南昌大學歷年高等數(shù)學(下)期末考試試卷(共36頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上南昌大學 20062007學年第二學期期末考試試卷一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 設，則當時, ; 當 時, .2. 函數(shù) 的間斷點是.3. 設函數(shù), 則 .4. 設G是一個單連通域,與在G內即有一階連續(xù)偏導數(shù), 則曲線積分 在G內與路徑無關的充要條件是.二、 單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 設直線方程為 L :, 平面方程為, 若直線與平面平行,則 ( ).(A) 充要條件是:. (B) 充要條件是: . (C) 充分但不必要條件是: (D) 充分但不必要條件是: .2設是由方程 所確定的隱函數(shù), 則( ). (A) . (B) . (C

2、) . (D) . 3函數(shù) 的極小值為 ( ).(A) . (B) . (C) . (D) .4下列說法正確的是 ( ). (A) 若 , 則級數(shù) 必收斂. (B) 若級數(shù) 發(fā)散, 則必有 . (C) 若級數(shù) 發(fā)散, 則 . (D) 若 , 則 級數(shù) 必發(fā)散.5微分方程 的通解是 ( ). (A) . (B) . (C) . (D) .三、求解下列各題 (共2小題, 每小題8分, 共16分)1設一平面經過原點及點且與平面 垂直, 求此平面方程.2設而,且具有二階連續(xù)偏導數(shù),求. 四、求下列積分 (共2小題, 每小題8分, 共16分):1、計算二重積分,其中是由圓周所圍成的閉區(qū)域.2、計算曲線積

3、分 , 其中L是取圓周 的正向閉曲線.五、計算題 (共2小題, 每小題8分,共16分):1、 利用高斯公式計算曲面積分, 其中是長方體：整個表面的外側.2、判別正項級數(shù) 的斂散性.六、解下列各題（共2小題. 每小題8分, 共16分）:1、設冪級數(shù) . (1). 求收斂半徑及收斂區(qū)間 . (2). 求和函數(shù). 2、求微分方程 的通解. 七、(6分) 求一曲線方程,這曲線通過原點,并且它在點處的切線斜率等于.南昌大學 20062007學年第二學期期末考試試卷及答案一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 設，則當時, ; 當 時, .2. 函數(shù) 的間斷點是.3. 設函數(shù), 則 .4. 設G

4、是一個單連通域,與在G內即有一階連續(xù)偏導數(shù), 則曲線積分 在G內與路徑無關的充要條件是.二、 單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 設直線方程為 L :, 平面方程為, 若直線與平面平行,則 ( A ).(A) 充要條件是:. (B) 充要條件是: . (C) 充分但不必要條件是: (D) 充分但不必要條件是: .2設是由方程 所確定的隱函數(shù), 則( C ). (A) . (B) . (C) . (D) . 3函數(shù) 的極小值為 ( B ).(A) . (B) . (C) . (D) .4下列說法正確的是 ( D ). (A) 若 , 則級數(shù) 必收斂. (B) 若級數(shù) 發(fā)散, 則必有 . (

5、C) 若級數(shù) 發(fā)散, 則 . (D) 若 , 則 級數(shù) 必發(fā)散.5微分方程 的通解是 ( D ). (A) . (B) . (C) . (D) .三、求解下列各題 (共2小題, 每小題8分, 共16分)1設一平面經過原點及點且與平面 垂直, 求此平面方程.解法一: 所求平面的法向量. 則 . 取 .故所求平面方程為: . 解法二: 設所求平面法向量則.于是有 解得: . 由平面的點法式方程可知,所求平面方程為.將代入上式,并約去,便得：. 即為所求平面方程. 2設而,且具有二階連續(xù)偏導數(shù),求. 解: 四、求下列積分 (共2小題, 每小題8分, 共16分):1、計算二重積分,其中是由圓周所圍成的

6、閉區(qū)域.解: 2、計算曲線積分 , 其中L是取圓周 的正向閉曲線.解: 由格林公式,有原式五、計算題 (共2小題, 每小題8分,共16分):1、 利用高斯公式計算曲面積分, 其中是長方體：整個表面的外側.解: 則由高斯公式有原式2、判別正項級數(shù) 的斂散性.解: 所以原級數(shù)收斂. 六、解下列各題（共2小題. 每小題8分, 共16分）:1、設冪級數(shù) . (1). 求收斂半徑及收斂區(qū)間 . (2). 求和函數(shù). 解: (1). 所以收斂半徑 當時, 發(fā)散; 當時, 發(fā)散.所以收斂區(qū)間為: . (2). 設和函數(shù)為: . 故 2、求微分方程 的通解.解: . 不是特征根,所以設特解為: .則,代入原方

7、程得. . 故通解為: 七、(6分) 求一曲線方程,這曲線通過原點,并且它在點處的切線斜率等于.解: 依題意: 則： . 把 代入上式, 得.故 南昌大學 20072008學年第二學期期末考試試卷一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 設 則_.2. 函數(shù) 的定義域是_.3. 設函數(shù), 則_.4. 交換累次積分的次序_. 5. 微分方程 的通解為_. 二、 單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 過點且與平面平行的平面方程是( ).(A) . (B) . (C) (D) .2設 , 而 , 則( ). (A) . (B) . (C) . (D) . 3 設可微函數(shù)在點取得極小值,

8、則下列結論正確的是 ( ). (A) 在處的導數(shù)大于零. (B) 在處的導數(shù)等于零. (C) 在處的導數(shù)小于零. . (D) 在處的導數(shù)不存在.4設L為取正向的圓周, 則曲線積分 之值為 ( ).(A) . (B) . (C) . (D) .5函數(shù)關于的冪級數(shù)展開式為 ( ). (A) (B) . (C) . (D) .三、求解下列各題 (共2小題, 每小題8分, 共16分)1求與兩平面 和 的交線平行且過點的直線方程.2設而,且具有二階連續(xù)偏導數(shù),求. 四、求下列積分 (共2小題, 每小題8分, 共16分):1、計算曲線積分, 其中L 是由點沿上半圓周到點的弧段.2、利用高斯公式計算曲面積分

9、, 其中為上半球面 的上側。五、解下列各題(共2小題, 每小題8分,共16分):1、判定正項級數(shù) 的斂散性2、設冪級數(shù) . (1). 求收斂半徑與收斂區(qū)間 ; (2). 求和函數(shù).六、計算題（共2小題. 每小題8分, 共16分）:1、求微分方程 的通解.2、(應用題) 計算由平面 和旋轉拋物面 所圍成的立體的體積.七、(6分) 已知連續(xù)可微函數(shù) 滿足 , 且能使曲線積分 與路徑無關, 求.南昌大學 20072008學年第二學期期末考試試卷及答案一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 設 則 .2. 函數(shù) 的定義域是.3. 設函數(shù), 則 .4. 交換累次積分的次序： . 5. 微分方程

10、 的通解為：.二、 單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 過點且與平面平行的平面方程是( B ).(A) . (B) . (C) (D) .2設 , 而 , 則( A ). (A) . (B) . (C) . (D) . 3 設可微函數(shù)在點取得極小值, 則下列結論正確的是 ( B ). (A) 在處的導數(shù)大于零. (B) 在處的導數(shù)等于零. (C) 在處的導數(shù)小于零. . (D) 在處的導數(shù)不存在.4設L為取正向的圓周, 則曲線積分 之值為 ( A ).(A) . (B) . (C) . (D) .5函數(shù)關于的冪級數(shù)展開式為 ( D ). (A) (B) . (C) . (D) .三、求解

11、下列各題 (共2小題, 每小題8分, 共16分)1求與兩平面 和 的交線平行且過點的直線方程.解: 因為所求直線與兩平面的交線平行,也就是直線的解: 因為所求直線與兩平面的交線平行,也就是直線的方向向量與兩平面的法向量、都垂直. 所以取. 故所求直線方程為. 2設而,且具有二階連續(xù)偏導數(shù),求：. 解: 四、求下列積分 (共2小題, 每小題8分, 共16分):1、計算曲線積分, 其中L 是由點沿上半圓周到點的弧段.解: 連接OA構成閉路OABO, 其圍成區(qū)域為D.沿. 0A（a，0）BDxy2、利用高斯公式計算曲面積分, 其中為上半球面 的上側。解: 記為平面的下側. 由高斯公式有原式 五、解下

12、列各題(共2小題, 每小題8分,共16分):1、判定正項級數(shù) 的斂散性解: 所以原級數(shù)收斂. 2、設冪級數(shù) . (1). 求收斂半徑與收斂區(qū)間 ; (2). 求和函數(shù).解: (1). 當時, 發(fā)散; 當時, 收斂.故收斂區(qū)間為 (2). 設. 即 六、計算題（共2小題. 每小題8分, 共16分）:1、求微分方程 的通解. 解: 不是特征根, 所以設 代入原方程得: 故原方程的通解為: 2、(應用題) 計算由平面 和旋轉拋物面 所圍成的立體的體積.解法一: 解法二: 七、(6分) 已知連續(xù)可微函數(shù) 滿足 , 且能使曲線積分 與路徑無關, 求.解: 因為曲線積分與路徑無關, 所以 . 于是得：即：

13、 由, 得 南昌大學 20082009學年第二學期期末考試試卷一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量,則以,為邊的平行四邊形的面積等于.2. 曲面在點處的切平面方程是.3. 交換積分次序.4. 對于級數(shù)（a0），當a滿足條件時收斂.5. 函數(shù)展開成的冪級數(shù)為.二、 單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 平面的位置是 （ ）（A）通過軸 （B）通過軸（C）垂直于軸 （D）平行于平面2. 函數(shù)在點處具有偏導數(shù)，,是函數(shù)在該點可微分的 （ ）（A）充要條件 （B）充分但非必要條件（C）必要但非充分條件 （D）既非充分又非必要條件3. 設，則（ ）（A） （B）（C） （D）4

14、. 若級數(shù)在處收斂，則此級數(shù)在處（ ）（A）斂散性不確定 （B）發(fā)散 （C）條件收斂 （D）絕對收斂5. 微分方程的通解是（ ）（A） （B）（C） （D）三、(本題滿分8分)設平面通過點，而且通過直線，求該平面方程四、(本題滿分8分)設，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，試求和五、(本題滿分8分)計算三重積分，其中六、(本題滿分8分)計算對弧長的曲線積分，其中L是圓周在第一象限的部分七、(本題滿分9分)計算曲面積分，其中是柱面與平面和所圍成的邊界曲面外側八、(本題滿分9分)求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)九、(本題滿分9分)求微分方程的通解十、(本題滿分11分)設是上半平面內的有向分段光滑曲線，其起點為，終點

15、為，記1證明曲線積分與路徑無關；2求的值南昌大學 20082009學年第二學期期末考試試卷及答案一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量,則以,為邊的平行四邊形的面積等于.2. 曲面在點處的切平面方程是.3. 交換積分次序.4. 對于級數(shù)（a0），當a滿足條件時收斂.5. 函數(shù)展開成的冪級數(shù)為.二、 單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 平面的位置是 （ ）（A）通過軸 （B）通過軸（C）垂直于軸 （D）平行于平面2. 函數(shù)在點處具有偏導數(shù)，,是函數(shù)在該點可微分的 （ ）（A）充要條件 （B）充分但非必要條件（C）必要但非充分條件 （D）既非充分又非必要條件3. 設，則（

16、 ）（A） （B）（C） （D）4. 若級數(shù)在處收斂，則此級數(shù)在處（ ）（A）斂散性不確定 （B）發(fā)散 （C）條件收斂 （D）絕對收斂5. 微分方程的通解是（ ）（A） （B）（C） （D）三、(本題滿分8分)設平面通過點，而且通過直線，求該平面方程解: 由于平面通過點及直線上的點， 因而向量平行于該平面。該平面的法向量為: 則平面方程為: 或： 即： 四、(本題滿分8分) 設，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，試求和解: , 五、(本題滿分8分)計算三重積分，其中解: 六、(本題滿分8分)計算對弧長的曲線積分，其中L是圓周在第一象限的部分解法一: 解法二: （的弧長） 解法三: 令， 七、(本題滿分9

17、分)計算曲面積分，其中是柱面與平面和所圍成的邊界曲面外側解: , 由高斯公式： 八、(本題滿分9分)求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)解: 收斂半徑： 易判斷當時，原級數(shù)發(fā)散。 于是收斂域為 九、(本題滿分9分)求微分方程的通解解:特征方程為：特征根為：,的通解為：設原方程的一個特解為：, 原方程的一個特解為：故原方程的一個通解為： 十、(本題滿分11分)設是上半平面內的有向分段光滑曲線，其起點為，終點為，記1證明曲線積分與路徑無關；2求的值證明1:因為上半平面是單連通域，在內： ，有連續(xù)偏導數(shù)，且： ，。 所以曲線積分與路徑無關。解2: 設，由于曲線積分與路徑無關，故可取折線路徑：。 南昌大學 200

18、92010學年第二學期期末考試試卷一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 設，若，則_.2. 空間曲線，在點處的切線方程是_.3. 計算積分_.4. 設級數(shù)收斂，發(fā)散，則級數(shù)必是_. 5. 函數(shù)展開成的冪級數(shù)為_. 二、 單項選擇題 (每小題3分,共15分)1. 直線與平面的關系是 （ ）（A）直線在平面上 （B）直線與平面平行但直線不在平面上（C）直線與平面垂直 （D）直線與平面相交但不垂直2函數(shù)在點處可微分，則（ ） （A）在點處具有連續(xù)偏導數(shù) （B）在點處不一定連續(xù)（C）存在 （D）在點的任一鄰域內有界3設，則= （ ）（A） （B）（C） （D）4若級數(shù)在處收斂，則此級數(shù)在處

19、 （ ）（A）斂散性不確定 （B）發(fā)散 （C）條件收斂 （D）絕對收斂5函數(shù)的極大值點為（ ）（A） （B）（C） （D）三、(本題滿分8分)求通過兩點和且垂直于平面的平面方程四、(本題滿分8分)設，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，試求和五、(本題滿分8分)計算二重積分，其中是由圓周 所圍成的閉區(qū)域 六、(本題滿分8分)計算對弧長的曲線積分，其中是直線從點到的直線段七、(本題滿分9分)計算曲面積分，其中是球面的外側八、(本題滿分9分)求微分方程的通解九、(本題滿分9分)求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)十、(本題滿分11分)已知函數(shù)有（1）求、的值；（2）計算，其中為取正向南昌大學 20092010學年第二學期期末考試試卷及答案一、 填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 設，若，則.2. 空間曲線，在點處的切線方程是.3. 計算積分.4. 設級數(shù)收斂，發(fā)散，則級數(shù)必是. 5. 函數(shù)展開成的冪級數(shù)為. 三、 單項選擇題 (每小題3