第九章第1節(jié)簡諧振動(dòng)l

1、第九章第九章振振 動(dòng)動(dòng) 和和 波波第九章第九章 振動(dòng)和波振動(dòng)和波廣義的廣義的振動(dòng)振動(dòng)物理量隨時(shí)間作周期性變化稱為振動(dòng)。物理量隨時(shí)間作周期性變化稱為振動(dòng)。（2）周期性）周期性在在 T時(shí)間內(nèi)狀態(tài)能完全重復(fù)。時(shí)間內(nèi)狀態(tài)能完全重復(fù)。 振動(dòng)是自然界中最普遍的運(yùn)動(dòng)形式之一。振動(dòng)和波在力學(xué)、振動(dòng)是自然界中最普遍的運(yùn)動(dòng)形式之一。振動(dòng)和波在力學(xué)、聲學(xué)、電學(xué)、生物工程、自控等各領(lǐng)域都占有重要的地位。聲學(xué)、電學(xué)、生物工程、自控等各領(lǐng)域都占有重要的地位。特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1）有平衡點(diǎn)，且具有重復(fù)性。有平衡點(diǎn)，且具有重復(fù)性。Vibration and wave機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)物體在某一位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。物體在某一位置附近

2、作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。 機(jī)械振動(dòng)分類機(jī)械振動(dòng)分類按振動(dòng)規(guī)律分：按振動(dòng)規(guī)律分：簡諧、非簡諧、隨機(jī)振動(dòng)簡諧、非簡諧、隨機(jī)振動(dòng)。 其中簡諧振動(dòng)是最基本最簡單的振動(dòng)，其中簡諧振動(dòng)是最基本最簡單的振動(dòng)，稱作諧振動(dòng)的微分方程。稱作諧振動(dòng)的微分方程。 彈簧振子是理想模型彈簧振子是理想模型 Spring/harmonic OscillatorkmoxXfgmN在水平方向上：在水平方向上：kxf 由牛頓第二定律，有：由牛頓第二定律，有：22ddtxmkx 令：令：,2 mk則有：則有：0dd222 xtx 9-1 簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng) 一、簡諧振動(dòng)的微分方程和運(yùn)動(dòng)方程一、簡諧振動(dòng)的微分方程和運(yùn)動(dòng)方程（負(fù)號(hào)表示力與位移方向相反

3、）（負(fù)號(hào)表示力與位移方向相反）1、簡諧振動(dòng)的微分方程、簡諧振動(dòng)的微分方程2、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：由：由：, 0dd222 xtx 可解得：可解得：tCtCx cossin21 )cos( tAx或：或：一般寫成：一般寫成：)sin( tAx本課程采用余弦形式本課程采用余弦形式因而簡諧振動(dòng)是圍繞平衡位置的周期運(yùn)動(dòng)因而簡諧振動(dòng)是圍繞平衡位置的周期運(yùn)動(dòng)簡諧振動(dòng)的定義：若質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系可以用簡諧振動(dòng)的定義：若質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系可以用)cos( tAx表示，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)稱為諧振動(dòng)。表示，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)稱為諧振動(dòng)。描述簡諧振動(dòng)的物理量描述簡諧振動(dòng)的物理量A、，稱特征量。稱特征量。otx)cos

4、( tAx)2cos( tA)cos(2 tA)sin(dd tAtxv)cos(dd2 tAtva3、簡諧振動(dòng)的加速度與速度、簡諧振動(dòng)的加速度與速度)cos( tAx由由質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速度質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速度質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的加速度質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的加速度質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速度和加速度也是諧振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速度和加速度也是諧振動(dòng)若位移若位移x，滿足，滿足kxf 簡諧振動(dòng)的判椐：簡諧振動(dòng)的判椐：, 0dd222 xtx 或或)cos( tAx或或則稱則稱x作簡諧振動(dòng)（較為廣泛，不僅適用于機(jī)械振動(dòng)）作簡諧振動(dòng)（較為廣泛，不僅適用于機(jī)械振動(dòng)）(2)角頻率角頻率：angular frequency 振動(dòng)的快慢振動(dòng)的快慢周期周期T: P

5、eriod)(cos)cos( TtAtA 2 T /2 T頻率頻率： 21 T(3)初相位初相位： tPhase 描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量為初相位，為初相位，Initial Phase(1)振幅振幅A: amplitude 離開平衡位置的最大距離（幅度、范圍）離開平衡位置的最大距離（幅度、范圍）4、諧振動(dòng)的三個(gè)特征量、諧振動(dòng)的三個(gè)特征量)2cos( tA5、位移、速度和加速度的相位關(guān)系、位移、速度和加速度的相位關(guān)系)cos( tAxtxvdd )sin( tAtvadd )cos(2 tA以上結(jié)果表明：以上結(jié)果表明：(1)v,a與與x的的相同相同(2)AaAv2maxmax, (3)

6、a與與x方向相反，且成正比方向相反，且成正比振幅振幅)cos( tAx)2cos( tAv)cos(2 tAax、v、a相位依次差相位依次差/2。寫寫成成二、初始條件確定振幅和初相位二、初始條件確定振幅和初相位初始條件：初始條件：00, 0vxt )1(cos0 Ax sin0Av 寫為：寫為：)2(sin0 Av ,)2()1(22 得：得：220202 vxA 22020 vxA 得：得：),1/()2(00/tgxv 即：即：)tg(arg00 xv 有兩個(gè)值，需（有兩個(gè)值，需（1）或（或（2）進(jìn)行篩選。）進(jìn)行篩選。也可直接由（也可直接由（1）或由（）或由（2）求出）求出。三、坐標(biāo)原點(diǎn)的

7、選取對(duì)于振動(dòng)方程的影響三、坐標(biāo)原點(diǎn)的選取對(duì)于振動(dòng)方程的影響(以豎直彈簧振子為例以豎直彈簧振子為例)mgky 022ddtymmgkyF 0)()(dd0022 yymkyyt)cos( tAxOOyymm0yxx自由端自由端,平衡位置平衡位置O OO以以為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn):O以以 為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn):0yyx 0)cos(ytAy 在建立諧振子的振動(dòng)方程時(shí)在建立諧振子的振動(dòng)方程時(shí),選平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)最合適。選平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)最合適。0dd22 lgtlg sindd222mgltml 例題例題1 單擺單擺 Simple Pendulum解：單擺受力如圖所示解：單擺受力如圖所示gmtF

8、T sinmgFt 對(duì)懸掛點(diǎn)的力矩：對(duì)懸掛點(diǎn)的力矩： sinmglM 由：由： JM 若若很小，則有：很小，則有： sin即：即：0dd222 t其中：其中：)cos( t例題例題2半徑為半徑為R的圓環(huán)靜止于刀口的圓環(huán)靜止于刀口O點(diǎn)上點(diǎn)上,令其令其在自身平面內(nèi)作微小擺動(dòng)在自身平面內(nèi)作微小擺動(dòng),證明其擺動(dòng)為證明其擺動(dòng)為諧振諧振,并計(jì)算其振動(dòng)周期并計(jì)算其振動(dòng)周期.證明證明:設(shè)圓環(huán)偏離角度為設(shè)圓環(huán)偏離角度為2222mRmdmRJ 22ddtJJM sin,RmgM RmgRmgtmRsindd222202dd22 Rgt因此所作振動(dòng)為諧振因此所作振動(dòng)為諧振gRT22 Rg2 o四四 、諧振動(dòng)的其它表

9、示法、諧振動(dòng)的其它表示法1、振動(dòng)曲線法、振動(dòng)曲線法（1）振動(dòng)曲線的峰（或谷）對(duì)應(yīng)）振動(dòng)曲線的峰（或谷）對(duì)應(yīng)的位移的大小即是振幅的位移的大小即是振幅 .（2）振動(dòng)曲線上表示振動(dòng)狀態(tài)）振動(dòng)曲線上表示振動(dòng)狀態(tài)相同的相鄰兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔相同的相鄰兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔就是周期就是周期T 。（3）由初狀態(tài)）由初狀態(tài)v0、x0可得出初可得出初相位相位。（4）尤其判斷振動(dòng)的超前與落后非常直觀。）尤其判斷振動(dòng)的超前與落后非常直觀。Rotating vector method1.參考圓法參考圓法 沿逆時(shí)針方向作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在某一直徑上（取沿逆時(shí)針方向作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在某一直徑上（取在在x軸）的投影的運(yùn)動(dòng)

10、為簡諧振動(dòng)。軸）的投影的運(yùn)動(dòng)為簡諧振動(dòng)。半徑半徑R振幅振幅A角速度角速度角頻率角頻率 t時(shí)刻時(shí)刻A矢量在矢量在x軸上的投影軸上的投影)cos(0 tAx初始矢徑與初始矢徑與x軸的交角軸的交角初相位初相位o0 tA 0 t x2.旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 AxO 用旋轉(zhuǎn)矢量法處理問題用旋轉(zhuǎn)矢量法處理問題更直觀、更直觀、更方便，必須掌握。更方便，必須掌握。表示出三個(gè)特征量表示出三個(gè)特征量2、旋轉(zhuǎn)矢量表示法、旋轉(zhuǎn)矢量表示法例題例題3一質(zhì)點(diǎn)沿一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡諧振動(dòng)，振幅軸作簡諧振動(dòng)，振幅 A=0.12m，周期，周期T=2s，當(dāng)當(dāng) t=0 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)平衡位置的位移時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)平衡位置的位移 x0=0.06m，此時(shí)

11、向，此時(shí)向x軸正軸正向運(yùn)動(dòng)。向運(yùn)動(dòng)。求：求：(1)此振動(dòng)的表達(dá)式此振動(dòng)的表達(dá)式 (2)t=T/4時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度、加速度時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度、加速度 (3)從初始時(shí)刻開始第一次通過平衡位置的時(shí)間從初始時(shí)刻開始第一次通過平衡位置的時(shí)間 解解:(1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)設(shè))cos( tAx其中其中1s2 TA亦為已知，只需求亦為已知，只需求由由t=0s時(shí)，時(shí)，x0=0.06m，可得：，可得： cos0Ax 2/112. 0/06. 0/cos0 Ax 在在-到到之間取值：之間取值：3 取哪一個(gè)值要看初始條件，由于：取哪一個(gè)值要看初始條件，由于：)sin( tAv所以：所以

12、： sin0Av 由于由于t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)向正時(shí)，質(zhì)點(diǎn)向正 x 方向運(yùn)動(dòng)，所以方向運(yùn)動(dòng)，所以 v00因此，應(yīng)?。阂虼?，應(yīng)?。? 于是，此簡諧振動(dòng)的表達(dá)式：于是，此簡諧振動(dòng)的表達(dá)式：)SI()3cos(12. 0 tx利用旋轉(zhuǎn)矢量法求解很直觀，利用旋轉(zhuǎn)矢量法求解很直觀，根據(jù)初始條件就可畫出如圖所根據(jù)初始條件就可畫出如圖所示的振幅矢量的初始位置，從示的振幅矢量的初始位置，從而得到：而得到：O0 x0v x(2)sin( tAv)3sin(12. 0 t)cos(2 tAa)3cos(12. 02 t將將 t=T/4=0.5s 代入上兩式，以及位移表達(dá)式，可求得：代入上兩式，以及位移表達(dá)式，可求得：時(shí)

13、時(shí)s5 . 0 tm104. 0 xm/s189. 0 vm/s03. 1 a此時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量位置如圖：此時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量位置如圖： A (3)通過平衡位置時(shí)，通過平衡位置時(shí)，x=0，由位置表達(dá)式，可得：，由位置表達(dá)式，可得：)3cos(12. 00 t由此可得：由此可得：, 2 , 1,2)12(3 kkt / )6/( kt第一次通過，取第一次通過，取k=1，又由于，又由于=/s，所以：，所以：s83. 065 t從起始時(shí)刻到第一次質(zhì)點(diǎn)通過原從起始時(shí)刻到第一次質(zhì)點(diǎn)通過原點(diǎn)，振幅矢量轉(zhuǎn)過的角度為：點(diǎn)，振幅矢量轉(zhuǎn)過的角度為： A 6/52/3/2/ 故：故： /65 ts83. 0 有旋轉(zhuǎn)矢量圖可知：有

14、旋轉(zhuǎn)矢量圖可知：例題例題4 以余弦函數(shù)表示的簡諧振動(dòng)的位移時(shí)間曲線如圖所以余弦函數(shù)表示的簡諧振動(dòng)的位移時(shí)間曲線如圖所示，試寫出其運(yùn)動(dòng)方程。示，試寫出其運(yùn)動(dòng)方程。0121 2 )(st)(cmxs1解：設(shè)該簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為解：設(shè)該簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為)cos( tAx根據(jù)已知條件求出各量代入上式根據(jù)已知條件求出各量代入上式即可即可由圖可知，由圖可知，A=2cm，當(dāng)，當(dāng)t=0時(shí)時(shí)cm1cos20 x,21cos 32 所所以以因?yàn)椋阂驗(yàn)椋簐00, 32 所以所以0sin,sin0 故故Av畫出矢量圖：畫出矢量圖： 32, 0100 故故和和滿足滿足vx又知又知 t=1s 時(shí)，位移達(dá)到正的最大值

15、，時(shí)，位移達(dá)到正的最大值，即：即：AA )1cos( 故：故： 2 342 因而有：因而有：)(cm)3234cos(2 tx0121 2 )(st)(cmxs1x1 3232)(sin21212222 tmAmvEk 簡諧振動(dòng)的勢(shì)能：簡諧振動(dòng)的勢(shì)能： );(cos2121222 tkAkxEp 五五 、簡諧振動(dòng)的能量、簡諧振動(dòng)的能量以水平的彈簧振子為例以水平的彈簧振子為例)(sin2122 tkAkmoxX 簡諧振動(dòng)的動(dòng)能：簡諧振動(dòng)的動(dòng)能：)cos()( tAtxmk / 222221)(cos)(sin21kAttkA pkEEE 簡諧振動(dòng)的總能量：簡諧振動(dòng)的總能量：彈性力是保守力，總機(jī)械

16、能守恒，即總能量不隨時(shí)間變化。彈性力是保守力，總機(jī)械能守恒，即總能量不隨時(shí)間變化。AkEpE221kAE Ao 202241dcos2kAttTkAT 勢(shì)能的時(shí)間平均值勢(shì)能的時(shí)間平均值: TPttkATE022d)(cos211 動(dòng)能的時(shí)間平均值動(dòng)能的時(shí)間平均值: TkttkATE022d)(sin211 202241d)(sin2kAttTkAT 總能的時(shí)間平均值總能的時(shí)間平均值:* * 振幅不僅給出簡諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)的范圍，而且還振幅不僅給出簡諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)的范圍，而且還 反映了振動(dòng)系統(tǒng)總能量的大小及振動(dòng)的強(qiáng)度。反映了振動(dòng)系統(tǒng)總能量的大小及振動(dòng)的強(qiáng)度。* * 任一簡諧振動(dòng)總能量與振幅的平方成正比任一

17、簡諧振動(dòng)總能量與振幅的平方成正比* * 彈簧振子的動(dòng)能和勢(shì)能的平均值相等，且彈簧振子的動(dòng)能和勢(shì)能的平均值相等，且 等于總機(jī)械能的一半。等于總機(jī)械能的一半。 結(jié)論：結(jié)論：EEEpK21 221kAEEEpk 022/Mv Mv vt3.用余弦函數(shù)描述一些振子的振動(dòng)，若速用余弦函數(shù)描述一些振子的振動(dòng)，若速度度-時(shí)間函數(shù)關(guān)系如圖，則振動(dòng)的初相位時(shí)間函數(shù)關(guān)系如圖，則振動(dòng)的初相位為為/6；/3；/2；5/6x2/Mv Mv 02/sin, 2/, 000MMvAvvvt ,65,6,21sin 6/0(cos, 0 ）這這時(shí)時(shí)tAxx4.無阻尼自由簡諧振動(dòng)的周期和頻率由無阻尼自由簡諧振動(dòng)的周期和頻率由 所所決定