1第十一章三角形能力培優(yōu)

1、第十一章 三角形11.1與三角形有關(guān)的線段專題一 三角形個數(shù)的確定1如圖，圖中三角形的個數(shù)為（）A2 B18 C19 D202如圖所示，第1個圖中有1個三角形，第2個圖中共有5個三角形，第3個圖中共有9個三角形，依此類推，則第6個圖中共有三角形_個3閱讀材料，并填表：在ABC中，有一點P1，當(dāng)P1、A、B、C沒有任何三點在同一直線上時，可構(gòu)成三個不重疊的小三角形（如圖）當(dāng)ABC內(nèi)的點的個數(shù)增加時，若其他條件不變，三角形內(nèi)互不重疊的小三角形的個數(shù)情況怎樣？完成下表：ABC內(nèi)點的個數(shù)1231007構(gòu)成不重疊的小三角形的個數(shù)35專題二 根據(jù)三角形的三邊不等關(guān)系確定未知字母的范圍4三角形的三邊分別為3

2、，12a，8，則a的取值范圍是（） A6a3 B5a2 C2a5 Da5或a25. 在ABC中，三邊長分別為正整數(shù)a、b、c，且cba0，如果b=4，則這樣的三角形共有_個6若三角形的三邊長分別是2、x、8，且x是不等式的正整數(shù)解，試求第三邊x的長狀元筆記【知識要點】1三角形的三邊關(guān)系 三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊2三角形三條重要線段 (1)高：從三角形的頂點向?qū)吽诘闹本€作垂線，頂點與垂足之間的線段叫做三角形的高 (2)中線：連接三角形的頂點與對邊中點的線段叫做三角形的中線 (3)角平分線：三角形內(nèi)角的平分線與對邊相交，頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線3三角形的穩(wěn)定

3、性 三角形具有穩(wěn)定性【溫馨提示】1以“是否有邊相等”，可以將三角形分為兩類：三邊都不相等的三角形和等腰三角形而不是分為三類：三邊都不相等的三角形、等腰三角形、等邊三角形，等邊三角形是等腰三角形的一種2三角形的高、中線、角平分線都是線段，而不是直線或射線【方法技巧】1根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判定三條線段能否組成三角形時，要看兩條較短邊之和是否大于最長邊2三角形的中線將三角形分成兩個同底等高的三角形，這兩個三角形面積相等參考答案:1D 解析：線段AB上有5個點，線段AB與點C組成5×（51）÷2=10個三角形；同樣，線段DE上也有5個點，線段DE與點C組成5×（51）&#

4、247;2=10個三角形，圖中三角形的個數(shù)為20個故選D221 解析：根據(jù)前邊的具體數(shù)據(jù)，再結(jié)合圖形，不難發(fā)現(xiàn)：后邊的總比前邊多4，若把第一個圖形中三角形的個數(shù)看作是1=43，則第n個圖形中，三角形的個數(shù)是4n3所以當(dāng)n=6時，原式=213解：填表如下：ABC內(nèi)點的個數(shù)1231007構(gòu)成不重疊的小三角形的個數(shù)3572015解析：當(dāng)ABC內(nèi)有1個點時，構(gòu)成不重疊的三角形的個數(shù)是3=1×21；當(dāng)ABC內(nèi)有2個點時，構(gòu)成不重疊的三角形的個數(shù)是5=2×21；參考上面數(shù)據(jù)可知，三角形的個數(shù)與點的個數(shù)之間的關(guān)系是：三角形內(nèi)有n個點時，三角形內(nèi)互不重疊的小三角形的個數(shù)是2n+1，故當(dāng)有3

5、個點時，三角形的個數(shù)是3×21=7；當(dāng)有1007個點時，三角形的個數(shù)是1007×21=20154B 解析：根據(jù)題意，得8312a83，即512a11，解得5a2故選B510 解析：在ABC中，三邊長分別為正整數(shù)a、b、c，且cba0，ca+bb=4，a=1，2，3，4a=1時，c=4；a=2時，c=4或5；a=3時，c=4，5，6；a=4時，c=4，5，6，7這樣的三角形共有1+2+3+4=10個6解：原不等式可化為3（x+2）2（12x），解得x8x是它的正整數(shù)解，x可取1，2，3，5，6，7再根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得6x10，x=711.2與三角形有關(guān)的角專題一 利用三角

6、形的內(nèi)角和求角度1如圖，在ABC中，ABC的平分線與ACB的外角平分線相交于D點，A=50°，則D=（）A15° B20° C25° D30°2如圖，已知：在直角ABC中，C=90°，BD平分ABC且交AC于D. 若AP平分BAC且交BD于P，求BPA的度數(shù)3已知：如圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，如圖2，在圖1的條件下，DAB和BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出A、B、C、D之間的數(shù)量關(guān)系：_；（2）在圖2中，若D=40°，B=30

7、°，試求P的度數(shù)；（寫出解答過程）（3）如果圖2中D和B為任意角，其他條件不變，試寫出P與D、B之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論即可）專題二 利用三角形外角的性質(zhì)解決問題4如圖，ABD，ACD的角平分線交于點P，若A=50°，D=10°，則P的度數(shù)為（）A15°B20° C25° D30°5如圖，ABC中，CD是ACB的角平分線，CE是AB邊上的高，若A=40°，B=72°（1）求DCE的度數(shù)；（2）試寫出DCE與A、B的之間的關(guān)系式（不必證明）6如圖：（1）求證：BDC=A+B+C；（2）如果點D與點A分別

8、在線段BC的兩側(cè)，猜想BDC、A、ABD、ACD這4個角之間有怎樣的關(guān)系，并證明你的結(jié)論狀元筆記【知識要點】1三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180°2直角三角形的性質(zhì)及判定 性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余 判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形3三角形的外角及性質(zhì)外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和【溫馨提示】1三角形的外角是一邊與另一邊的延長線組成的角，而不是兩邊延長線組成的角2三角形的外角的性質(zhì)中的內(nèi)角一定是與外角不相鄰的內(nèi)角【方法技巧】1在直角三角形中已知一個銳角求另一個銳角時，可直接使用“直角三角形

9、的兩個銳角互余”2由三角形的外角的性質(zhì)可得出：三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角參考答案:1C 解析：ABC的平分線與ACB的外角平分線相交于點D，1=ACE，2=ABC又D=12，A=ACEABC，D=A=25°故選C2解：（法1） 因為C=90°，所以BACABC=90°， 所以(BACABC)=45°. 因為BD平分ABC，AP平分BAC ， BAP=BAC，ABP=ABC ， 即BAPABP=45°， 所以APB=180°45°=135°. （法2）因為C=90°，所以BACABC=90&#

10、176;， 所以(BACABC)=45°， 因為BD平分ABC，AP平分BAC，DBC=ABC，PAC=BAC ， 所以DBCPAD=45°. 所以APB=PDAPAD =DBCCPAD=DBCPADC =45°90°=135°. 3解：（1）A+D=B+C；（2）由（1）得，1+D=3+P，2+P=4+B，13=PD，24=BP，又AP、CP分別平分DAB和BCD，1=2，3=4，PD=BP，即2P=B+D，P=（40°+30°）÷2=35°（3）2P=B+D4B 解析：延長DC，與AB交于點E根據(jù)三角

11、形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角和，可得ACD=50°+AEC=50°+ABD+10°，整理得ACDABD=60°設(shè)AC與BP相交于點O，則AOB=POC，P+ACD=A+ABD，即P=50°（ACDABD）=20°故選B5解：（1）A=40°，B=72°，ACB=68°CD平分ACB，DCB=ACB=34°CE是AB邊上的高，ECB=90°B=90°72°=18°DCE=34°18°=16°（2）DCE=（BA）6（1）證明：延長

12、BD交AC于點E，BEC是ABE的外角，BEC=A+BBDC是CED的外角，BDC=C+DEC=C+A+B（2）猜想：BDC+ACD+A+ABD=360°證明：BDC+ACD+A+ABD=3+2+6+5+4+1=（3+2+1）+（6+5+4）=180°+180°=360°11.3多邊形及其內(nèi)角和專題一 根據(jù)正多邊形的內(nèi)角或外角求值1若一個正多邊形的每個內(nèi)角為150°，則這個正多邊形的邊數(shù)是（） A12 B11 C10 D92一個多邊形的每一個外角都等于36°，則該多邊形的內(nèi)角和等于_°3已知一個多邊形的每一個內(nèi)角都相等，且每

13、個內(nèi)角都等于與它相鄰的外角的9倍，求這個多邊形的邊數(shù)專題二 求多個角的和4如圖為某公司的產(chǎn)品標志圖案，圖中A+B+C+D+E+F+G=（）A360° B540° C630° D720°5如圖，A+ABC+C+D+E+F=_°6如圖，求：A+B+C+D+E+F的度數(shù)狀元筆記【知識要點】1多邊形及相關(guān)概念 多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形 多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線2多邊形的內(nèi)角和與外角和 內(nèi)角和：n邊形的內(nèi)角和等于(n2)·180° 外角和：多邊形的外角和等

14、于360°【溫馨提示】1從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以做(n3)條對角線，它們將n邊形分為(n2)個三角形對角線的條數(shù)與分成的三角形的個數(shù)不要弄錯2多邊形的外角和等于360°，而不是180°【方法技巧】1連接多邊形的對角線，將多邊形轉(zhuǎn)化為多個三角形，將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決2多邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的變化而變化，但外角和不變，都等于360°，可利用多邊形的外角和不變求多邊形的邊數(shù)等參考答案:1A 解析：每個內(nèi)角為150°，每個外角等于30°多邊形的外角和是360°，360°÷30°=12，這個正多邊形的邊數(shù)為12故選A21440 解析：多邊形的邊數(shù)為360°÷36°=10，多邊形的內(nèi)角為180°36°=144°，多邊形的內(nèi)角和等于144°×10=1440°3解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得(n2)·180°=9×360&