第4章根軌跡 ppt課件

1、第第4章章 根軌跡分析法根軌跡分析法l 4.1 根軌跡的根本概念l4.2 繪制根軌跡的方法l4.3 參量根軌跡l4.4 零度根軌跡l4.5 用根軌跡分析系統(tǒng)性能l4.6 MATLAB用于根軌跡分析4.1 根軌跡的根本概念根軌跡的根本概念4.1.1 根軌跡根軌跡4.1.2 根軌跡方程根軌跡方程前已述及，閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能與閉環(huán)極點(diǎn)在 s 平面上的位置親密相關(guān)。所以在分析系統(tǒng)的性能時，往往要求確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)的位置。另外，在分析或設(shè)計系統(tǒng)時，經(jīng)常要研討一個或幾個參量在一定范圍內(nèi)變化時，對閉環(huán)極點(diǎn)的位置以及系統(tǒng)性能的影響。閉環(huán)極點(diǎn)就是特征根，為了求解特征根，需將特征多項(xiàng)式進(jìn)展因式分解。但對于高階系

2、統(tǒng)不太容易，特別當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)但對于高階系統(tǒng)不太容易，特別當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)變化時，需求反復(fù)地進(jìn)展計算，更是不現(xiàn)實(shí)。所變化時，需求反復(fù)地進(jìn)展計算，更是不現(xiàn)實(shí)。所以伊萬斯首先提出了求解特征根的圖解方法以伊萬斯首先提出了求解特征根的圖解方法根軌跡法。根軌跡法。所謂根軌跡就是指當(dāng)系統(tǒng)中某個參量由零到無窮所謂根軌跡就是指當(dāng)系統(tǒng)中某個參量由零到無窮大變化時，其閉環(huán)特征根極點(diǎn)在大變化時，其閉環(huán)特征根極點(diǎn)在s s平面上挪平面上挪動的軌跡。動的軌跡。 根軌跡法是在知系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)條件下，繪根軌跡法是在知系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)條件下，繪制出系統(tǒng)閉環(huán)特征根在制出系統(tǒng)閉環(huán)特征根在 s s 平面上隨參數(shù)變化時平面上隨參數(shù)

3、變化時運(yùn)動的軌跡。運(yùn)動的軌跡。 本章序文本章序文(續(xù)續(xù)) 設(shè)系統(tǒng)的構(gòu)造如下圖。其中，為零、極點(diǎn)方式下開環(huán)傳送函數(shù)的放大設(shè)系統(tǒng)的構(gòu)造如下圖。其中，為零、極點(diǎn)方式下開環(huán)傳送函數(shù)的放大系數(shù)，也稱為根軌跡增益。系數(shù)，也稱為根軌跡增益。系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為閉環(huán)特征方程式為閉環(huán)特征方程式為特征根為特征根為rrKssKsRsC2)()(2220rssKrKs112 . 14.1.1根軌跡根軌跡 1 1時，系統(tǒng)時，系統(tǒng)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，呈過有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，呈過阻尼形狀。阻尼形狀?？傻贸鲆韵聨c(diǎn)：可得出以下幾點(diǎn)： 2 2當(dāng)時，特征根當(dāng)時，特征根為兩個相等的實(shí)數(shù)根，系統(tǒng)呈為兩個相等的

4、實(shí)數(shù)根，系統(tǒng)呈臨界阻尼形狀。臨界阻尼形狀。 3 3值值時，特時，特征根為兩個復(fù)數(shù)根，系統(tǒng)呈欠征根為兩個復(fù)數(shù)根，系統(tǒng)呈欠阻尼形狀，即輸出呈衰減振蕩阻尼形狀，即輸出呈衰減振蕩方式。特征根的實(shí)部方式。特征根的實(shí)部為衰減為衰減系數(shù)，虛部系數(shù)，虛部為振蕩頻率。為振蕩頻率。可見：根軌跡圖全面的描可見：根軌跡圖全面的描述了述了Kr對對S1,2分布的影響。分布的影響。4.1.2 根軌跡方程根軌跡方程設(shè)系統(tǒng)的構(gòu)造如下圖。設(shè)系統(tǒng)的構(gòu)造如下圖。系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為開環(huán)傳送函數(shù)的零、極點(diǎn)表達(dá)式為開環(huán)傳送函數(shù)的零、極點(diǎn)表達(dá)式為 式中，為開環(huán)傳送函數(shù)的零點(diǎn)，為開環(huán)傳送函式中，為開環(huán)傳送函數(shù)的零點(diǎn)，為開

5、環(huán)傳送函數(shù)的極點(diǎn)，為根軌跡增益。系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為數(shù)的極點(diǎn)，為根軌跡增益。系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為)()(1)()()(sHsGsGsRsCnjjmiirpszsKsHsG11)()()()(0)()(1sHsG1)()(sHsG即即 定義根軌跡方程為定義根軌跡方程為 因?yàn)閺?fù)變量，根軌跡方程又可分解為幅值方程和相因?yàn)閺?fù)變量，根軌跡方程又可分解為幅值方程和相角方程。角方程。相角方程為相角方程為1)()(11njjmiirpszsK幅值方程為幅值方程為 1)()(11njjmiirpszsK或或 rnjjmiiKpszs1)()(1111()()(21)(0,1,2)mnijijszspkk 假

6、設(shè)假設(shè)s平面上的點(diǎn)是閉環(huán)極點(diǎn)，那么它與平面上的點(diǎn)是閉環(huán)極點(diǎn)，那么它與zi、pj所組成所組成的相量必定滿足上述兩方程，而且幅值方程與的相量必定滿足上述兩方程，而且幅值方程與Kr有有關(guān)，而相角方程與關(guān)，而相角方程與Kr無關(guān)。所以滿足相角方程的無關(guān)。所以滿足相角方程的s值值代入幅值方程中，總能求得一個對應(yīng)的代入幅值方程中，總能求得一個對應(yīng)的Kr，即，即s假設(shè)滿假設(shè)滿足相角方程，必定就滿足幅值方程。足相角方程，必定就滿足幅值方程。 繪制根軌跡只需根據(jù)相角方程足以，而幅值方程繪制根軌跡只需根據(jù)相角方程足以，而幅值方程 用來確定根軌跡上各點(diǎn)對應(yīng)的用來確定根軌跡上各點(diǎn)對應(yīng)的Kr值。值。相角方程是決議閉環(huán)根軌

7、跡的充要條件。相角方程是決議閉環(huán)根軌跡的充要條件。4.2 繪制根軌跡的方法繪制根軌跡的方法l4.2.1 繪制根軌跡的根本規(guī)那么繪制根軌跡的根本規(guī)那么l4.2.2 根軌跡繪制舉例根軌跡繪制舉例1. 根軌跡的對稱性和分支數(shù)根軌跡的對稱性和分支數(shù)4.2.1 繪制根軌跡的根本規(guī)那么繪制根軌跡的根本規(guī)那么 閉環(huán)特征根假設(shè)是實(shí)數(shù)根，閉環(huán)特征根假設(shè)是實(shí)數(shù)根，那么分布在平面的實(shí)軸上；假那么分布在平面的實(shí)軸上；假設(shè)是復(fù)數(shù)根，那么成對出現(xiàn)，實(shí)設(shè)是復(fù)數(shù)根，那么成對出現(xiàn)，實(shí)部相等，虛部大小相等符號相反，部相等，虛部大小相等符號相反，如下圖。因此，構(gòu)成的根軌跡必如下圖。因此，構(gòu)成的根軌跡必定對稱于實(shí)軸。定對稱于實(shí)軸。

8、當(dāng)取某一數(shù)值時，階特征方程式有個確定的根。當(dāng)取某一數(shù)值時，階特征方程式有個確定的根。當(dāng)當(dāng)變化時，每一個根由始點(diǎn)延續(xù)地向其終點(diǎn)挪變化時，每一個根由始點(diǎn)延續(xù)地向其終點(diǎn)挪動，構(gòu)成一條根軌跡，個根也就構(gòu)成條根軌跡。動，構(gòu)成一條根軌跡，個根也就構(gòu)成條根軌跡。根軌跡對稱于實(shí)軸，其分支數(shù)等于開環(huán)根軌跡對稱于實(shí)軸，其分支數(shù)等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)極點(diǎn)數(shù)n n和開環(huán)零點(diǎn)數(shù)和開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m m中的最大數(shù)。中的最大數(shù)。 2. 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)思索到根軌跡起始處思索到根軌跡起始處KrKr，故根軌跡幅值方程為，故根軌跡幅值方程為 而根軌跡終點(diǎn)處而根軌跡終點(diǎn)處Kr,Kr,有有m m條根軌跡終止于開環(huán)傳送條根軌跡終

9、止于開環(huán)傳送函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)，n-mn-m條終止于無窮遠(yuǎn)。條終止于無窮遠(yuǎn)。 根軌跡起始于開環(huán)傳送函數(shù)的極點(diǎn)，根軌跡起始于開環(huán)傳送函數(shù)的極點(diǎn)，終止于開環(huán)傳送函數(shù)的零點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)。終止于開環(huán)傳送函數(shù)的零點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)。 11()1()miinrjjszKsp 使等式成立的條件是使等式成立的條件是 jps 例例- - 知系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為知系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為 試確定系統(tǒng)的根軌跡圖。試確定系統(tǒng)的根軌跡圖。 解解 : : 系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)為系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)為 p1=0, p2=-1, p3=-2 p1=0, p2=-1, p3=-2，z1= -1+ j, z2= -1- jz1= -1+ j,

10、z2= -1- j，根軌跡如圖，根軌跡如圖- -所示。所示。 圖中，圖中，“表示開環(huán)傳送函表示開環(huán)傳送函數(shù)的極點(diǎn)，數(shù)的極點(diǎn)，“表示開環(huán)傳送函表示開環(huán)傳送函數(shù)的零點(diǎn)。系統(tǒng)的三條根軌跡起數(shù)的零點(diǎn)。系統(tǒng)的三條根軌跡起始于三個開環(huán)傳送函數(shù)的極點(diǎn)，始于三個開環(huán)傳送函數(shù)的極點(diǎn)，其中兩條根軌跡終止于開環(huán)傳送其中兩條根軌跡終止于開環(huán)傳送函數(shù)的兩個零點(diǎn)，另一條趨于無函數(shù)的兩個零點(diǎn)，另一條趨于無窮遠(yuǎn)。窮遠(yuǎn)。)2)(1()22()()(2sssssKsHsGr3. 實(shí)軸上的根軌跡段實(shí)軸上的根軌跡段實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，實(shí)軸上的開實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)為奇

11、數(shù)。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)分布如下圖。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)分布如下圖。 在實(shí)軸上在實(shí)軸上p1p1與與p2p2之間任取一之間任取一點(diǎn)點(diǎn)s1s1，s1s1與開環(huán)零、極點(diǎn)的矢量如與開環(huán)零、極點(diǎn)的矢量如圖圖- -中的箭頭線所示。中的箭頭線所示。s1s1對應(yīng)的相角為對應(yīng)的相角為 4121)()(jjiipszs12123412180 滿足相角相角方程，即該區(qū)段是根軌跡段。滿足相角相角方程，即該區(qū)段是根軌跡段。例例4-2 4-2 知系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為知系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為試畫出該系統(tǒng)的根軌跡圖。試畫出該系統(tǒng)的根軌跡圖。)1()1()()(TsssKsHsGr圖圖4-7 T4-7 T時的根軌跡時的根軌跡 圖

12、圖4-8 T4-8 T時的根軌跡時的根軌跡漸近線包括兩個內(nèi)容：漸近線的傾角和漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)。q 傾角：設(shè)根軌跡在無限遠(yuǎn)處有一點(diǎn) ，那么s平面上一切得開環(huán)有限零點(diǎn)和極點(diǎn)到 的相角都相等，即為漸近線的傾角 。代入根軌跡的相角條件得：ksks11()()(21)mnijijszspmnk (21),(0,1,1)kknmnm 商定：相角逆時針為正，順時針為負(fù)。ks1p2p3p假設(shè)開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，那么當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)增益Kg時趨向無窮遠(yuǎn)處的根軌跡共有n-m條。這n-m條根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)的方位可由漸近線決議。18001mn909002mn454518004mn606018003mn) 1,

13、 1 , 0( ,) 12(mnkmnkq 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)假設(shè)根軌跡在無限遠(yuǎn)處有一點(diǎn) ，那么s平面上一切開環(huán)有限零點(diǎn)和極點(diǎn)到 的矢量長度都相等?？梢砸詾椋簩o限遠(yuǎn)閉環(huán)極點(diǎn) 而言，一切的開環(huán)有限零點(diǎn) 、極點(diǎn) 都聚集在一同，其位置為 ，這就是漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)。ksksksizip）（：，零極點(diǎn)的重心認(rèn)為時當(dāng)jikpzss11111111()()()1()()()mmmmmiiiiiinnnnnrjjjjjjszszszKspspsp幅值條件：,)(11miinjjzpmn：比較系數(shù)得11nmjijipznm1n-m11111()()().s()().n mn mn mnmn mjijissn

14、mspzs ：等式左為1等式右為11111111()()()1()()()mmmmmiiiiiinnnnnrjjjjjjszszszKspspsp結(jié)論結(jié)論趨于無窮遠(yuǎn)的根軌跡的漸近線由下式確定：趨于無窮遠(yuǎn)的根軌跡的漸近線由下式確定：漸近線與實(shí)軸的夾角漸近線與實(shí)軸的夾角漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)例例4-3 4-3 知系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為知系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖(21)0,1,2,3.kknmmnzpmiinjj11)2)(1()()(sssKsHsGr5 5、根軌跡的會合點(diǎn)和分別點(diǎn)：、根軌跡的會合點(diǎn)和分別點(diǎn)： 假設(shè)干支根軌跡在復(fù)平面上某一點(diǎn)相遇后又分

15、開，稱該點(diǎn)為分別點(diǎn)或會合點(diǎn)。有開環(huán)極點(diǎn) ，零點(diǎn) 從 即 處出發(fā)在A點(diǎn)相遇分別，到B點(diǎn)相遇會合。當(dāng) 時根軌跡一支走向 另一支走向 ，A、B點(diǎn)稱為根軌跡在實(shí)軸上的分別點(diǎn)和會合點(diǎn)。12,p p, z0,rk 12,p prk , z 普通，假設(shè)實(shí)軸上兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間有根軌跡，那么這兩相鄰極點(diǎn)之間必有分別點(diǎn)；假照實(shí)軸上相鄰開環(huán)零點(diǎn)其中一個是能夠是無限大零點(diǎn)之間有根軌跡，那么這相鄰零點(diǎn)之間必有會合點(diǎn)。例：AB1p2pz0rk 0rk rk rk 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征方程為根據(jù)重根的條件，必需同時滿足以下兩式根據(jù)重根的條件，必需同時滿足以下兩式那么那么整理后

16、，得分別會合點(diǎn)的必要條件式為整理后，得分別會合點(diǎn)的必要條件式為)()()()(sAsBKsHsGr0)()(sAsBKr0)()(sAsBKr( )( )0rK B sA s)()(sBsAKr)()()()(sBsAsBsA只需位于根軌跡上的重根只需位于根軌跡上的重根才是分別點(diǎn)或會合點(diǎn)才是分別點(diǎn)或會合點(diǎn)例例4-4 4-4 知系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為知系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。解解 (1) (1) 開環(huán)零、極點(diǎn)為開環(huán)零、極點(diǎn)為p1=-1p1=-1，p2=-2p2=-2，z1=-3z1=-3。(2) (2) 實(shí)軸上的根軌跡段為實(shí)軸上的根軌跡段為p1p1p2p2段和段

17、和z1z1-段。段。(3) n-m=1(3) n-m=1，故有一條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)。，故有一條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)。漸近線與實(shí)軸的夾角為漸近線與實(shí)軸的夾角為(4) (4) 分別點(diǎn)和會合點(diǎn)為分別點(diǎn)和會合點(diǎn)為s1s1為根軌跡的分別點(diǎn)，為根軌跡的分別點(diǎn)，s2s2為根軌跡的會合點(diǎn)。為根軌跡的會合點(diǎn)。) 2)(1() 3()()(sssKsHsGr(21)1801k )()()()(sBsAsBsA)3)(32()23(2ssss解方程得解方程得 121.6,4.4ss 6. 根軌跡的出射角和入射角根軌跡的出射角和入射角出射角出射角: :為根軌跡在復(fù)數(shù)起點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角。為根軌跡在復(fù)數(shù)起點(diǎn)處的切線與

18、正實(shí)軸的夾角。 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)分布如下圖，有零、極點(diǎn)設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)分布如下圖，有零、極點(diǎn)z1,p1z1,p1，p2p2，p3p3，p4p4。411111) 12()()(jjiikpszs 設(shè)設(shè)p3p3的出射角為的出射角為33，如下圖。，如下圖。假設(shè)假設(shè)s1s1為根軌跡上的一點(diǎn)，那么為根軌跡上的一點(diǎn)，那么s1s1應(yīng)滿足相角方程應(yīng)滿足相角方程由此可推得出射角的普通表達(dá)式由此可推得出射角的普通表達(dá)式1111()()mnmnlliljijijijj lj lpzpp 入射角的普通表達(dá)式為入射角的普通表達(dá)式為例例4-6 4-6 知系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為知系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為入射角入射角: :

19、為根軌跡在復(fù)數(shù)終點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角。為根軌跡在復(fù)數(shù)終點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角。1111()()mnmnlliljijijiji li lzzzp 試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。)5 . 1)(5 . 2()54)(5 . 1()()(22sssssssKsHsGr共軛復(fù)數(shù)的開環(huán)零極點(diǎn)才需計算出射共軛復(fù)數(shù)的開環(huán)零極點(diǎn)才需計算出射角和入射角，實(shí)數(shù)開環(huán)零極點(diǎn)不用計角和入射角，實(shí)數(shù)開環(huán)零極點(diǎn)不用計算，普通為：算，普通為：0, 180, 90, 60與與120, 45與與等等. 7. 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)是系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的分界點(diǎn)，經(jīng)根軌跡與虛軸的

20、交點(diǎn)是系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的分界點(diǎn)，經(jīng)常需求求得這一交點(diǎn)和相應(yīng)的常需求求得這一交點(diǎn)和相應(yīng)的KrKr值。值。例例4-7 4-7 知系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為知系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。設(shè)與虛軸相交的閉環(huán)極點(diǎn)為設(shè)與虛軸相交的閉環(huán)極點(diǎn)為=j=j，代入閉環(huán)特征方程得：，代入閉環(huán)特征方程得：解方程即可求得解方程即可求得，0)()(1jHjG)22)(3()2()()(2sssssKsHsGr8. 開環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系開環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系 在一定條件下，開環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)間有著固定的關(guān)系，在一定條件下，開環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)間有著固定的關(guān)系，可利用這種關(guān)系來判別閉環(huán)特征根在平面

21、上的走向，并為可利用這種關(guān)系來判別閉環(huán)特征根在平面上的走向，并為確定閉環(huán)極點(diǎn)帶來方便。確定閉環(huán)極點(diǎn)帶來方便。根據(jù)代數(shù)方程的根與系數(shù)間的關(guān)系，次高項(xiàng)系數(shù)根據(jù)代數(shù)方程的根與系數(shù)間的關(guān)系，次高項(xiàng)系數(shù) 設(shè)階系統(tǒng)閉環(huán)特征方程可表示為設(shè)階系統(tǒng)閉環(huán)特征方程可表示為miirnjjzsKps11)()(nnnnnasasasas12211)()(121nnssssssssnjjsa11假設(shè)滿足條件假設(shè)滿足條件n-m2 n-m2 ，那，那么么 njnjjjps11因此，因此，Kr時或時或Kr時，假設(shè)一部分閉環(huán)時，假設(shè)一部分閉環(huán)極點(diǎn)在極點(diǎn)在s平面上向右平面上向右 移，那么另一部分閉環(huán)極移，那么另一部分閉環(huán)極點(diǎn)必向左

22、移；對于任一點(diǎn)必向左移；對于任一Kr，閉環(huán)極點(diǎn)之和堅持，閉環(huán)極點(diǎn)之和堅持不變。用以判別根軌跡在不變。用以判別根軌跡在s平面上的走向。平面上的走向。4.2.2 根軌跡繪制舉例根軌跡繪制舉例例例4-8 4-8 知系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為知系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為 繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。 )208()()(2sssKsHsGr解解 1 1開環(huán)極點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)為p1=0,p2=-4+j2,p3=-4-j2,n=3,m = 0 p1=0,p2=-4+j2,p3=-4-j2,n=3,m = 0 2 2實(shí)軸上的根軌跡段實(shí)軸上的根軌跡段 p1 - p1 - 3 3根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線 (21)

23、60 ,1803k 67. 23444 4根軌跡的出射角根軌跡的出射角 2112mnijijj 153.49063.4 4 .6335 5根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 020823rKsss將將js 帶入上式得帶入上式得 328200rjjK160rK47. 43 . 2 6 6根軌跡的分別點(diǎn)和會合點(diǎn)根軌跡的分別點(diǎn)和會合點(diǎn) )()()()(sBsAsBsA解得解得 由由 得得 12,s 33. 32s 系統(tǒng)的根軌跡圖如圖系統(tǒng)的根軌跡圖如圖. . j3p1p2pj2-j4-2-4-j20201632ss解得解得 前面引見的普通根軌跡或普通根軌跡的繪前

24、面引見的普通根軌跡或普通根軌跡的繪制規(guī)那么是以開環(huán)根軌跡增益制規(guī)那么是以開環(huán)根軌跡增益 為可變參數(shù)的，為可變參數(shù)的，大多數(shù)系統(tǒng)都屬于這種情況。但有時候，為大多數(shù)系統(tǒng)都屬于這種情況。但有時候，為了分析系統(tǒng)方便起見，或著重研討某個系統(tǒng)了分析系統(tǒng)方便起見，或著重研討某個系統(tǒng)參數(shù)參數(shù)(如時間常數(shù)、反響系數(shù)等如時間常數(shù)、反響系數(shù)等)對系統(tǒng)性能的對系統(tǒng)性能的影響，也經(jīng)常以這些參數(shù)作為可變參數(shù)繪制影響，也經(jīng)常以這些參數(shù)作為可變參數(shù)繪制根軌跡，我們把以非開環(huán)根軌增益根軌跡，我們把以非開環(huán)根軌增益 作為可變作為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做參數(shù)根軌跡參數(shù)繪制的根軌跡叫做參數(shù)根軌跡(或廣義根或廣義根軌跡軌跡)。rKrK

25、4.3 參量根軌跡參量根軌跡設(shè)系統(tǒng)根軌跡方程為設(shè)系統(tǒng)根軌跡方程為1)()(sHsG( )10( )K P sQ s1)()(sQsPK( )( )( )( )K P sG s H sQ s 或或 為等效開環(huán)傳送函數(shù)。為等效開環(huán)傳送函數(shù)。經(jīng)整理可變換為經(jīng)整理可變換為稱稱 根據(jù)前述繪制根軌跡的規(guī)那么，由等效開環(huán)傳送函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)的分布情根據(jù)前述繪制根軌跡的規(guī)那么，由等效開環(huán)傳送函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)的分布情況就可繪制參量況就可繪制參量K=0的參量根軌跡圖。的參量根軌跡圖。 留意：經(jīng)整理后，當(dāng)系統(tǒng)的等效開環(huán)傳送函數(shù)的留意：經(jīng)整理后，當(dāng)系統(tǒng)的等效開環(huán)傳送函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)小于零點(diǎn)數(shù)時，即極點(diǎn)數(shù)小于零點(diǎn)數(shù)時，即n

26、m。與。與nm情況類情況類似，這時可以為有似，這時可以為有m-n條根軌跡起始于條根軌跡起始于S平面的無平面的無窮遠(yuǎn)處無限極點(diǎn)。窮遠(yuǎn)處無限極點(diǎn)。例例4-10 4-10 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)試?yán)L制系統(tǒng)變化時的根軌跡圖。變化時的根軌跡圖。整理得：整理得：) 14)(1(1)()(ssKssHsG解解 系統(tǒng)的特征方程式為系統(tǒng)的特征方程式為 01) 14)(1(ssKs22(41)1041K ssss 等效開環(huán)傳送函數(shù)為等效開環(huán)傳送函數(shù)為2222(41)(0.25)( )( )410.250.25K ssK ssG s H sssss 開環(huán)零、極點(diǎn)為開環(huán)零、極點(diǎn)為實(shí)軸上

27、的根軌跡段為實(shí)軸上的根軌跡段為z3z3-段。段。根軌跡的出射角和入射角根軌跡的出射角和入射角根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征方程為由根軌跡繪制規(guī)那么作該系統(tǒng)的根軌跡圖：由根軌跡繪制規(guī)那么作該系統(tǒng)的根軌跡圖： 48.142114.484,3K 433. 03,.2 4.4 零度根軌跡零度根軌跡正反響系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為正反響系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 1- G(s) H(s) = 0 1- G(s) H(s) = 0 根軌跡方程為根軌跡方程為 G(s) H(s) = 1 G(s) H(s) = 1 其幅值方程與負(fù)反響系一致樣，而相角方程那么為其幅值方程與負(fù)反響系一致樣

28、，而相角方程那么為11()()2(0,1,2.)mnijijszspkk 由于相角條件常規(guī)根軌跡的不同為由于相角條件常規(guī)根軌跡的不同為 ，故稱之，故稱之為零度根軌跡。為零度根軌跡。k20雖然控制系統(tǒng)均采用負(fù)反響以使系統(tǒng)正常任務(wù)，但雖然控制系統(tǒng)均采用負(fù)反響以使系統(tǒng)正常任務(wù)，但對于復(fù)雜系統(tǒng)能夠會出現(xiàn)部分正反響，有時是控制對于復(fù)雜系統(tǒng)能夠會出現(xiàn)部分正反響，有時是控制對象本身的特性，有時是為滿足某種性能而附加的。對象本身的特性，有時是為滿足某種性能而附加的。實(shí)軸上根軌跡區(qū)段右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為偶數(shù)。實(shí)軸上根軌跡區(qū)段右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為偶數(shù)。根軌跡的漸近線與實(shí)軸的夾角為根軌跡的漸近線與實(shí)

29、軸的夾角為根軌跡的出射角和入射角的計算公式為根軌跡的出射角和入射角的計算公式為 在繪制根零度根軌跡的規(guī)那么中，不同于負(fù)反響系統(tǒng)在繪制根零度根軌跡的規(guī)那么中，不同于負(fù)反響系統(tǒng)的有以下幾點(diǎn)：的有以下幾點(diǎn)：2(0,1,2,.)kknm)()(11nljjjlmiillppzp)()(11njjlmliiillpzzz例例4-11 4-11 知單位負(fù)反響系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為知單位負(fù)反響系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。解解 將開環(huán)傳送函數(shù)改寫成零、極點(diǎn)方式將開環(huán)傳送函數(shù)改寫成零、極點(diǎn)方式，式中，式中 除具有正反響構(gòu)造的系統(tǒng)之外，有些非最小相位系統(tǒng)除具有正反響構(gòu)造的系統(tǒng)之外

30、，有些非最小相位系統(tǒng)雖是負(fù)反響構(gòu)造，但其開環(huán)傳送函數(shù)的分子或分母多項(xiàng)式雖是負(fù)反響構(gòu)造，但其開環(huán)傳送函數(shù)的分子或分母多項(xiàng)式中，中， 的最高次冪的系數(shù)為負(fù)，因此系統(tǒng)具有正反響性質(zhì)。的最高次冪的系數(shù)為負(fù)，因此系統(tǒng)具有正反響性質(zhì)。因此要用繪制零度根軌跡的規(guī)那么來作根軌跡圖。因此要用繪制零度根軌跡的規(guī)那么來作根軌跡圖。) 1()5 . 01 ()()(1sssKsHsG10.5(2)(2)( )( )(1)(1)rK sKsG s H ss ss s15 . 0 KKr 滿足零度根軌跡繪制條件。滿足零度根軌跡繪制條件。 圖4-19 例4-11根軌跡 4.5 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能用根軌跡法分析系統(tǒng)性能4

31、.5.1 知根軌跡增益確定閉環(huán)極點(diǎn)知根軌跡增益確定閉環(huán)極點(diǎn)4.5.2 知系統(tǒng)的性能目的，確定閉環(huán)極知系統(tǒng)的性能目的，確定閉環(huán)極 點(diǎn)和點(diǎn)和4.5.3 添加開環(huán)零、極點(diǎn)對系統(tǒng)性能的影響添加開環(huán)零、極點(diǎn)對系統(tǒng)性能的影響4.5.1 知根軌跡增益知根軌跡增益Kr確定閉環(huán)極點(diǎn)確定閉環(huán)極點(diǎn) 閉環(huán)系統(tǒng)的性能由閉環(huán)傳送函數(shù)的零、極點(diǎn)來決議，系閉環(huán)系統(tǒng)的性能由閉環(huán)傳送函數(shù)的零、極點(diǎn)來決議，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)可經(jīng)過根軌跡圖來確定，而閉環(huán)零點(diǎn)為前向通統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)可經(jīng)過根軌跡圖來確定，而閉環(huán)零點(diǎn)為前向通道傳送函數(shù)道傳送函數(shù)G(S)G(S)的零點(diǎn)和反響通道傳送函數(shù)的零點(diǎn)和反響通道傳送函數(shù)H(s)H(s)的極點(diǎn)組成。的極點(diǎn)組成

32、。 由控制系統(tǒng)的根軌跡圖可以確定根軌跡增益與控制系統(tǒng)由控制系統(tǒng)的根軌跡圖可以確定根軌跡增益與控制系統(tǒng)的性能的關(guān)系。的性能的關(guān)系。1 1 穩(wěn)定性及穩(wěn)定條件穩(wěn)定性及穩(wěn)定條件 由根軌跡圖可以確定根軌跡都由根軌跡圖可以確定根軌跡都位于位于s s左平面時增益左平面時增益KrKr的取值范圍。的取值范圍。2 2運(yùn)動方式運(yùn)動方式 由根軌跡圖可以確定系統(tǒng)呼應(yīng)為單調(diào)變由根軌跡圖可以確定系統(tǒng)呼應(yīng)為單調(diào)變化或衰減振蕩方式時的化或衰減振蕩方式時的KrKr數(shù)值范圍。數(shù)值范圍。3 3暫態(tài)性能目的暫態(tài)性能目的 可由根軌跡確定的主導(dǎo)極點(diǎn)來估算?？捎筛壽E確定的主導(dǎo)極點(diǎn)來估算。 例例-12 -12 知系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為知系統(tǒng)的

33、開環(huán)傳送函數(shù)為( )( )(1)(2)rKG s H ss ss試采用根軌跡法分析：試采用根軌跡法分析： 1 1系統(tǒng)穩(wěn)定性時系統(tǒng)穩(wěn)定性時KrKr的取值范圍。的取值范圍。2 2系統(tǒng)呼應(yīng)為衰減振蕩方式時系統(tǒng)呼應(yīng)為衰減振蕩方式時KrKr的取值范圍。的取值范圍。3 3試估算試估算Kr =1Kr =1時系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時間。時系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時間。 解解 繪制系統(tǒng)根軌跡如圖，由圖知：繪制系統(tǒng)根軌跡如圖，由圖知： 1 1系統(tǒng)穩(wěn)定性時：系統(tǒng)穩(wěn)定性時：0 Kr 60 Kr 62 2系統(tǒng)呼應(yīng)為衰減振蕩方式時系統(tǒng)呼應(yīng)為衰減振蕩方式時: : 3 3試估算時系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時試估算時系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時間。間。

34、 0.3586rK 3因因Kr=1處于處于0.358Kr6范圍，所以系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)范圍，所以系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為一個實(shí)數(shù)極點(diǎn)和一對復(fù)數(shù)極點(diǎn)。根據(jù)幅值方程求出負(fù)實(shí)軸為一個實(shí)數(shù)極點(diǎn)和一對復(fù)數(shù)極點(diǎn)。根據(jù)幅值方程求出負(fù)實(shí)軸實(shí)驗(yàn)點(diǎn)對應(yīng)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)對應(yīng)Kr的值，最終可找到的值，最終可找到Kr=1時系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)時系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn): 然后，根據(jù)閉環(huán)特征方程和長除法，可求得另兩個極點(diǎn)然后，根據(jù)閉環(huán)特征方程和長除法，可求得另兩個極點(diǎn)是一對主導(dǎo)極點(diǎn)。所以系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為是一對主導(dǎo)極點(diǎn)。所以系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為 2210.43( )(2.325)(0.6750.43)0.6750.43ssssss那么那么 0.656,n0

35、.514 所以系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時間為所以系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時間為 15.2%,8.911.9psts325. 23s1,20.3380.56sj 4.5.2 知系統(tǒng)的性能目的，確定閉環(huán)極點(diǎn)和知系統(tǒng)的性能目的，確定閉環(huán)極點(diǎn)和 采用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能，有時也需求根據(jù)對系統(tǒng)采用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能，有時也需求根據(jù)對系統(tǒng)的性能目的要求，確定閉環(huán)極點(diǎn)的位置和對應(yīng)的的性能目的要求，確定閉環(huán)極點(diǎn)的位置和對應(yīng)的KrKr值，使得值，使得系統(tǒng)的性能滿足要求。系統(tǒng)的性能滿足要求。例例4-13 4-13 知系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為知系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為 根據(jù)性能目的要求，根據(jù)性能目的要求，=0.5=0.5，試確定滿足條件的閉環(huán)極，試確定滿足條件的閉環(huán)極點(diǎn)和對應(yīng)的點(diǎn)和對應(yīng)的KrKr。( )( )(1)(2)rKG s H ss ss解解 系統(tǒng)的根軌跡圖如下圖。系統(tǒng)的根軌跡圖如下圖。 1cos60 在根軌跡圖上作在根軌跡圖上作600600的射線。從圖的射線。從圖上可確定該線和根軌跡的交點(diǎn)坐標(biāo)：上可確定該線和根軌跡的交點(diǎn)坐標(biāo)：58. 033. 02.,1js3312130.33 22.34jjspss 333122.34 1.34 0.341.066rKsss2258. 0)33. 0()34. 2(066. 1)(sss那么有那么有 故系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為故