別是多少？解：13+15+23=51,51=3X17。因為17>13，摸17次是不可能的，所以摸了3次，3張撲克牌

11、數(shù)字之和是17，可能的情況有下面15種：1,6,101,7,91,8,88,7,29,6,210,5,2六頁十三共頁第3,4,103,5,93,6,83,7,7（11）4,4,9（12）4,5,8（13）4，6，7（14）5，5，7（15）5，6，6只有第種情況可以滿足題目要求，即3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。這3張牌的數(shù)字分別是3，5和9。例9寫出12個都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)。分析一：在尋找質(zhì)數(shù)的過程中，我們可以看出100以內(nèi)最多可以寫出7個連續(xù)的合數(shù)：90，91，92，93，94，95，96。我們把篩選法繼續(xù)運用下去，把考查的范圍擴大一些就行了。解法1：用篩選法可以求

12、得在113與127之間共有12個都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126。分析二：如果12個連續(xù)自然數(shù)中，第1個是2的倍數(shù)，第2個是3的倍數(shù)，第3個是4的倍數(shù)第12個是13的倍數(shù)，那么這12個數(shù)就都是合數(shù)。又m+2,m+3,，m+13是12個連續(xù)整數(shù)，故只要m是2,3,，13的公倍數(shù)，這12個連續(xù)整數(shù)就一定都是合數(shù)。解法2:設(shè)m為2,3,4，13這12個數(shù)的最小公倍數(shù)。m+2,m+3,m+4,，m+13分別是2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，4的倍數(shù)13的倍數(shù)，因此12個數(shù)都是合數(shù)。說明：我們還可以寫出13!+2,13!+3

13、,，13!+13（其中n!=1X2X3XXn）這12個連續(xù)合數(shù)來。同樣，個連續(xù)的合數(shù)。m是+m+1!）m+1（,，+3!）m+1（,+2!）m+1（七頁十三頁共第三、歸納法當我們要解決一個問題的時候，可以先分析這個問題的幾種簡單的、特殊的情況，從中發(fā)現(xiàn)并歸納出一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑。這種從特殊到一般的思維方法稱為歸納法。例10將100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)從小到大排成一個數(shù)字串，依次完成以下5項工作叫做一次操作：（1）將左邊第一個數(shù)碼移到數(shù)字串的最右邊；（2）從左到右兩位一節(jié)組成若干個兩位數(shù)；（3）劃去這些兩位數(shù)中的合數(shù)；（4）所剩的兩位質(zhì)數(shù)中有相同者，保留左邊的一個，其余劃去；（

14、5）所余的兩位質(zhì)數(shù)保持數(shù)碼次序又組成一個新的數(shù)字串。問：經(jīng)過1999次操作，所得的數(shù)字串是什么？解：第1次操作得數(shù)字串711131131737；第2次操作得數(shù)字串11133173；第3次操作得數(shù)字串111731；第4次操作得數(shù)字串1173；第5次操作得數(shù)字串1731；第6次操作得數(shù)字串7311；第7次操作得數(shù)字串3117；第8次操作得數(shù)字串1173。不難看出，后面以4次為周期循環(huán)，1999=4X499+3，所以第1999次操作所得數(shù)字串與第7次相同，是3117。例11有100張的一摞卡片，玲玲拿著它們，從最上面的一張開始按如下的順序進行操再把原來的第三把下一張卡片放在這一摞卡片的最下面。把最上

15、面的第一張卡片舍去，作：八頁十三頁共第張卡片舍去，把下一張卡片放在最下面。反復(fù)這樣做，直到手中只剩下一張卡片，那么剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第幾張？分析與解：可以從簡單的不失題目性質(zhì)的問題入手，尋找規(guī)律。列表如下：設(shè)這一摞卡片的張數(shù)為N，觀察上表可知：a（a=0,1,2,3,）時，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的最后一張，（1）當N=2a張;即第2aam<2（+m）時，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第2m張。（2）當N=26+36，2X36=72,所以剩下這張卡片是原來那一摞卡片的100=2取N=100,因為第72張。說明：此題實質(zhì)上是著名的約瑟夫斯問題：傳說古代有一批人被蠻族俘

16、虜了，敵人命令他們排成圓圈，編上號碼1,2,3,然后把1號殺了，把3號殺了，總之每隔一個人殺一個人，最后剩下一個人，這個人就是約瑟夫斯。如果這批俘虜有111人，那么約瑟夫斯的號碼是多少？例12要用天平稱出1克、2克、3克40克這些不同的整數(shù)克重量，至少要用多少個祛碼？這些砝碼的重量分別是多少？分析與解：一般天平兩邊都可放砝碼，我們從最簡單的情形開始研究。（1）稱重1克，只能用一個1克的砝碼，故1克的一個砝碼是必須的。（2）稱重2克，有3種方案：增加一個1克的砝碼；用一個2克的砝碼；用一個3克的砝碼，稱重時，把一個1克的砝碼放在稱重盤內(nèi)，把3克的砝碼放在砝碼盤內(nèi)。從數(shù)學(xué)角度看，就是利用3-1=2

17、。（3）稱重3克，用上面的兩個方案，不用再增加祛碼，因此方案淘汰。1克，用上面的方案，不用再增加祛碼，因此方案也被淘汰?？傊?）稱重4（九頁十三第頁共克、3克兩個砝碼就可以稱出（3+1）克以內(nèi)的任意整數(shù)克重。（5）接著思索可以進行一次飛躍，稱重5克時可以利用9- （3+1）=5，即用一個9克重的砝碼放在砝碼盤內(nèi)，1克、3克兩個砝碼放在稱重盤內(nèi)。這樣，可以依次稱到1+3+9=13（克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重。而要稱14克時，按上述規(guī)律增加一個砝碼，其重為14+13=27（克），可以稱到1+3+9+27=40（克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重。23克時，所用砝碼最少，稱重最大，這也是本題的答，3，33，總之

18、，砝碼的重量為1案。這個結(jié)論顯然可以推廣，當天平兩端都可放砝碼時，使用1，3，這是使用砝碼最少、稱重最大的砝碼重量設(shè)計方案。練習(xí)11. 已知某個四位數(shù)的十位數(shù)字減去1等于其個位數(shù)字，個位數(shù)字加2等于百位數(shù)字，這個四位數(shù)的數(shù)字反著順序排列成的數(shù)與原數(shù)之和等于9878。試求這個四位數(shù)。3. 設(shè)n是滿足下列條件的最小自然數(shù)：它們是75的倍數(shù)且恰有75個4. 不能寫成兩個奇合數(shù)之和的最大偶數(shù)是多少？5. 把1,2,3,4,，999這999個數(shù)均勻排成一個大圓圈，從1開始數(shù)：隔過1劃掉2,3,隔過4,劃掉5,6這樣每隔一個數(shù)劃掉兩個數(shù)，轉(zhuǎn)圈劃下去。問：最后剩下哪個數(shù)？為什么？6. 圓周上放有N枚棋子，如

19、右圖所示，B點的一枚棋子緊鄰A點的棋子。小洪首先拿走B點處的1枚棋子，然后順時針每隔1枚拿走2枚棋子，連續(xù)轉(zhuǎn)了10周，9次越過A。當將要第10次越過A處棋子取走其它棋子時，小洪發(fā)現(xiàn)圓周上余下20多枚棋子。若N是14的倍數(shù)，則圓周上還有多少枚棋子？十頁共第十三頁7.用0，1，2，3，4五個數(shù)字組成四位數(shù)，每個四位數(shù)中均沒有重復(fù)數(shù)字(如1023，2341)，求全體這樣的四位數(shù)之和。8. 有27個國家參加一次國際會議，每個國家有2名代表。求證：不可能將54位代表安排在一張圓桌的周圍就座，使得任一國的2位代表之間都夾有9個人。練習(xí)1解答1.1987。(a+d)x1000+(b+c)x110+(a+d)

20、=9878。比較等式兩邊，并注意到數(shù)字和及其進位的特點，可知a+d=8，b+c=17。已知c-1=d，d+2=b，可求得a=1，b=9，c=8，d=7。即所求的四位數(shù)為1987。2.1324，1423，2314，2413，3412，共5個。3.432。解：為保證n是75的倍數(shù)而又盡可能地小，因為75=3X5X5,所以可設(shè)n有三個質(zhì)卬，并且，T>2,3X5,其中a>03>1X,因數(shù)2,35,即n=2)=75。()0+1)(丫+1(a+1時，符合題設(shè)條件。此時0=4,丫=2易知當a。4.3827,33。252115938解：小于的奇合數(shù)是，皆可表示為二奇合數(shù)之和：A的偶數(shù)38不能

21、表示成它們之中任二者之和，而大于38十一頁十三頁共第A末位是0，則A=15+5n，A末位是2，則A=27+5n，A末位是4，則A=9+5n，A末位是6，則A=21+5n，A末位是8，則A=33+5n，其中n為大于1的奇數(shù)。因此，38即為所求。5.406。nn-131圈剩下個數(shù)(n為自然數(shù))解：從特殊情況入手，可歸納出：如果是3，那么劃n-2個數(shù)劃(n-1)圈就剩3個數(shù)，再劃1圈，最后剩下的還是起始數(shù)1。2個數(shù)，劃圈剩下36766=)729個數(shù)，個數(shù)，剩下的(=)2703<999<3999-3，從999個數(shù)中劃掉(3即可運用上述結(jié)論。因為每次劃掉的是2個數(shù)，所以劃掉270個數(shù)必須劃1

22、35次，這時劃掉的第270個數(shù)是6個數(shù)的起始數(shù)為406。所以最后剩下的那個數(shù)是406。)405,則留下的3(135X3=6.23枚。解：設(shè)圓周上余a枚棋子。因為從第9次越過A處拿走2枚棋子到第10次將要越過A處棋子時小洪拿走了2a枚棋子，所以，在第9次將要越過A處棋子時，圓周上有3a枚棋子。2a枚棋子在第1次將要越過A3處棋子時，圓周上有依此類推，在第8次將要越過A99a-13)小洪拿走了2(a枚棋子，在第1次將要越過A處棋子之前，3圓周上有處棋子時，9910a-1。a=3(3a-1)+1+3+1枚棋子，所以N=210a=59049a-1是14的倍數(shù)，則N就是2和7的公倍數(shù)，所以a必須是奇數(shù)；N=3若若N=(7X8435+4)a-1=7X8435a+4a-1是7的倍數(shù)，則4a-1必須是7的倍數(shù)，當a=21，25，27，29時，4a-1不是7的倍數(shù)，當a=23時，4a-1=91=7X13,是7的倍數(shù)。當N是14的倍數(shù)時，圓周上有23枚棋子。7.259980用十進位制表示的若干個四位數(shù)之和的加法原理為：解:十二頁共第十三頁若干個四位數(shù)之和=千位數(shù)數(shù)字之和X1000+百位數(shù)數(shù)字之