南昌大學(xué)歷年高等數(shù)學(xué)(下)期末考試試卷(共36頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上南昌大學(xué) 20062007學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 設(shè)，則當(dāng)時(shí), ; 當(dāng) 時(shí), .2. 函數(shù) 的間斷點(diǎn)是.3. 設(shè)函數(shù), 則 .4. 設(shè)G是一個(gè)單連通域,與在G內(nèi)即有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則曲線積分 在G內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是.二、 單項(xiàng)選擇題 (每小題3分,共15分)1. 設(shè)直線方程為 L :, 平面方程為, 若直線與平面平行,則 ( ).(A) 充要條件是:. (B) 充要條件是: . (C) 充分但不必要條件是: (D) 充分但不必要條件是: .2設(shè)是由方程 所確定的隱函數(shù), 則( ). (A) . (B) . (C

2、) . (D) . 3函數(shù) 的極小值為 ( ).(A) . (B) . (C) . (D) .4下列說法正確的是 ( ). (A) 若 , 則級(jí)數(shù) 必收斂. (B) 若級(jí)數(shù) 發(fā)散, 則必有 . (C) 若級(jí)數(shù) 發(fā)散, 則 . (D) 若 , 則 級(jí)數(shù) 必發(fā)散.5微分方程 的通解是 ( ). (A) . (B) . (C) . (D) .三、求解下列各題 (共2小題, 每小題8分, 共16分)1設(shè)一平面經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)且與平面 垂直, 求此平面方程.2設(shè)而,且具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求. 四、求下列積分 (共2小題, 每小題8分, 共16分):1、計(jì)算二重積分,其中是由圓周所圍成的閉區(qū)域.2、計(jì)算曲線積

3、分 , 其中L是取圓周 的正向閉曲線.五、計(jì)算題 (共2小題, 每小題8分,共16分):1、 利用高斯公式計(jì)算曲面積分, 其中是長(zhǎng)方體：整個(gè)表面的外側(cè).2、判別正項(xiàng)級(jí)數(shù) 的斂散性.六、解下列各題（共2小題. 每小題8分, 共16分）:1、設(shè)冪級(jí)數(shù) . (1). 求收斂半徑及收斂區(qū)間 . (2). 求和函數(shù). 2、求微分方程 的通解. 七、(6分) 求一曲線方程,這曲線通過原點(diǎn),并且它在點(diǎn)處的切線斜率等于.南昌大學(xué) 20062007學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷及答案一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 設(shè)，則當(dāng)時(shí), ; 當(dāng) 時(shí), .2. 函數(shù) 的間斷點(diǎn)是.3. 設(shè)函數(shù), 則 .4. 設(shè)G

4、是一個(gè)單連通域,與在G內(nèi)即有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則曲線積分 在G內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是.二、 單項(xiàng)選擇題 (每小題3分,共15分)1. 設(shè)直線方程為 L :, 平面方程為, 若直線與平面平行,則 ( A ).(A) 充要條件是:. (B) 充要條件是: . (C) 充分但不必要條件是: (D) 充分但不必要條件是: .2設(shè)是由方程 所確定的隱函數(shù), 則( C ). (A) . (B) . (C) . (D) . 3函數(shù) 的極小值為 ( B ).(A) . (B) . (C) . (D) .4下列說法正確的是 ( D ). (A) 若 , 則級(jí)數(shù) 必收斂. (B) 若級(jí)數(shù) 發(fā)散, 則必有 . (

5、C) 若級(jí)數(shù) 發(fā)散, 則 . (D) 若 , 則 級(jí)數(shù) 必發(fā)散.5微分方程 的通解是 ( D ). (A) . (B) . (C) . (D) .三、求解下列各題 (共2小題, 每小題8分, 共16分)1設(shè)一平面經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)且與平面 垂直, 求此平面方程.解法一: 所求平面的法向量. 則 . 取 .故所求平面方程為: . 解法二: 設(shè)所求平面法向量則.于是有 解得: . 由平面的點(diǎn)法式方程可知,所求平面方程為.將代入上式,并約去,便得：. 即為所求平面方程. 2設(shè)而,且具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求. 解: 四、求下列積分 (共2小題, 每小題8分, 共16分):1、計(jì)算二重積分,其中是由圓周所圍成的

6、閉區(qū)域.解: 2、計(jì)算曲線積分 , 其中L是取圓周 的正向閉曲線.解: 由格林公式,有原式五、計(jì)算題 (共2小題, 每小題8分,共16分):1、 利用高斯公式計(jì)算曲面積分, 其中是長(zhǎng)方體：整個(gè)表面的外側(cè).解: 則由高斯公式有原式2、判別正項(xiàng)級(jí)數(shù) 的斂散性.解: 所以原級(jí)數(shù)收斂. 六、解下列各題（共2小題. 每小題8分, 共16分）:1、設(shè)冪級(jí)數(shù) . (1). 求收斂半徑及收斂區(qū)間 . (2). 求和函數(shù). 解: (1). 所以收斂半徑 當(dāng)時(shí), 發(fā)散; 當(dāng)時(shí), 發(fā)散.所以收斂區(qū)間為: . (2). 設(shè)和函數(shù)為: . 故 2、求微分方程 的通解.解: . 不是特征根,所以設(shè)特解為: .則,代入原方

7、程得. . 故通解為: 七、(6分) 求一曲線方程,這曲線通過原點(diǎn),并且它在點(diǎn)處的切線斜率等于.解: 依題意: 則： . 把 代入上式, 得.故 南昌大學(xué) 20072008學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 設(shè) 則_.2. 函數(shù) 的定義域是_.3. 設(shè)函數(shù), 則_.4. 交換累次積分的次序_. 5. 微分方程 的通解為_. 二、 單項(xiàng)選擇題 (每小題3分,共15分)1. 過點(diǎn)且與平面平行的平面方程是( ).(A) . (B) . (C) (D) .2設(shè) , 而 , 則( ). (A) . (B) . (C) . (D) . 3 設(shè)可微函數(shù)在點(diǎn)取得極小值,

8、則下列結(jié)論正確的是 ( ). (A) 在處的導(dǎo)數(shù)大于零. (B) 在處的導(dǎo)數(shù)等于零. (C) 在處的導(dǎo)數(shù)小于零. . (D) 在處的導(dǎo)數(shù)不存在.4設(shè)L為取正向的圓周, 則曲線積分 之值為 ( ).(A) . (B) . (C) . (D) .5函數(shù)關(guān)于的冪級(jí)數(shù)展開式為 ( ). (A) (B) . (C) . (D) .三、求解下列各題 (共2小題, 每小題8分, 共16分)1求與兩平面 和 的交線平行且過點(diǎn)的直線方程.2設(shè)而,且具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求. 四、求下列積分 (共2小題, 每小題8分, 共16分):1、計(jì)算曲線積分, 其中L 是由點(diǎn)沿上半圓周到點(diǎn)的弧段.2、利用高斯公式計(jì)算曲面積分

9、, 其中為上半球面 的上側(cè)。五、解下列各題(共2小題, 每小題8分,共16分):1、判定正項(xiàng)級(jí)數(shù) 的斂散性2、設(shè)冪級(jí)數(shù) . (1). 求收斂半徑與收斂區(qū)間 ; (2). 求和函數(shù).六、計(jì)算題（共2小題. 每小題8分, 共16分）:1、求微分方程 的通解.2、(應(yīng)用題) 計(jì)算由平面 和旋轉(zhuǎn)拋物面 所圍成的立體的體積.七、(6分) 已知連續(xù)可微函數(shù) 滿足 , 且能使曲線積分 與路徑無關(guān), 求.南昌大學(xué) 20072008學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷及答案一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 設(shè) 則 .2. 函數(shù) 的定義域是.3. 設(shè)函數(shù), 則 .4. 交換累次積分的次序： . 5. 微分方程

10、 的通解為：.二、 單項(xiàng)選擇題 (每小題3分,共15分)1. 過點(diǎn)且與平面平行的平面方程是( B ).(A) . (B) . (C) (D) .2設(shè) , 而 , 則( A ). (A) . (B) . (C) . (D) . 3 設(shè)可微函數(shù)在點(diǎn)取得極小值, 則下列結(jié)論正確的是 ( B ). (A) 在處的導(dǎo)數(shù)大于零. (B) 在處的導(dǎo)數(shù)等于零. (C) 在處的導(dǎo)數(shù)小于零. . (D) 在處的導(dǎo)數(shù)不存在.4設(shè)L為取正向的圓周, 則曲線積分 之值為 ( A ).(A) . (B) . (C) . (D) .5函數(shù)關(guān)于的冪級(jí)數(shù)展開式為 ( D ). (A) (B) . (C) . (D) .三、求解

11、下列各題 (共2小題, 每小題8分, 共16分)1求與兩平面 和 的交線平行且過點(diǎn)的直線方程.解: 因?yàn)樗笾本€與兩平面的交線平行,也就是直線的解: 因?yàn)樗笾本€與兩平面的交線平行,也就是直線的方向向量與兩平面的法向量、都垂直. 所以取. 故所求直線方程為. 2設(shè)而,且具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求：. 解: 四、求下列積分 (共2小題, 每小題8分, 共16分):1、計(jì)算曲線積分, 其中L 是由點(diǎn)沿上半圓周到點(diǎn)的弧段.解: 連接OA構(gòu)成閉路OABO, 其圍成區(qū)域?yàn)镈.沿. 0A（a，0）BDxy2、利用高斯公式計(jì)算曲面積分, 其中為上半球面 的上側(cè)。解: 記為平面的下側(cè). 由高斯公式有原式 五、解下

12、列各題(共2小題, 每小題8分,共16分):1、判定正項(xiàng)級(jí)數(shù) 的斂散性解: 所以原級(jí)數(shù)收斂. 2、設(shè)冪級(jí)數(shù) . (1). 求收斂半徑與收斂區(qū)間 ; (2). 求和函數(shù).解: (1). 當(dāng)時(shí), 發(fā)散; 當(dāng)時(shí), 收斂.故收斂區(qū)間為 (2). 設(shè). 即 六、計(jì)算題（共2小題. 每小題8分, 共16分）:1、求微分方程 的通解. 解: 不是特征根, 所以設(shè) 代入原方程得: 故原方程的通解為: 2、(應(yīng)用題) 計(jì)算由平面 和旋轉(zhuǎn)拋物面 所圍成的立體的體積.解法一: 解法二: 七、(6分) 已知連續(xù)可微函數(shù) 滿足 , 且能使曲線積分 與路徑無關(guān), 求.解: 因?yàn)榍€積分與路徑無關(guān), 所以 . 于是得：即：

13、 由, 得 南昌大學(xué) 20082009學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量,則以,為邊的平行四邊形的面積等于.2. 曲面在點(diǎn)處的切平面方程是.3. 交換積分次序.4. 對(duì)于級(jí)數(shù)（a0），當(dāng)a滿足條件時(shí)收斂.5. 函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)為.二、 單項(xiàng)選擇題 (每小題3分,共15分)1. 平面的位置是 （ ）（A）通過軸 （B）通過軸（C）垂直于軸 （D）平行于平面2. 函數(shù)在點(diǎn)處具有偏導(dǎo)數(shù)，,是函數(shù)在該點(diǎn)可微分的 （ ）（A）充要條件 （B）充分但非必要條件（C）必要但非充分條件 （D）既非充分又非必要條件3. 設(shè)，則（ ）（A） （B）（C） （D）4

14、. 若級(jí)數(shù)在處收斂，則此級(jí)數(shù)在處（ ）（A）斂散性不確定 （B）發(fā)散 （C）條件收斂 （D）絕對(duì)收斂5. 微分方程的通解是（ ）（A） （B）（C） （D）三、(本題滿分8分)設(shè)平面通過點(diǎn)，而且通過直線，求該平面方程四、(本題滿分8分)設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試求和五、(本題滿分8分)計(jì)算三重積分，其中六、(本題滿分8分)計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，其中L是圓周在第一象限的部分七、(本題滿分9分)計(jì)算曲面積分，其中是柱面與平面和所圍成的邊界曲面外側(cè)八、(本題滿分9分)求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)九、(本題滿分9分)求微分方程的通解十、(本題滿分11分)設(shè)是上半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，其起點(diǎn)為，終點(diǎn)

15、為，記1證明曲線積分與路徑無關(guān)；2求的值南昌大學(xué) 20082009學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷及答案一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量,則以,為邊的平行四邊形的面積等于.2. 曲面在點(diǎn)處的切平面方程是.3. 交換積分次序.4. 對(duì)于級(jí)數(shù)（a0），當(dāng)a滿足條件時(shí)收斂.5. 函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)為.二、 單項(xiàng)選擇題 (每小題3分,共15分)1. 平面的位置是 （ ）（A）通過軸 （B）通過軸（C）垂直于軸 （D）平行于平面2. 函數(shù)在點(diǎn)處具有偏導(dǎo)數(shù)，,是函數(shù)在該點(diǎn)可微分的 （ ）（A）充要條件 （B）充分但非必要條件（C）必要但非充分條件 （D）既非充分又非必要條件3. 設(shè)，則（

16、 ）（A） （B）（C） （D）4. 若級(jí)數(shù)在處收斂，則此級(jí)數(shù)在處（ ）（A）斂散性不確定 （B）發(fā)散 （C）條件收斂 （D）絕對(duì)收斂5. 微分方程的通解是（ ）（A） （B）（C） （D）三、(本題滿分8分)設(shè)平面通過點(diǎn)，而且通過直線，求該平面方程解: 由于平面通過點(diǎn)及直線上的點(diǎn)， 因而向量平行于該平面。該平面的法向量為: 則平面方程為: 或： 即： 四、(本題滿分8分) 設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試求和解: , 五、(本題滿分8分)計(jì)算三重積分，其中解: 六、(本題滿分8分)計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，其中L是圓周在第一象限的部分解法一: 解法二: （的弧長(zhǎng)） 解法三: 令， 七、(本題滿分9

17、分)計(jì)算曲面積分，其中是柱面與平面和所圍成的邊界曲面外側(cè)解: , 由高斯公式： 八、(本題滿分9分)求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)解: 收斂半徑： 易判斷當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。 于是收斂域?yàn)?九、(本題滿分9分)求微分方程的通解解:特征方程為：特征根為：,的通解為：設(shè)原方程的一個(gè)特解為：, 原方程的一個(gè)特解為：故原方程的一個(gè)通解為： 十、(本題滿分11分)設(shè)是上半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，其起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，記1證明曲線積分與路徑無關(guān)；2求的值證明1:因?yàn)樯习肫矫媸菃芜B通域，在內(nèi)： ，有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且： ，。 所以曲線積分與路徑無關(guān)。解2: 設(shè)，由于曲線積分與路徑無關(guān)，故可取折線路徑：。 南昌大學(xué) 200

18、92010學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 設(shè)，若，則_.2. 空間曲線，在點(diǎn)處的切線方程是_.3. 計(jì)算積分_.4. 設(shè)級(jí)數(shù)收斂，發(fā)散，則級(jí)數(shù)必是_. 5. 函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)為_. 二、 單項(xiàng)選擇題 (每小題3分,共15分)1. 直線與平面的關(guān)系是 （ ）（A）直線在平面上 （B）直線與平面平行但直線不在平面上（C）直線與平面垂直 （D）直線與平面相交但不垂直2函數(shù)在點(diǎn)處可微分，則（ ） （A）在點(diǎn)處具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) （B）在點(diǎn)處不一定連續(xù)（C）存在 （D）在點(diǎn)的任一鄰域內(nèi)有界3設(shè)，則= （ ）（A） （B）（C） （D）4若級(jí)數(shù)在處收斂，則此級(jí)數(shù)在處

19、 （ ）（A）斂散性不確定 （B）發(fā)散 （C）條件收斂 （D）絕對(duì)收斂5函數(shù)的極大值點(diǎn)為（ ）（A） （B）（C） （D）三、(本題滿分8分)求通過兩點(diǎn)和且垂直于平面的平面方程四、(本題滿分8分)設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試求和五、(本題滿分8分)計(jì)算二重積分，其中是由圓周 所圍成的閉區(qū)域 六、(本題滿分8分)計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，其中是直線從點(diǎn)到的直線段七、(本題滿分9分)計(jì)算曲面積分，其中是球面的外側(cè)八、(本題滿分9分)求微分方程的通解九、(本題滿分9分)求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)十、(本題滿分11分)已知函數(shù)有（1）求、的值；（2）計(jì)算，其中為取正向南昌大學(xué) 20092010學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷及答案一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 設(shè)，若，則.2. 空間曲線，在點(diǎn)處的切線方程是.3. 計(jì)算積分.4. 設(shè)級(jí)數(shù)收斂，發(fā)散，則級(jí)數(shù)必是. 5. 函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)為. 三、 單項(xiàng)選擇題 (每小題3