反比例函數(shù)與面積

1、挑戰(zhàn)“記憶”w你還記得一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)嗎? 回顧與思考回顧與思考 一次函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)的圖象是一條直線的圖象是一條直線, , 稱稱直線直線y=kx+by=kx+b. . y y隨隨x x的增大而增大的增大而增大; ;xyoxyony y隨隨x x的增大而減小的增大而減小. .b0b=0b0b0時(shí),n當(dāng)k0K0當(dāng)當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)圖象時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第的兩個(gè)分支分別在第一、三一、三象限，在每個(gè)象限，在每個(gè)象限內(nèi)，象限內(nèi)，y隨隨x的增大的增大而減小而減小.當(dāng)當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)圖象時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第的兩個(gè)分支分別在第二、四二、四象限，在每個(gè)象限

2、，在每個(gè)象限內(nèi)，象限內(nèi)，y隨隨x的增大的增大而增大而增大.1.反比例函數(shù)的圖象是反比例函數(shù)的圖象是雙曲線雙曲線; 2.圖象性質(zhì)見(jiàn)下表：圖象性質(zhì)見(jiàn)下表：圖圖象象性性質(zhì)質(zhì)y=xkw反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：則則垂足為垂足為軸的垂線軸的垂線作作過(guò)過(guò)有有上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)是雙曲線是雙曲線設(shè)設(shè),) 1 (:,)0(),(AxPkxkynmP|21|2121knmAPOASOAPP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx面積性質(zhì)面積性質(zhì)（一）（一）P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx想一想想一想若將此題改為過(guò)若將此題改為過(guò)P點(diǎn)點(diǎn)作作y軸的垂線段軸的垂線段,其結(jié)其結(jié)論成立嗎論成立嗎

3、?|21|2121knmAPOASOAP).( |,)2(如圖所示如圖所示則則垂足分別為垂足分別為軸的垂線軸的垂線軸軸分別作分別作過(guò)過(guò)矩形矩形knmAPOASBAyxPOAPBP(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB面積性質(zhì)（二）面積性質(zhì)（二）).(,),(),()3(如圖所示如圖所示則則點(diǎn)點(diǎn)軸的垂線交于軸的垂線交于作作與過(guò)與過(guò)軸的垂線軸的垂線作作過(guò)過(guò)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是設(shè)設(shè)|k k| 2 2|2n2n| |2m2m|2 21 1|P PA AAPAP|2 21 1P PPAPAS S AyPxPnmPnmPP(m,n)AoyxP/面積性質(zhì)（三）面積性質(zhì)（三）P(m,n)o

4、yxP/yP(m,n)oxP/以上幾點(diǎn)揭示了雙曲線上的點(diǎn)構(gòu)成的幾以上幾點(diǎn)揭示了雙曲線上的點(diǎn)構(gòu)成的幾何圖形的一類性質(zhì)何圖形的一類性質(zhì). .掌握好這些性質(zhì)掌握好這些性質(zhì), ,對(duì)對(duì)解題十分有益解題十分有益.(.(上面圖僅以上面圖僅以P P點(diǎn)在第一象點(diǎn)在第一象限為例限為例).).CyOBxy=2xxy2DAES矩形矩形APCE=Pk4CyOBxy=2xxy2DAES平行四邊形平行四邊形PD=Pk2FAyOBxy=-2xxy2CDS四邊形四邊形ACBD=k2AyOBxy=-2xxy2CDSABC=kAyOBxy=-2xxy2CDESABE=k2做一做PDoyx1.1.如圖如圖, ,點(diǎn)點(diǎn)P P是反比例函數(shù)

5、是反比例函數(shù) 圖象上圖象上的一點(diǎn)的一點(diǎn),PDx,PDx軸于軸于D.D.則則PODPOD的面積的面積為為 . .xy2(m,n)13k. 3|,|kkSAPCO矩形,四象限圖像在二又._, 3,. 9函數(shù)的解析式是則這個(gè)反比例陰影部分面積為軸引垂線軸向分別由圖像上的一點(diǎn)是反比例函數(shù)如圖yxPxkyPACoyxP.3xy解析式為解:由性質(zhì)(2)可得A.S = 1 B.1S2_._.S, S,面面ABC的ABC的, , BC平行于xBC平行于x, ,AC平行于yAC平行于y 的任意的任意O O于原于原上上的的x x1 1y yB是B是A,A, ,7.如7.如則 積為 軸 軸兩點(diǎn)對(duì)稱關(guān) 圖圖點(diǎn)點(diǎn)像像函

6、數(shù)函數(shù) ACoyxB解:由上述性質(zhì)(3)可知,SABC = 2|k| = 2C_ _ _ _. ., ,S S 的的面面R Rt t, ,S S 的的面面R Rt tD D. .垂垂足足, ,的的垂垂C C作作y yB B. .垂垂足足, , 的的垂垂A A作作x x市市2 20 00 00 0年年) )6 6. .( (武武2 2O OC CD D1 1A AO OB B則積為積為記為線軸過(guò)為線軸過(guò)漢如圖如圖:A、C是函數(shù)是函數(shù) 的圖象上任意兩點(diǎn)，的圖象上任意兩點(diǎn)，x x1 1y y A.S1S2 B.S1S2 C.S1 = S2D.S1和S2的大小關(guān)系不能確定. C由上述性質(zhì)由上述性質(zhì)1可

7、知選可知選CABoyxCD DS1S2.,21|21,21|21,21|21321111ASSSkSkSkSOOCBOBAOA故選即解:由性質(zhì)(1)得A._,)0(1,. 8321111111則有面積分別為的記邊結(jié)三點(diǎn)軸于交軸引垂線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)分別向的圖像上有三點(diǎn)在如圖SSSOCCOBBOAAOCOBOACBAxxCBAxxyA.S1 = S2 = S3 B. S1 S2 S3 C. S3 S1 S2 S3 BA1oyxACB1C1S1S3S2. 2,8) 1 ( :xyxy解. 4, 2; 2, 4yxyx或解得).2, 4(),4 , 2(BA.)2( ;,) 1 (.,28,. 8的面積兩點(diǎn)

8、的坐標(biāo)求兩點(diǎn)交于的圖像與一次函數(shù)反比例函數(shù)已知如圖AOBBABAxyxyAyOBxMNAyOBxMN. 642OAMOMBAOBSSS).0 , 2(, 2,0, 2:)2(Mxyxy時(shí)當(dāng)解法一. 2OM.,DxBDCxAC軸于軸于作, 2, 4BDAC, 2222121BDOMSOMB. 4422121ACOMSOMACDAyOBxMN. 624ONAONBAOBSSS).2 , 0(, 2,0, 2:)2(Nyxxy時(shí)當(dāng)解法二. 2ON.,DyBDCyAC軸于軸于作, 4, 2BDAC, 4422121BDONSONB. 2222121ACONSONACD探究探究1：反比例函數(shù)：反比例函數(shù)

9、 與一次函數(shù)與一次函數(shù)y=kx+b交于點(diǎn)交于點(diǎn)A(1，8 ) 和和B (4，n)，求：求：這兩個(gè)函數(shù)的解析式；這兩個(gè)函數(shù)的解析式；三角形三角形AOB的面積。的面積。 xmy yx xo oABo o解：解： 將將A(1A(1，8 )8 )代入代入 中得：中得：m=1m=18=88=8，故所求函數(shù)解析式為故所求函數(shù)解析式為B(4,n)B(4,n)將將A(1A(1，8 ) 8 ) 和和B (4B (4，2)2)代入代入y=kx+by=kx+b中得：中得： 解得：解得： 故所求的一次函數(shù)的解析式為：故所求的一次函數(shù)的解析式為：y=y=2x+102x+10 xmy xy8248bkbk102bk先設(shè)出

10、函數(shù)解析式，再根據(jù)先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知的系條件確定解析式中未知的系數(shù)，從而具體寫出這個(gè)式子數(shù)，從而具體寫出這個(gè)式子的方法，叫做待定系數(shù)法。的方法，叫做待定系數(shù)法。探究探究1：反比例函數(shù)：反比例函數(shù) 與一次函數(shù)與一次函數(shù)y=kx+b交于點(diǎn)交于點(diǎn)A(1，8 ) 和和B (4，n)，求：求：這兩個(gè)函數(shù)的解析式；這兩個(gè)函數(shù)的解析式；三角形三角形AOB的面積。的面積。 xmy 解法解法1：設(shè)直線：設(shè)直線y=2x+10與與x軸、軸、y軸分別交于點(diǎn)軸分別交于點(diǎn)C，Dyxo oABo oCD(1，8 )(4，2 )(5,0)(0，10 )則則 C (5,0)，D(0,10)，于是于是S

11、OAB=25 5 5=15探究探究1：反比例函數(shù)：反比例函數(shù) 與一次函數(shù)與一次函數(shù)y=kx+b交于點(diǎn)交于點(diǎn)A(1，8 ) 和和B (4，2)，求：求：這兩個(gè)函數(shù)的解析式；這兩個(gè)函數(shù)的解析式；三角形三角形AOB的面積。的面積。 xmy 解法解法2：如圖，過(guò)如圖，過(guò)A作作ACx軸于軸于C，過(guò)，過(guò)B點(diǎn)點(diǎn)作作BDx軸于軸于D由性質(zhì)（由性質(zhì)（1）知：）知：SOAC=SOBD=4，SOAB=SOAC+S梯形梯形ACDBSOBD=4+ 4=15yx xo oABo oC D3)82(21(1，8 )(4，2 )探究探究1：反比例函數(shù)：反比例函數(shù) 與一次函數(shù)與一次函數(shù)y=kx+b交于點(diǎn)交于點(diǎn)A(1，8 ) 和

12、和B (4，2)，求：求：這兩個(gè)函數(shù)的解析式；這兩個(gè)函數(shù)的解析式；三角形三角形AOB的面積。的面積。 xmy yx xo oABo oCDE解法解法3：如圖，過(guò)如圖，過(guò)A作作ACx軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)C，過(guò)過(guò)B點(diǎn)作點(diǎn)作BDx軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)D, CA與與DB相交于相交于E點(diǎn)，點(diǎn)， 由由A(1，8 ) 和和B (4，2)的坐標(biāo)可知點(diǎn)的坐標(biāo)可知點(diǎn)E的坐標(biāo)的坐標(biāo)為為(4，8)，由性質(zhì)（，由性質(zhì)（1）知，）知，SOAC=SOBD=4，SOAB=S矩形矩形ODEC SOACSOBDSABE =32449=15交點(diǎn)問(wèn)題：交點(diǎn)問(wèn)題： 1 1、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題：、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題：無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于x x、y y軸

13、，軸， 與與x x、y y軸無(wú)交點(diǎn)。軸無(wú)交點(diǎn)。 2 2、與正比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：、與正比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：可以利用反比例函數(shù)的中心對(duì)稱性?？梢岳梅幢壤瘮?shù)的中心對(duì)稱性。 3 3、與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：、與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：列方程組，求公共解，即交點(diǎn)坐標(biāo)。列方程組，求公共解，即交點(diǎn)坐標(biāo)。. 2,8) 1 ( :xyxy解. 4, 2; 2, 4yxyx或解得).2, 4(),4 , 2(BA.)2( ;,) 1 (.,28,. 2的面積兩點(diǎn)的坐標(biāo)求兩點(diǎn)交于的圖像與一次函數(shù)反比例函數(shù)已知如圖AOBBABAxyxyAyOBxMNAyOBxMN. 642OAMOMBAOBSSS).0 , 2(,

14、2,0, 2:)2(Mxyxy時(shí)當(dāng)解法一. 2OM.,DxBDCxAC軸于軸于作, 2, 4BDAC, 2222121BDOMSOMB. 4422121ACOMSOMACDAyOBxMN. 624ONAONBAOBSSS).2 , 0(, 2,0, 2:)2(Nyxxy時(shí)當(dāng)解法二. 2ON.,DyBDCyAC軸于軸于作, 4, 2BDAC, 4422121BDONSONB. 2222121ACONSONACD.)2(;) 1 (,23,:)2002.(5的面積的坐標(biāo)和交點(diǎn)求直線與雙曲線的兩個(gè)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式且軸于點(diǎn)在第二象限的交點(diǎn)與直線是雙曲線的頂點(diǎn)如圖年成都AOCA、SBxABmxyxk

15、yAABORtABOAyOBxCD. 6,412,)2003.(4縱坐標(biāo)是點(diǎn)的并且兩點(diǎn)的圖象相交于的圖象與一次函數(shù)已知反比例函數(shù)如圖年海南PQPkxyxy.)2(;) 1 (的面積求式求這個(gè)一次函數(shù)的解析POQyxoPQ. 2,8,)2003.(3的縱坐標(biāo)都是的橫坐標(biāo)和點(diǎn)且點(diǎn)兩點(diǎn)的圖象交于的圖象與反比例函數(shù)已知一次函數(shù)如圖年成都BABAxybkxy.)2(;) 1 ( :的面積一次函數(shù)的解析式求AOBAyOBx 如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)ym/x圖象交于A（-2，1）、B（1，n）兩點(diǎn)（1）求上述反比例函數(shù)一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接AO、BO，求AOB

16、的面積 解：（解：（1）將）將A（2，1）代入反比例解析式得：）代入反比例解析式得：m=2，則反比例解析式為則反比例解析式為y= ；將將B（1，n）代入反比例解析式得：）代入反比例解析式得：n=2，即，即B（1，2），），將將A與與B坐標(biāo)代入坐標(biāo)代入y=kx+b中，得：，中，得：，解得：，解得：，則一次函數(shù)解析式為則一次函數(shù)解析式為y=x1；（2）連接）連接OA，OB，設(shè)一次函數(shù)與，設(shè)一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C，對(duì)于一次函數(shù)對(duì)于一次函數(shù)y=x1，令，令y=0，得到，得到x=1，即，即OC=1，則則SAOB=SAOC+SBOC=11+12=1.5.21):(4,)2004.(6OBABOBBxABAAxkyOAO如果垂足為軸作過(guò)點(diǎn)在第一象限內(nèi)交于與雙曲線直線是坐標(biāo)原點(diǎn)如圖年涼山統(tǒng)考題.),1 , 0()2(;) 1 (的面積求軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)與直線求雙曲線的解析式AODDxCyACyxoADCB7如圖所示，已知直線如圖所示，已知直線y1=x+m與與x軸、軸、y 軸分別交于點(diǎn)軸分別交于點(diǎn)A、B，與雙曲線，與雙曲線y2= （ky2（2）求出點(diǎn)）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；（1）分別求直線）分別求直線AB與雙曲線的解析式；與雙曲線的解析式；（4 4）試著在坐標(biāo)軸上找）試著在坐標(biāo)軸上找 點(diǎn)點(diǎn)D,D,使使