同濟大學線性代數(shù)習題課ppt課件

1、利用范德蒙行列式計算利用范德蒙行列式計算例計算例計算利用范德蒙行列式計算行列式，應(yīng)根據(jù)范德利用范德蒙行列式計算行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計算出結(jié)果。式，然后根據(jù)范德蒙行列式計算出結(jié)果。.333222111222nnnDnnnn ，于是得到，于是得到增至增至冪次數(shù)便從冪次數(shù)便從則方則方若提取各行的公因子，若提取各行的公因子，遞升至遞升至而是由而是由變到變到序排列，但不是從序排列，但不是從次數(shù)自左至右按遞升次次數(shù)自左至右按遞升次方冪方冪數(shù)的不同方冪數(shù)的不同方冪中各行元素分別是一個中各行元素分別是一個

2、10.1, 10, nnnDn解解.1333122211111!121212nnnnDnnnn 上面等式右端行列式為上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin評注本題所給行列式各行列都是某元評注本題所給行列式各行列都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)如行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)如提取公因子、調(diào)換各行列的次序等將此行提

3、取公因子、調(diào)換各行列的次序等將此行列式化成范德蒙行列式列式化成范德蒙行列式用化三角形行列式計算用化三角形行列式計算例計算例計算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 解解列列都都加加到到第第一一列列，得得將將第第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的將將第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，將將第第倍倍加加到到第

4、第列列的的將將第第)(1,3)(12)(11aaan . )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(評注本題利用行列式的性質(zhì)，采用評注本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式化零時一般盡量選含有的行列及含零較多化零時一般盡量選含有的行列及含零較多的行列）；若沒有，則可適當選取便于化零的行列）；若沒有，則可適當選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行列中的某數(shù)的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行列中的某數(shù)化為化為1 1；若所給行列式中元素間具有某些特

5、點，那么；若所給行列式中元素間具有某些特點，那么應(yīng)充分利用這些特點，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達到應(yīng)充分利用這些特點，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達到化為三角形行列式之目的化為三角形行列式之目的，得，得提取公因子提取公因子行中行中行，并從第行，并從第行都加到第行都加到第、的第的第將將dcbaD 114324用降階法計算用降階法計算例計算例計算.4abcdbadccdabdcbaD 解解,1111)(4abcdbadccdabdcbaD 列列，得得列列都都減減去去第第、再再將將第第1432,0001)(4dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD 行展開，得行展開，得按第按第1.)(4dadbdccbc

6、acdbcbdbadcbaD ，得得中中提提取取公公因因子子行行行行，再再從從第第行行加加到到第第把把上上面面右右端端行行列列式式第第dcba 112,011)(dadbdccbcacddcbadcbaD 列列，得得列列減減去去第第再再將將第第12行展開，得行展開，得按第按第1)()( )(22cbdadcbadcba )()(dcbadcbadcbadcba ,001)(4dacbdccbdacddcbadcbaD dacbcbdadcbadcbaD )(評注本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列評注本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行列化成只含有一個非零元素，然后式的某行列化成只含有一個非零

7、元素，然后按此行列展開，每展開一次，行列式的階數(shù)按此行列展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低可降低 1階，如此繼續(xù)進行，直到行列式能直接階，如此繼續(xù)進行，直到行列式能直接計算出來為止一般展開成二階行列式）這種計算出來為止一般展開成二階行列式）這種方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用用加邊法計算用加邊法計算例計算例計算解解.21xaaaaxaaaaxaDnn 1111000111nnaxaaDaaxaaaax1111111nnaaaxDxx111110nnnaaaaxxxx1111niinnaaaaxxxx1211nniiax xxx用遞推法計算用遞推法計算例計算

8、例計算.21xaaaaxaaaaxaDnn 解解拆成兩個行列式之和拆成兩個行列式之和列把列把依第依第DnnaaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn121 .000121xaaaxaaaaxaaaaxann .1121DxaxxxDnnnn 從從而而得得列展開列展開第第右端的第二個行列式按右端的第二個行列式按列列加到第加到第倍分別倍分別列的列的將第將第右端的第一個行列式右端的第一個行列式,1, 2 , 1)1(, nnn ,0000000001121DxaaxaxaxDnnnn 由此遞推，得由此遞推，得.,2122121212211DxxxaxxxaxxxDDxaxxxDnnnnnnnnnn

9、n 于是于是如此繼續(xù)下去，可得如此繼續(xù)下去，可得DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn23142122121 )(21213142122121xxxaxaxxxxxaxxxaxxxaxxxnnnnnn ).(323112121xxxxxxxxxaxxxnnnn 時，還可改寫成時，還可改寫成當當021 xxxn).111(12121xxxaxxxDnnn 評注評注.1 1 .1,1 1的遞推關(guān)系的遞推關(guān)系列式更低階行列式之間列式更低階行列式之間階行階行，建立比，建立比階更低階的行列式表示階更低階的行列式表示比比用同樣形式的用同樣形式的階行列式階行列式時，還可以把給定的時，還可以把給

10、定的有有之間的遞推關(guān)系之間的遞推關(guān)系階行列式階行列式與與建立了建立了階行列式表示出來階行列式表示出來用同樣形式的用同樣形式的行列式行列式階階質(zhì)把所給的質(zhì)把所給的本題是利用行列式的性本題是利用行列式的性 nnDnDnDnDnnnnn用數(shù)學歸納法用數(shù)學歸納法例證明例證明.coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 證證對階數(shù)對階數(shù)n用數(shù)學歸納法用數(shù)學歸納法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221結(jié)結(jié)論論成成立立時時當當所所以以因因為為 nnDD 得得展展開開按按最最后后一一行行現(xiàn)現(xiàn)將將的的行行列列式式也也成成立立于于階階數(shù)數(shù)等等于

11、于下下證證對對的的行行列列式式結(jié)結(jié)論論成成立立假假設(shè)設(shè)對對階階數(shù)數(shù)小小于于,.,Dnnn.cos221DDDnnn ,)2cos( ,)1cos( ,21 nDnDnn由由歸歸納納假假設(shè)設(shè);cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .結(jié)結(jié)論論成成立立所所以以對對一一切切自自然然數(shù)數(shù) n評注評注.,)1(1,)(, 21同型的行列式同型的行列式是與是與不不否則所得的低階行列式否則所得的低階行列式展開展開列列或第或第行行按第按第不能不能展開展開列列或第或第行行本例必須按第本例必須按第表示表示展開成能用其同型的展開成能用其同型的為了將為了將DnnDDDn

12、nnn .,.,其猜想結(jié)果成立其猜想結(jié)果成立然后用數(shù)學歸納法證明然后用數(shù)學歸納法證明也可先猜想其結(jié)果也可先猜想其結(jié)果如果未告訴結(jié)果如果未告訴結(jié)果納法來證明納法來證明可考慮用數(shù)學歸可考慮用數(shù)學歸結(jié)論時結(jié)論時證明是與自然數(shù)有關(guān)的證明是與自然數(shù)有關(guān)的而要我們而要我們當行列式已告訴其結(jié)果當行列式已告訴其結(jié)果一般來講一般來講計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應(yīng)用在計算時，首先要仔細考察行列式法綜合應(yīng)用在計算時，首先要仔細考察行列式在構(gòu)造上的特點，利用行列式的性質(zhì)對它進行變在

13、構(gòu)造上的特點，利用行列式的性質(zhì)對它進行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法換后，再考察它是否能用常用的幾種方法小結(jié)小結(jié)當線性方程組方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等、當線性方程組方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等、且系數(shù)行列式不等于零時，可用克萊姆法則為且系數(shù)行列式不等于零時，可用克萊姆法則為了避免在計算中出現(xiàn)分數(shù)，可對有的方程乘以適了避免在計算中出現(xiàn)分數(shù)，可對有的方程乘以適當整數(shù)，把原方程組變成系數(shù)及常數(shù)項都是整數(shù)當整數(shù)，把原方程組變成系數(shù)及常數(shù)項都是整數(shù)的線性方程組后再求解的線性方程組后再求解.28)3(, 3)2(, 0)1( ),( fffxf使使求求一一個個二二次次多多項項式式例例1 10 0解解設(shè)所

14、求的二次多項式為設(shè)所求的二次多項式為,)(2cbxxaxf 由題意得由題意得,2839)3(, 324)2(, 0)1( cbafcbafcbaf., 的線性方程組的線性方程組數(shù)數(shù)這是一個關(guān)于三個未知這是一個關(guān)于三個未知cba.20,60,40, 020321 DDDD由克萊姆法則，得由克萊姆法則，得. 1, 3, 2321 DDcDDbDDa于是，所求的多項式為于是，所求的多項式為. 132)(2 xxxf證證.0, 0, 01,),(0000從而有系數(shù)行列式從而有系數(shù)行列式的非零解的非零解可視為齊次線性方程組可視為齊次線性方程組則則點點設(shè)所給三條直線交于一設(shè)所給三條直線交于一必要性必要性

15、bzaycxazcybxczbyaxzyyxxyxM. 00, 0, 0 cbabaycxacybxcbyax條條件件是是相相交交于于一一點點的的充充分分必必要要直直線線證證明明平平面面上上三三條條不不同同的的 例例1 11 1. 0)()()( )(21(222 accbbacbabacacbcba（） baycxacybxcbyax,. 0, cbacba故故同同也不全相也不全相所以所以因為三條直線互不相同因為三條直線互不相同將將方方程程組組如如果果充充分分性性, 0 cba. 00,唯唯一一解解下下證證此此方方程程組組（）有有（）到到第第三三個個方方程程，得得的的第第一一、二二兩兩個個方

16、方程程加加 acybxcbyax. 00)(2)()(002222222 accaaccacacaaccabbacbaccbba，從從而而有有，于于是是得得。由由，則則如如果果.)1(.)2(. 0.00. 0, 02直直線線交交于于一一點點有有唯唯一一解解，即即三三條條不不同同方方程程組組從從而而知知有有唯唯一一解解組組由由克克萊萊姆姆法法則則知知，方方程程故故，與與題題設(shè)設(shè)矛矛盾盾得得再再由由得得由由不不妨妨設(shè)設(shè) cbbaccbabacba例例12有甲、乙、丙三種化肥，甲種化肥每千有甲、乙、丙三種化肥，甲種化肥每千克含氮克含氮70克，磷克，磷8克，鉀克，鉀2克；乙種化肥每千克含克；乙種化肥

17、每千克含氮氮64克，磷克，磷10克，鉀克，鉀0.6克；丙種化肥每千克含氮克；丙種化肥每千克含氮70克，磷克，磷5克，鉀克，鉀1.4克若把此三種化肥混合，要克若把此三種化肥混合，要求總重量求總重量23千克且含磷千克且含磷149克，鉀克，鉀30克，問三種化克，問三種化肥各需多少千克？肥各需多少千克？解解題意得方程組題意得方程組依依千克千克、各需各需設(shè)甲、乙、丙三種化肥設(shè)甲、乙、丙三種化肥,1xxx .304 . 16 . 02,1495108,23321321321xxxxxxxxx,527 D此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式8127581 321 DDD，又又.15, 5, 332 xx

18、x組組有有唯唯一一解解由由克克萊萊姆姆法法則則，此此方方程程.15,5 ,3 千千克克千千克克千千克克各各需需即即甲甲、乙乙、丙丙三三種種化化肥肥).(40,1552.1355.1357.1360.133020100:.)(000000332210準準確確到到小小數(shù)數(shù)兩兩位位時時水水銀銀密密度度求求由由實實驗驗測測得得以以下下數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的關(guān)關(guān)系系為為與與溫溫度度設(shè)設(shè)水水銀銀密密度度 thttatataathth例例1313)1(.52.132700090030,5557 6 .13),(3210321032100 aaaaaaaaaaaaat

19、h得得方方程程組組將將測測得得的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)分分別別代代入入解解)2(.008. 02700903,005. 0800402,003. 010010,60.133213213210 aaaaaaaaaa得得方方程程組組分分別別代代入入其其余余三三個個方方程程將將,12000 D此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式.0000033. 0,00015. 0,0042. 0)2(,321 aaa的的唯唯一一解解得得方方程程組組由由克克萊萊姆姆法法則則,04. 0, 8 . 1,50321 DDD又又得得將將以以上上四四個個數(shù)數(shù)代代入入又又),(,60.130tha 由此得由此得.0000033.

20、000015. 00042. 060.13)(32tttth .46.13,56.13,40,15,00水水銀銀密密度度分分別別為為時時當當所所以以 t.46.13)40(,56.13)15( hh一、填空題一、填空題( (每小題每小題4 4分，共分，共4040分分) ) ijijnaDaaD則則若若, . 1 1322133213321,0, . 2xxxxxxxxxqpxxxxx列式列式則行則行的三個根的三個根是方程是方程設(shè)設(shè)行列式行列式 . 3 1000000001998000199700020001000D 4433221100000000 . 4ababbaba四四階階行行列列式式 443424144, . 5AAAAcdbaacbdadbcdcbaD則則設(shè)四階行列式設(shè)四階行列式的的符符號號為為在在五五階階行行列列式式中中3524415312 . 6aaaaa 的的系系數(shù)數(shù)是是中中在在函函數(shù)數(shù)321112 . 7xxxxxxxf abcdbadccdabdcba四階行列式四階行列式 . 8, . 9時時且且則則當當為為實實數(shù)數(shù)若若 baba010100 abba二、計算