高數(shù)數(shù)學-D11_習題課ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 習題課一、一、 曲線積分的計算法曲線積分的計算法二、曲面積分的計算法二、曲面積分的計算法 線面積分的計算 第十一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、曲線積分的計算法一、曲線積分的計算法1. 根本方法曲線積分第一類 ( 對弧長 )第二類 ( 對坐標 )(1) 選擇積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標方程用極坐標方程(2) 確定積分上下限第一類: 下小上大第二類: 下始上終練習題: P244 題 3 (1), (3), (6)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解答提示解答提示: 計算,d22syxL其中L為圓周.22xayx提示提示: 利用極坐標利用極坐標 ,)22(

2、cos:arLdd22rrs原式 =sxaLd22dcos22aa22a闡明闡明: 假設用參數(shù)方程計假設用參數(shù)方程計算算,:L)20(tOxayrda)cos1 (2txatyasin2t那么tyxsdd22 tad2P244 3 (1)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ttad)cos1 ( P244 3(3). 計算,dd)2(Lyxxya其中L為擺線, )sin(ttax)cos1 (tay上對應 t 從 0 到 2 的一段弧.提示提示:202dsinttta原式202sincosttta22 a)cos1 (tattattadsin)sin(yxxyadd)2(tttadsin2目錄 上頁

3、 下頁 返回 結(jié)束 zyx1OP244 3(6). 計算其中 由平面 y = z 截球面22yx 提示提示: 因在因在 上有上有,1222yx故:原式 = tttdsincos2022221tttd2022221)cos1 (cos4221432212162txcostysin21 sin21tz )20( t,dzzyx從 z 軸正向看沿逆時針方向.,12所得 z目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 利用對稱性及重心公式簡化計算 ;(2) 利用積分與途徑無關(guān)的等價條件;(3) 利用格林公式 (留意加輔助線的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用兩類曲線積分的聯(lián)絡公式 .2. 根

4、本技巧根本技巧目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 計算計算,d)(22szyxI其中 為曲線02222zyxazyx解解: 利用輪換對稱性利用輪換對稱性 , 有有szsysxddd222利用重心公式知sysydd0szyxId)(32222sad322334azyxO( 的重心在原點) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 CyxABLO例例2. 計算計算,d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是沿逆時針方向以原點為中心、解法解法1 令令,22xyQyxP那么xQ這闡明積分與途徑無關(guān), 故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1yPa 為半徑的上半圓周.目錄 上頁 下頁 返回

5、結(jié)束 解法解法2 ,BA它與L所圍區(qū)域為D,Dyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式)思索思索:(2) 假設 L 同例2 , 如何計算下述積分:LyxyxyxId)(d) (2222yLyxyxyxId)(d)(2213332a(1) 假設L 改為順時針方向,如何計算下述積分:BALyxyxyxId)(d)(22那么添加輔助線段CyxABLO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思索題解答思索題解答:LyxyxyxId)(d)(2213(1)ABABLDyxdd2)32(2aaLyxyxyxId)(d) (2222y(2)Lyxyxyxd)(d)(22Lxy d2tta

6、dsin303,sin,cos:taytaxL332a13223 a32a0:t332aIDCyxABLO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(),(2yxftytxtf證證: :把把例例3. 設在上半平面設在上半平面0),(yyxD內(nèi)函數(shù)),(yxf具有延續(xù)偏導數(shù), 且對恣意 t 0 都有證明對D內(nèi)恣意分段光滑的閉曲線L, 都有0d),(d),(yyxfxxyxfyL),(),(2yxftytxtf兩邊對t求導, 得:),(2),(),(321yxftytxtfyytxtfx得，令1t),(2),(),(21yxfyxfyyxfx),(),(yxfxQyxfyP再令那么有0),(),(),(2

7、21yxfyyxfxyxfyPxQ，即yPxQ因此結(jié)論成立.(2019考研)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 DayLxOBA計算,d)2cose (d)2sin(eLxxyyxyyI其中L為上半圓周, 0,)(222yayax提示提示: :2cose,2sineyQyyPxxyxQyyPxxcose, 2coseyxDdd202a沿逆時針方向.ABABLI練習題練習題: P244 題題 3(5) ; P245 題題 6; 11. 3(5).用格林公式: 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P245 6 . 設在右半平面 x 0 內(nèi), 力構(gòu)成力場,其中k 為常數(shù), ,22yx 證明在此力場中場力所作的功

8、與所取的途徑無關(guān).提示提示:)dd(3yyxxkWL令33,ykQxkP易證53yxkyPxQ)0(x),(3yxkFF 沿右半平面內(nèi)恣意有向途徑 L 所作的功為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P245 11. 求力沿有向閉曲線 所作的其中 為平面 x + y + z = 1 被三個坐標面所截成三提示提示: BAzyxCOzxyzxyWdddABzxyzxyddd3ABzxd310d)1 (3zz23方法方法1從 z 軸正向看去沿順時針方向.利用對稱性角形的整個邊境,),(xzyF 功,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 OBAzyxC設三角形區(qū)域為 , 方向向上, 那么zxyzxyWdddzyxSd

9、313131yzx1:zyxSd)3(31) 1, 1, 1 (31n方法方法223yxDyxdd33公式 n目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 DxzyO例例4.zyxyxzxzyILd)3(d)2(d)(222222設L 是平面與柱面1 yx的交線從 z 軸正向看去, L 為逆時針方向, 計算 解解: 記記 為平面為平面2zyx上 L 所圍部分的上側(cè), D為 在 xOy 面上的投影.I3131312zyx223yx Szyxd)324(3222zy 222xz SzyxdL公式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Dyxyxdd)6(2D 的形心0 yxDyxdd1224SzyxId)324(32Dy

10、xzyx),(, 2:1: yxDDxy11O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、曲面積分的計算法二、曲面積分的計算法1. 根本方法曲面積分第一類( 對面積 )第二類( 對坐標 )轉(zhuǎn)化二重積分(1) 選擇積分變量 代入曲面方程(2) 積分元素投影第一類: 一直非負第二類: 有向投影(3) 確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標面目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思思 考考 題題1) 二重積分是哪一類積分? 答答: 第一類曲面積分的特例第一類曲面積分的特例.2) 設曲面,),( ,0:Dyxz問以下等式能否成立?DyxyxfSzyxfdd)0 ,(d),( 不對 ! 對坐標的積分與 的側(cè)有關(guān) Dy

11、xyxfyxzyxfdd)0 ,(dd),(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 根本技巧根本技巧(1) 利用對稱性及重心公式簡化計算(2) 利用高斯公式留意公式運用條件添加輔助面的技巧(輔助面普通取平行坐標面的平面)(3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyxO練習練習:P244 題題4(3) ,ddddddyxzxzyzyx其中 為半球面222yxRz的上側(cè).且取下側(cè) , 原式 =3323R032 RP244 題題4(2) , P245 題題 10 同樣可利用高斯公式計算同樣可利用高斯公式計算.0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx記半球域為 ,高斯公式有計算提示

12、提示: 以半球底面以半球底面0為輔助面, 利用目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.證明證明: 設設(常向量)那么單位外法向向量, 試證Sdcoscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosxzddcosyxddcos設 為簡單閉曲面, a 為恣意固定向量,n為 的 . 0d)cos(Sa,nSand)cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos0aSa ,nd)cos(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 計算曲面積分計算曲面積分yxrzxzryzyrxIdddddd333其中,222zyxr.:2222取外側(cè)Rzyx解解:yxzxzyzy

13、xRIdddddd13zyxRddd3134思索思索: 此題此題 改為橢球面改為橢球面1222222czbyax時, 應如何計算 ?提示提示: 在橢球面內(nèi)作輔助小球面取2222zyx內(nèi)側(cè), 然后用高斯公式 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2121I例例7. 設設 是曲面是曲面9) 1(16)2(5122yxz23222)(dddddzyxyxzxzyzyxId2221:yxz解解: 取足夠小的正數(shù)取足夠小的正數(shù) , 作曲作曲面面取下側(cè)使其包在 內(nèi), 2為 xOy 平面上夾于之間的部分, 且取下側(cè) ,1與21取上側(cè), 計算, )0( z那么Ozyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )2(133I21

14、21Ivd01dddddd13yxzxzyzyx22322)(dd0yxyx2第二項添加輔助面, 再用高斯公式, 21Ozyx23222)(dddddzyxyxzxzyzyxId1zyxO留意曲面的方向 !得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 計算曲面積分計算曲面積分其,d2)(22SzyzyxI中 是球面.22222zxzyx解解: Szxd)22(32SzyxId )(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用對稱性用重心公式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P244 3 (2) , (4) ; 4 (2) 5 ; 9目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 1. 知

15、平面區(qū)域知平面區(qū)域L為D 的邊境, 試證,0, 0),(yxyxDxyyxxyyxxyLxyLdededede) 1 (sinsinsinsin2sinsin2dede)2(xyyxxyL證證: (1) 根據(jù)格林公式根據(jù)格林公式d)ee(dedesinsinsinsinxyDxyLxyyxd)ee(dedesinsinsinsinxyDxyLxyyx所以相等, 從而左端相等, 即(1)成立.(2019 考研)OyxD因、兩式右端積分具有輪換對稱性,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 由式d)ee(dedesinsinsinsinxyDxyLxyyxdedesinsinxDyDd2D22d)e

16、e(sinsinxxD由輪換對稱性OyxD)2ee(tt易證目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 在任一固定時辰 , 此衛(wèi)星能監(jiān)視的地球外表積是 2. 地球的一個偵查衛(wèi)星攜帶的廣角高分辨率攝象機地球的一個偵查衛(wèi)星攜帶的廣角高分辨率攝象機能監(jiān)視其視野所及地球外表的每一處的景象并攝像, 假設地球半徑為R , 衛(wèi)星距地球外表高度為 H =0.25 R ,衛(wèi)星繞地球一周的時間為 T , 試求(2) 在解解: 如圖建立坐標系如圖建立坐標系.,54cos8 . 0arccosR25. 1R3T的時間內(nèi) , 衛(wèi)星監(jiān)視的地球外表積是多少 ?多少 ? yzxO設衛(wèi)星繞 y 軸旋轉(zhuǎn)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 利用球坐標, 任一固定時辰監(jiān)視的地球外表積為02201dsinRSd)cos1 (22R252R(2) 在2S2025234RSR3T時間內(nèi)監(jiān)視的地球外表積為54cos點擊圖片恣意處點擊圖片恣意處播放開場或暫停播放開場或