第二講 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法

1、第二講 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性復(fù)習(xí)上講教學(xué)內(nèi)容1無窮級(jí)數(shù)的定義2級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的定義3基本性質(zhì)4級(jí)數(shù)收斂的必要條件本講教學(xué)內(nèi)容1正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法；2交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別方法；3.絕對(duì)收斂與條件收斂.【教學(xué)目的與要求】1掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法；2熟悉比值判別法，了解根值判別法；3掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別方法；4. 理解級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂.【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】判別方法的靈活運(yùn)用§8.2 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件¥若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)un均非負(fù)，則稱 åun為正項(xiàng)級(jí)數(shù)由于un³0，n=1n=1,2,3,L，因此，sn+1=sn+un+1³sn

2、，所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列sn是單調(diào)增加數(shù)列即s1£s2£L£sn£L若sn有上界，則由“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”知，該正項(xiàng)級(jí)數(shù)必收斂反之，若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂于s，即 limsn=s，則數(shù)列sn必有上界，從而得到如下n®+¥重要結(jié)論：定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)åun收斂的充要條件是其部分和數(shù)列sn有上界n=1¥二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性判別法1. 比較判別法定理2（比較判別法） 設(shè)åun和åvn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且un£vn(n=1,2,L)n=1n=1¥¥¥¥（1）若

3、級(jí)數(shù)åvn收斂，則級(jí)數(shù)åun也收斂；n=1n=1¥¥（2）若級(jí)數(shù)åun發(fā)散，則級(jí)數(shù)åvn也發(fā)散n=1n=1¥證 （1）若級(jí)數(shù)åvn收斂，其部分和數(shù)列有上界，于是有M>0，使n=1n0£åvn=1n£M,nnn¥n又un£vn，故 0£¥åun=1£åvn=1£M即åun的部分和數(shù)列有上界根據(jù)定理1n=1知，級(jí)數(shù) åun收斂n=1¥¥¥（2）若å

4、;un發(fā)散，則級(jí)數(shù)åvn必發(fā)散，因?yàn)槿艏?jí)數(shù)åvn收斂，由（1）n=1n=1n=1¥¥知，級(jí)數(shù)åun也收斂，與假設(shè)矛盾，故級(jí)數(shù)åvn發(fā)散n=1n=1由于級(jí)數(shù)每項(xiàng)乘以非零數(shù)，以及去掉級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，所得級(jí)數(shù)的斂散性與原級(jí)數(shù)相同，可得如下推論：¥¥推論 設(shè)åun，且從級(jí)數(shù)的某項(xiàng)起恒有un£kvn(k>0)，åvn均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，n=1n=1則¥¥（1）若åvn收斂；則åun也收斂；n=1n=1¥¥（2）若åun發(fā)散，則&

5、#229;vn也發(fā)散n=1n=1例1 試證調(diào)和級(jí)數(shù) 1+發(fā)散證 顯然lnx在n,n+1上滿足拉格郎日中值定理?xiàng)l件，所以至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x(0<x<1)；使得12+13+L+1n¥+L=ånn=11ln(n+1)-lnn=(n+1)-n1n+x<1n，¥¥于是，級(jí)數(shù)å(ln(n+1)-lnn)與級(jí)數(shù)ån=1n=11n的所有對(duì)應(yīng)項(xiàng)便有1n0<ln(n+1)-lnn<，由于sn=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+L+(ln(n+1)-lnn)=ln(n+1)，¥所以 lims

6、n=limln(n+1)=¥因此，級(jí)數(shù)å(ln(n+1)-lnn)發(fā)散；由正項(xiàng)級(jí)數(shù)n®¥n®¥n=1比較判別法可知，調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的例2 討論p級(jí)數(shù)1+解 當(dāng)p£1時(shí)，有當(dāng)p£1時(shí)，p級(jí)數(shù)ån=1¥12³p+13p+14p+L+1np+L的斂散性1np1n由于調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，所以由比較判別法可知，1np也是發(fā)散的當(dāng)p>1時(shí)，¥ån=11np=1+(12p12+p+12p13p)+(14p14p+14p15p+14p16p+14p17p)+(18p18p+L+18

7、p115p)+L£1+()+(+)+(+L+)+L=1+¥12p-1+(12n)+(p-1212p-1)+L=å(2n=01)p-1又級(jí)數(shù)å(n=0¥12)p-1n是等比級(jí)數(shù)，且其公比q=¥12p-1<1,故收斂，于是當(dāng)p>1時(shí)，根據(jù)比較判別法的推論可知，級(jí)數(shù)ån=11np也收斂綜上所述，當(dāng)p>1時(shí)，p級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)p£1時(shí)，p級(jí)數(shù)發(fā)散 應(yīng)用比較判別法的關(guān)鍵，是把新給的級(jí)數(shù)與一個(gè)斂散性已知的正項(xiàng)級(jí)數(shù)作比較，常用作比較的正項(xiàng)級(jí)數(shù)有調(diào)和級(jí)數(shù)、等比級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)¥例3 判別級(jí)數(shù)ån=11

8、n(n+1)的斂散性解 因?yàn)?0<1n(n+1)<1n2，又p=2時(shí)的p一級(jí)數(shù)是收斂的，所以，原級(jí)數(shù)收斂例4 證明級(jí)數(shù) 1+收斂證 un=121n!=11´2´3´L´n12!+13!+L+1n!+L滿足0<¥1n!<12n-1¥，而å()n-1是等比級(jí)數(shù)n=112(q=<1)，由比較判別法可知，級(jí)數(shù)ån=1¥1n!收斂1nn例5 判定級(jí)數(shù) ån=11nn=1+12¥2+133+L+L的斂散性¥解 因1nn£12n-1，而級(jí)數(shù)å

9、;n=112n-1收斂，所以級(jí)數(shù)ån=11nn收斂為使用方便，下面給出比較判別法的極限形式：¥¥定理3 設(shè)級(jí)數(shù)åun和åvn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且limn=1n=1unvn=a,(0<a<+¥),則它們有相同的斂散性證 取e>0,使e滿足0<e<a依極限定義，存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有unvn-a<e，即 a-e<unvn<a+e，得 (a-e)vn<un<(a+e)vn由比較判別法可知級(jí)數(shù)åun，åvn具有相同的斂散性n=1n=1¥¥

10、;¥例6 判斷級(jí)數(shù)åtann=113n的收斂性tan13n=1，而級(jí)數(shù)解 一般項(xiàng)un=tan13n>0，且limn®+¥13n¥å3nn=11=1¥å31n¥發(fā)散，故級(jí)數(shù)åtann=113n也發(fā)散n=1由比較判別法可推出另一個(gè)常用的判別法2. 比值判別法¥定理4 （比值判別法） 設(shè)åun是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若limn=1un+1unn®+¥=l，則（1）當(dāng)l<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； （2）當(dāng)l>1時(shí)（或limun+1unn®+¥=&

11、#165;）時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)l=1時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散¥例7 判斷級(jí)數(shù)ån=11(2n+1)!的收斂性1解 因?yàn)?limun+1unn®+¥=lim(2n+3)!1(2n+1)!n®+¥=lim1(2n+3)(2n+2)n®+¥所以該級(jí)數(shù)收=0，斂¥例8 判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)ånsinn=113n的斂散性13nn+1解 因?yàn)?limun+1un(n+1)sin=limn®+¥1=lim(n®+¥n®+¥nsin13n+13n+1&#

12、215;) 1n3n=例9 判別級(jí)數(shù)ån=1¥13n®+¥limn+1n=13<1，所以該級(jí)數(shù)收斂n!10n的斂散性(n+1)!解 因?yàn)?limun+1unn®+¥=limn®+¥10n!10n+1=limn+110=¥，所以該級(jí)數(shù)發(fā)散n®+¥n注 當(dāng)limn®+¥un+1un¥=1時(shí)，無法判別級(jí)數(shù)的斂散性例如，級(jí)數(shù)ån=11n有n®+¥limun+1un=limnn+1n®+¥=1，¥它是

13、發(fā)散的，但級(jí)數(shù)ån=11n2也有l(wèi)imun+1un=limn22n®+¥n®+¥(n+1)=1,卻是收斂的3. 根值判別法定理5 (根值判別法) 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)un，若lim（1）當(dāng)l<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； （2）當(dāng)l>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)l=1時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散¥nn®+¥un=l；則例10 判斷級(jí)數(shù)ån=112+112nn的斂散性12n解 因?yàn)?<¥12+1n<，而=12¥<1，所以ån=112n收斂再根據(jù)比較判別法，原級(jí)數(shù)&#

14、229;n=112+1n收斂¥例11 設(shè)an>0，且liman=a，試判斷級(jí)數(shù)å(n®+¥xan)n(x>0)的斂散性n=1解 因?yàn)?<(xan),n(xan)=nxan，而limxann®+¥=xlim1ann®+¥=xa；所以，根據(jù)根值判別法有（1）當(dāng)x<a時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； （2）當(dāng)x>a時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)x=a時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散三、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散性判別法稱級(jí)數(shù)u1-u2+u3-u4+L=為非負(fù)數(shù)¥¥å(-1)n=1n-1其中un(n=1,

15、2,L,)皆u(píng)n為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，定理6 （萊布尼茲判別法） 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)å(-1)n-1un滿足：n=1（1）un³un+1n®+¥(n=1,2,L)；（2）limun=0則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，且其和s£u1，其余項(xiàng)的絕對(duì)值rn£un+1交錯(cuò)級(jí)數(shù)是一類特殊的級(jí)數(shù)，定理6表明，若交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，其和s£u1，即不超過首項(xiàng)；若用部分和sn作為s的近似值，所產(chǎn)生的誤差rn£un+1，即不超過第n+1項(xiàng)例12 交錯(cuò)級(jí)數(shù)1-（1）un=n®+¥12+13-14+L+(-1)n-11n+L滿足條件1n>1n+1n&

16、#174;+¥=un+1 (n=1,2,L)； 1n=0（2）limun=lim12+13+L+(-1)n-1所以它是收斂的，且其和s<1 如果取前n項(xiàng)的和sn=1-為s的近似值，即產(chǎn)生的誤差rn£例13 判斷級(jí)數(shù)1-和s時(shí)所產(chǎn)生的誤差解 因?yàn)椋?）un=1n!>1(n+1)!1n!12!+13!1n+1=un+1n-11n作-L+(-1)1n!+L的斂散性，并估計(jì)用s6代替其=un+1 (n=1,2,L)；（2）limun=limn®+¥n®+¥=0所以它是收斂的又因?yàn)?rn£un+1 ，所以r6£u

17、7=使誤差小于10-317!»0.0002也就是說，用s6代替s可四、絕對(duì)收斂與條件收斂對(duì)于一般項(xiàng)級(jí)數(shù)u1+u2+L+un+L,其各項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)，若級(jí)數(shù)åun各項(xiàng)n=1¥¥¥¥的絕對(duì)值所構(gòu)成的正項(xiàng)級(jí)數(shù)åun收斂，則稱級(jí)數(shù)åun絕對(duì)收斂；若級(jí)數(shù)åunn=1n=1n=1¥¥¥收斂，而級(jí)數(shù)åun發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)åun條件收斂易知å(-1)n-1n=1n=1n=1¥1n2是絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)，而å(-1)n-1n=1¥1n是條件收斂

18、級(jí)數(shù)¥定理7 若åun收斂，則åun必收斂n=1n=1¥例14 判斷級(jí)數(shù)ån=1sinnxn2的斂散性¥解 因?yàn)?#165;sinnxn2£1n¥2 而級(jí)數(shù)ån=11n2收斂由比較判別法知，級(jí)數(shù)ån=1sinnxn2收斂，所以級(jí)數(shù)ån=1sinnxn2絕對(duì)收斂例15 證明 級(jí)數(shù)¥å(-1)n-1n=12n-12n-1=1-32+54-78+L+(-1)n-12n-12n-1+L絕對(duì)收斂2n+1證 因?yàn)?limun+1unn®+¥n12=lim=<1，根據(jù)比值判別法，