數(shù)列知識點復習

1、數(shù)列知識點復習cab21、如果、如果a,b,c成等差數(shù)列，則稱成等差數(shù)列，則稱b為為a、c的的等差中項等差中項a,b,c成等差數(shù)列成等差數(shù)列2cab即：一、等差數(shù)列等比數(shù)列的通項公式：一、等差數(shù)列等比數(shù)列的通項公式：2、等差數(shù)列通項公式：、等差數(shù)列通項公式：),()() 1(*1Nmndmnaadnaamnn 則：滿足：若項數(shù)、等差數(shù)列qplmqplman,32qplqplmlm 時，特別地：qplaaa2qplmaaaa二、證明一些數(shù)列是等差數(shù)列二、證明一些數(shù)列是等差數(shù)列 是，求出公差和首項是否是等差數(shù)列，如果數(shù)列判斷的通項公式是例、已知數(shù)列nnnanaa, 34 注：注： qpnaann的

2、通項公式可表示為：等差數(shù)列其中其中p,q均是常數(shù)均是常數(shù)當當d0時，數(shù)列時，數(shù)列an是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列當當d0時，數(shù)列時，數(shù)列an是遞減數(shù)列是遞減數(shù)列當當d=0時，數(shù)列時，數(shù)列an是常數(shù)列是常數(shù)列P為公差為公差首項為首項為p+q二、等比數(shù)列的通項公式：二、等比數(shù)列的通項公式：1、如果、如果a,b,c成等比數(shù)列：成等比數(shù)列：bcab那么：那么：a,b,c成等比數(shù)列成等比數(shù)列acb 22 2、等比數(shù)列的通項公式：、等比數(shù)列的通項公式：稱稱b為為a、c的的等比中項等比中項acb即：)(*11Nnqaann 則：滿足：若項數(shù)、等比數(shù)列qplmqplman,32pqmlmlpql 特特別別地地：時時，

3、2lpqaaaqplmaaaa),(*)(Nmnqaamnmn即：等比數(shù)列單調(diào)性：等比數(shù)列單調(diào)性：步驟：步驟： 1n1nqaa 寫寫出出通通項項公公式式1 找找到到對對應應的的函函數(shù)數(shù)2指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)(3)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行研究結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行研究結(jié)論：結(jié)論： 遞增遞增1011 q,a 遞遞減減1021 q,a遞增遞增101 q0 ,a10 01a,q 遞遞減減說明： 等差數(shù)列的項可以為等差數(shù)列的項可以為0，公差也可以是，公差也可以是0 等比數(shù)列的項等比數(shù)列的項不可以不可以為為0，公比也，公比也不可以不可以是是0常數(shù)數(shù)列常數(shù)數(shù)列c,c,c,是等差數(shù)列還是等比數(shù)列是等差數(shù)列還是等

4、比數(shù)列一、直接或間接運用公式法一、直接或間接運用公式法等差數(shù)列的求和公式：等差數(shù)列的求和公式：dnaSnnaannn2) 1(12)(1等比數(shù)列的求和公式：等比數(shù)列的求和公式：還有一些常用公式：還有一些常用公式：6) 12)(1(2222321 nnnn11111)1 (11111qqqaaqnaqqqaqnaSnnn三、等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式：Sn= _qn ?,3.為等比數(shù)列數(shù)列什么條件時滿足當常數(shù)項和為的前數(shù)列例nnnnaaaSna注注: :時1qqqaSnn1)1 (1nnqqaqaS1111AA例、在等比數(shù)列例、在等比數(shù)列 an 中，它的前項和是中，它的前項和是sn ，當當s3

5、 = 3a3時，求公比時，求公比 q 的值的值解解：（：（1）當）當q = 1 時時 an 為常數(shù)列，為常數(shù)列， s3 =3a3=3a1恒成立恒成立（2） 當當q 1時時 a1（1 q3）1 - qS3 = 3a3 a1 . (1 + q + q2 ) = 3 a1 q2 a1 0 2 q2 - q -1= 0解得解得 q = - 或或 q = 1（舍去）（舍去）12綜上所述：綜上所述： q = 1 或或 q = -12注意特別考慮注意特別考慮q=1的情況的情況 等差數(shù)列判定方法：等差數(shù)列判定方法：（1）定義法：）定義法：（2）遞推公式法：）遞推公式法：（3）看通項法：）看通項法：（4）看前）

6、看前n項和法：項和法：1nnaa常數(shù),naknbk b（其中為常數(shù)）112nnnaaa2()nSAnBn AB、 為常數(shù) 等比數(shù)列判定方法：等比數(shù)列判定方法：（1）定義法：）定義法：（2）遞推公式法：）遞推公式法：（3）看通項法：）看通項法：（4）看前）看前n項和法：項和法：)0, 0( qkkqann001nnSAAq ( A,q,q) 1nnaa 常常數(shù)數(shù)0 0112 nnnaaa四、數(shù)列求通項公式的幾種方法： )(330,. 1*11Nnaaaaannnn中數(shù)列 )(21210,. 2*11Nnaaaaaannnnn中數(shù)列 2333nan 12nan 構(gòu)造等差數(shù)列 nnnnaaaaa求：

7、，中，、已知數(shù)列, 13131113 nnakak 解解：設設（）（ ） 21321 1）（得nnaa構(gòu)造等比數(shù)列構(gòu)造等比數(shù)列迭加法迭加法 nnnnanaaaa求：，中，、已知數(shù)列,21411112 aa解：解：223 aa334 aa 11 naann+迭乘法迭乘法 nnnnannaaaa求：，中，、已知數(shù)列,11511121342312.1342312nnnnaaaaaaaann解：)( *Nnnan)(2222:*11NnaSaSnnnn解 的通項公式數(shù)列求且項和的前為數(shù)列S、已知nnnnnaaSna:22,6得到由)2(1nSSannn1122nnnnaaSS)(3223*11Nnaa

8、aannnn 322232,1111aaSaqan首項公比是等比數(shù)列數(shù)列)(32*Nnann 111722*nnnnaaanN,aa. 、已已知知數(shù)數(shù)列列中中，（）求求數(shù)數(shù)列列的的通通項項公公式式，解；解；4534231224321 aaaa）（猜測：* 1Nnnnan然后用數(shù)學歸納法證明然后用數(shù)學歸納法證明歸納法歸納法(1)分清等差數(shù)列與等比數(shù)列分清等差數(shù)列與等比數(shù)列(2) 分清首項分清首項,項數(shù)項數(shù)(及年份及年份)nnSa 與與分分清清)3(解有關等差、等比數(shù)列的實際問題應注意解有關等差、等比數(shù)列的實際問題應注意:五、常用數(shù)列極限五、常用數(shù)列極限)( lim)2(是是常常數(shù)數(shù)CCn nn1

9、lim) 1 (0C, )3(時時當當1 q0lim nnq0 1 21 21 ) (0)1(limxxxxxxxnn的取值范圍是，則若A.B.C.D.的極限討論數(shù)列 nq11- 0limqqnn解：B1 1q11 qq或不存在六、數(shù)列極限的四則運算：六、數(shù)列極限的四則運算：如果如果 那么那么 ,limaannbbnnlimbabannn)(limbabannn)(lim)0(limbbabannnaCaCnn)(lim注：上述法則可推廣到注：上述法則可推廣到有限個有限個數(shù)列的加和乘數(shù)列的加和乘有極限例、已知例、已知 , ,求求 , 5lim nna3lim nnb).43(limnnnba

10、等于多少？則若)6(lim5)27(lim, 7)45(limnnnnnnnnnbababa改題：nnnnnnnnbaBbaAba2745lim)6(lim124675BABA分析：分析：21BAnnnnnnnnnnnnnnbababababa27lim45lim2127214521lim)6(lim222222222123123000000nnnnn.nlim()nnnnnlimlimlimlimnnnn.判判斷斷：項數(shù)是無限的，所以是不可以直接用性質(zhì)的項數(shù)是無限的，所以是不可以直接用性質(zhì)的1、 已知已知 ，求常數(shù)，求常數(shù) 的值的值.1)2122(lim2 bnnannnba、有理型極限：有

11、理型極限：222221234lim.nnnnnnn2123lim()nnn 2(1)lim2nn nn 22lim2nnnn 12 指數(shù)型極限指數(shù)型極限1 (0 1nnnalima)a 例例、求求 10101,100 1) 1 ( :原式時當解aaa 01111,1)2( 原原式式時時當當a原式時當,10 1) 3(aaa11010 1111limnnnaa無理型極限：無理型極限：21nlim(nn)2101nlim()nn 1267nnnnaqaaalim.aaa 例例、已已知知數(shù)數(shù)列列為為等等比比數(shù)數(shù)列列，公公比比是是 ，求求的的值值時當101 qnnnnnnqqqqqaqaq555111

12、lim11lim12時，原式、當15lim1111annaqn時，原式、當解：51q原式時當12q1111lim1lim55nnnnnnqqqqqq原式1極限不存在時當,13q綜上：。綜上：。七、無窮遞縮等比數(shù)列各項和七、無窮遞縮等比數(shù)列各項和對一般的無窮等比數(shù)列對一般的無窮等比數(shù)列 ,112111 nqaqaqaa 01q 111nnnna (q )Slim Slimq 注意：注意：S與與 的不同的不同 nS定義：我們把定義：我們把 nnS lim叫做這個無窮等比數(shù)列叫做這個無窮等比數(shù)列)10( q各項的和，記作各項的和，記作SnnSS lim11aq nnnnnSaaaaaaaaSlim.

13、lim.321321 210 B nnnnanSbbaACD1.1.數(shù)數(shù)列列前前 項項之之和和（），則則數(shù)數(shù)列列是是（）數(shù)數(shù)列列（ ）等等差差 數(shù)數(shù)列列（ ）等等比比數(shù)數(shù)列列（ ）常常數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)列列（ ）等等差差或或等等比比數(shù)數(shù)列列 390nnnanSaad,n_,S.2.2.等等差差數(shù)數(shù)列列中中，前前 項項和和為為，公公差差則則 為為時時最最大大3021003nnn_3.3.一一等等差差數(shù)數(shù)列列前前 項項和和為為，前前項項和和為為，則則它它的的前前項項和和為為若數(shù)列若數(shù)列 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, 則則 也是等差數(shù)列也是等差數(shù)列 . na,34232kkkkkkkSSSSSSS 若數(shù)列若數(shù)列 是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列，則 也是等比數(shù)列也是等比數(shù)列 . na,34232kkkkkkkSSSSSSS 知