扭轉軸的應力和強度計算——單元教學設計

1、 工程力學單元教學設計水工建筑物教學文本扭轉軸的應力和強度計算單元教學設計一、 教案頭單元名稱：扭轉軸的應力和強度計算學時：2項目五桿件的應力與強度計算學習型工作任務扭轉軸的應力和強度計算教學目標知識目標技能目標態(tài)度目標（1）理解切應變的概念；（2）理解剪切胡可定律；（3）熟練切應力的分布規(guī)律及計算公式；（4）能應用強度條件解決強度校核、截面設計、確定許用荷載等問題；（5）掌握本單元的教學方法、學習方法、考核方法。（1）能解釋本章節(jié)的基本任務與學習方法；（2）能解決工程實際結構中應圓軸發(fā)生扭轉變形時的強度計算。（1）能按時到課，遵守課堂紀律，不遲到，不早退；（2）認真聽講，積極思考與回答課堂問

2、題，按時上交作業(yè)；（3）課下能配合小組積極完成老師布置的各項任務；（4）同學間能對疑難問題相互討論；（5）能勇于表達個人的觀點和見解。能力訓練任務及案例解決工程實際結構中應圓軸發(fā)生扭轉變形時的強度計算。教學重點教學難點圓軸扭轉橫截面上的切應力、扭轉的強度計算圓軸扭轉橫截面上的切應力、扭轉的強度計算教學方法、手段專任教師利用板書、多媒體授課教學組織形式專任教師講解，學生分組討論，邊講邊練，學生自評互評，教師點評接總結。教學條件教材、課件、課外參考資料。作 業(yè)在規(guī)定時間內完成本單元的課外作業(yè)。備 注二、教學內容（以下條目可作參考）（一）概述本次學習任務的主要內容為切應變與剪切胡可定律、切應力的分布

3、規(guī)律及計算公式、切應力的強度條件及強度計算，會應用強度條件解決圓軸扭轉時的強度問題。（二）技能要求學生應具備一定的計算、分析問題、解決問題的能力。（三）教學內容一、切應變與剪切胡可定律1.薄壁圓管扭轉時橫截面上的切應力 為了研究薄壁圓管扭轉時橫截面上的應力，先觀察薄壁圓管扭轉時的變形現(xiàn)象。取一等厚薄壁圓管，受扭前在其表面用等間距的圓周線和縱向線畫成微小的方格，如圖1（）所示，然后在兩端加一對外力偶矩，使圓管產生扭轉變形，如圖1（b）所示?？梢杂^察到下列現(xiàn)象：（1）各縱向線向同一方向傾斜了同一微小角度，小方格變成了菱形。（2）各圓周線的形狀、大小及間距沒有改變，只是繞軸線發(fā)生了相對轉動。圖1用相

4、距的兩橫截面取出一圓環(huán)，如圖1（c）所示。由于各圓周線的間距不變，表明橫截面上無正應力。在變形過程中微段左右兩個側面產生相對轉動，原來的小方格變成菱形，這種變形稱為剪切變形，角度是原小方格的直角改變量，這種直角改變量稱為切應變，其方向位于圓周的切線方向，單位為弧度。產生了切應變，說明橫截面上必然存在切應力，其方向垂直于半徑。又因為管壁很?。ū诤襁h遠小于圓管的平均半徑），可以認為切應力沿壁厚方向均勻分布。在橫截面上任取一微面積 ，其上的微內力為，它對軸之矩為 。該橫截面上所有微內力對軸之矩的總和即為該截面的扭矩所以，薄壁圓管受扭時，橫截面上切應力的計算公式為： (1-1)精確分析表明，當tr/1

5、0時，用式（1-1）計算薄壁圓管扭轉時橫截面上的切應力是足夠精確的，其誤差不超過5。2.剪切虎克定律 用相距為的兩個橫截面和兩個徑向縱截面從薄壁圓管上截取一厚度為的微小單元體，如圖1（d）所示。單元體的左右兩側面是薄壁圓管橫截面的一部分，故在這兩個側面上只有切應力而無正應力，由切應力互等定理知，其上下側面上也只有切應力而無正應力，單元體的這種受力狀態(tài)稱為純剪切狀態(tài)。由塑性材料薄壁圓管的扭轉實驗可以得到切應力與切應變的關系曲線，如圖2所示。 圖 2實驗表明，對于大多數(shù)工程材料，在純剪狀態(tài)下，當切應力不超過材料的剪切比例極限時，剪應力與剪應變成線性關系。即 （1-2）上式稱為剪切虎克定律。式中為剪

6、切彈性模量，其量綱與彈性模量的量綱相同。對于各向同性的材料，在彈性范圍內，可以證明與其它兩個彈性常數(shù)、之間存在如下關系： (1-3)表1-1 材料的剪切彈性模量材料名稱低碳鋼合金鋼灰鑄鐵銅及其合金橡膠木材（順紋）（GPa）78.579.579.544.139.245.10.470055二、圓軸扭轉時橫截面上的切應力與薄壁圓管相仿，圓軸扭轉時橫截面上也只有與扭矩對應的切應力。研究圓軸扭轉時切應力的方法與薄壁圓管類似，首先通過實驗、觀察、假設，由變形的幾何關系、變形與應力之間的物理關系以及靜力學關系，推求橫截面上應力公式。（1）幾何關系。加載前在圓軸表面上畫縱向平行線和橫向圓周線，如圖3（）所示。

7、在外力矩作用下，彈性范圍內所觀察到的圓軸表面變形現(xiàn)象與薄壁圓管扭轉時管表面變形現(xiàn)象完全相同，如圖3（b）所示。根據觀察到的變形現(xiàn)象可以提出如下假設：圓軸扭轉時，原橫截面變形后仍為平面，其形狀、大小不變，橫截面只是剛性地繞軸線轉動一個角度，這一假設稱為平面假設。在圓軸上取dx微段，再從微段中用夾角很小的兩個徑向截面切出楔形體，如圖3（c）所示。在圓軸扭轉變形中，若截面相對截面轉動，由平面假設，截面nn上的兩個半徑和均旋轉了同一個角度。圓周表面的矩形變成了平行四邊形，邊相對的錯動為。圓周表面上任意點的直角改變量即為該點的切應變，即：根據平面假設，得到距圓心為的任意點的切應變?yōu)椋?（1-4）式中為扭

8、轉角沿桿長的變化率，稱為單位長度扭轉角，其單位為。對于給定截面，為常數(shù)，可見切應變與成正比。式（1-4）表明：橫截面上任一點的切應變與該點到圓心的距離成正比。因此，所有距圓心等距離的點，其切應變都相等。這就是扭轉圓軸橫截面上任一點切應變的變化規(guī)律。圖3（2）物理關系。在剪切比例極限范圍內，根據剪切虎克定律，得： （1-5）式（1-5）表明：扭轉圓軸橫截面上任一點的切應力與該點到圓心的距離成正比。由此可見，所有距圓心等距離的點，其切應力都相等。因為是垂直于半徑平面內的切應變，所以的方向應垂直于半徑。切應力沿任一半徑的變化情況如圖3（d）所示。（3）靜力學關系。幾何關系、物理關系已確定了切應力在橫

9、截面上的分布規(guī)律，因為單位長度扭轉角還是個待定的參數(shù)，故還不能由此計算切應力，還需從靜力學平衡條件確定單位長度扭轉角。在橫截面上距圓心處取一微面積dA，如圖1-1（e）所示。作用在微面積dA上的微內力為dA，此力對x軸的力矩為。整個橫截面上各點處微內力對軸之矩為，即：上式中積分dA為圓截面對圓心的極慣性矩。于是 （1-6）其中稱為抗扭剛度，它反映了材料及截面形狀、尺寸對扭轉變形的影響。越大，單位長度扭轉角越小。將式（1-6）代入式（1-5）得 （1-7）式（1-7）即扭轉圓軸橫截面上切應力的計算公式。它說明圓軸扭轉時橫截面上的切應力與扭矩成正比，且沿半徑方向呈線性分布，在圓心處，剪應力為零。在

10、橫截面周邊各點處，剪應力達到最大值，其值為令 則有 （1-8）上式中稱為抗扭截面系數(shù)，是反映材料抵抗扭轉變形的幾何量，其單位為m3或mm3。對實心圓軸 對外半徑為，內半徑為的空心圓軸，則： （1-9） 式（1-6）、（1-7）、（1-8）是在材料符合虎克定律的前提下推導出來的，因此，這些公式使用條件是等直圓桿在線彈性范圍內扭轉。三、圓軸扭轉時的強度計算為了保證受扭圓軸安全可靠地工作，必須使圓軸的最大工作剪應力不超過材料的扭轉許用切應力。因此，圓軸的強度條件為對于等直圓軸，其強度條件為 (1-10 )上式中是扭矩圖上絕對值最大的扭矩，最大切應力發(fā)生在所在截面的圓周邊上。對于階梯形變截面圓軸，因為

11、不是常量，不一定發(fā)生在的截面上。這就要綜合考慮扭矩和抗扭截面系數(shù)兩者的變化情況來確定。在靜荷載作用下，扭轉許用切應力與許用拉應力之間有如下關系：對塑性材料=（0.50.6對脆性材料= (0.81.0)應用式（1-10）可解決圓軸扭轉時的三類強度問題：（1）強度校核。 已知材料的許用切應力、截面尺寸、以及所受荷載，直接應用式（1-10）檢查構件是否滿足強度要求。（2）選擇截面。已知圓軸所受的荷載及所用材料，可按式（1-1）計算后，再進一步確定截面直徑。此時式（1-10）改寫為 （1-11a） （3）確定許可荷載 。已知構件的材料和尺寸，按強度條件計算出構件所能承擔的扭矩，再根據扭矩與外力偶的關系，計算出圓軸所能承擔的最大外力偶。此時式（1-10）改寫為 (1-11b)（三）操作要領（注意事項）（1）切應力與剪切胡可定律； （2）切應力的分布規(guī)律及計算公式； （3）切應力的強度條件；（4）切應力的強度計算。 （四）任務實施對學生進行分組實施教學活動，每58人一組。布置任務安排學生課前查閱資料，教師再以板書或多媒體課件授