三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

1、三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用2014-2015南春中學(xué) 103班組長(zhǎng):李爍瀚 組員:周約翰 馮文二 蔡岱翰指導(dǎo)老師:李錦純課題研究的開展課題研究:探究三角函數(shù)模型在電腦繪圖中的應(yīng)用。研究目的:開闊視野，增長(zhǎng)見識(shí)，提高我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使我們能更好地學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。研究過程:1.準(zhǔn)備階段:從各種渠道收集相關(guān)資料2.實(shí)施階段: 確定研究?jī)?nèi)容 從互聯(lián)網(wǎng)和圖書館查閱相關(guān)資料 小組內(nèi)交流討論成果 編寫相關(guān)程序3.總結(jié)階段:由組長(zhǎng)整理和匯總相關(guān)資料和成果并寫成報(bào)告。研究成果:三角函數(shù)學(xué)的發(fā)展，由起源迄今差不多經(jīng)歷了三四千年之久，在古代，由于古代天文學(xué)的需要，為了計(jì)算某些天體的運(yùn)行行程問題，需要解一些球面三角形，在

2、解球面三角形時(shí)，往往把解球面三角形的問題歸結(jié)成解平面三角形，這些問題的積累便形成了所謂古代球面三角學(xué)古代平面三角學(xué)；雖然古代球面三角學(xué)的發(fā)展早于古代平面三角學(xué)，但古代平面三角學(xué)卻是古代球面三角學(xué)的發(fā)展基礎(chǔ)。三角函數(shù)在數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)里的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們本質(zhì)上是任意角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。由于三角函數(shù)具有周期性，所以并不具有單射函數(shù)意義上的反函數(shù)。三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有重要的應(yīng)用，在物理學(xué)中也是常用的工具。由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)。 在實(shí)際生活中，有許多周期現(xiàn)象可以用三角函數(shù)來模擬，如物理中簡(jiǎn)諧振動(dòng)、交流電中的電流、潮汐等，都可以建立三角函數(shù)

3、的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題；很多最值問題都可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來解決，如天氣預(yù)報(bào)、建筑設(shè)計(jì)、航海、測(cè)量、國(guó)防中都能找到神奇的三角函數(shù)的影子。因而三角函數(shù)解決實(shí)際問題應(yīng)用極廣、滲透能力很強(qiáng)。 在電腦程序的開發(fā)中，通常需要圖像的繪制。通常情況下，可以在開發(fā)環(huán)境下使用直線、形狀等圖形控件直接繪圖。具有占用系統(tǒng)資源少、運(yùn)行速度快、代碼簡(jiǎn)潔、可以在開發(fā)界面直接瀏覽完成圖像等特點(diǎn)。然而，控件繪圖法無法進(jìn)行動(dòng)態(tài)繪圖，但利用三角函數(shù)創(chuàng)作曲線、著色、模型、動(dòng)畫可以產(chǎn)生不錯(cuò)的效果。 下面舉一實(shí)例：簡(jiǎn)單曲線畫法最簡(jiǎn)單曲線當(dāng)屬圓形用javascript語句可表示成：moveTo(a,0);for(i=0;i&

4、lt;n;i+) x=a*Math.cos(i*2*Math.PI/n);y=b*Math.sin(i*2*Math.PI/n);lineTo(x,y);這里a=b,為圓形，否則ab為橢圓。如果把y=b*Math.sin(i*2*Math.PI/n)改成y=b*Math.sin(i*4*Math.PI/n)，則圓形變成8字形。如果寫成x=a*Math.cos(i*m*Math.PI/n);y=b*Math.sin(i*(n) *Math.PI/n);其中m不能為偶數(shù)，n=m+1,或n=m-1。則圖形為： 圖1 例子中，更改m、n變量產(chǎn)生的結(jié)果完成一個(gè)圖形后，對(duì)這個(gè)函數(shù)圖像進(jìn)行修飾，對(duì)函數(shù)圖像進(jìn)

5、行修飾的過程中，應(yīng)用加修飾、乘修飾和嵌入修飾。通過利用正弦余弦的嵌入方式只改變b2，在曲線的交匯點(diǎn)處產(chǎn)生偏移，防止重合，產(chǎn)生藤編效果。 圖2 通過加修飾生成的曲線 圖3通過乘修飾生成的曲線圖4 利用嵌入修飾生成的花籃圖5藤編效果曲線著色使用周期漸變效果在具體操作中，我們對(duì)生成的圖像進(jìn)行著色，利用三角函數(shù)模型可以使著色產(chǎn)生漸變效果。使用三色漸變函數(shù)模型可以直接濾除曲線小于0部分，突出紅、綠和藍(lán)三顏色，具體程序編寫如下：Math.cos(t*p/n) <0?r=0:r=255*Math.cos(t*p/n);Math.cos(t+c)*p/n) <0?g=0:g=255*Math.co

6、s(t+c)*p/n);Math.cos(t+2*c)*p/n) <0?b=0: b=255*Math.cos(t+2*c)*p/n)；同時(shí)使用更細(xì)分一些的組合漸變，可以組合成紅、黃、綠、青、藍(lán)、紫色：Math.cos(t*p/n)+0.5<0?r=0:(Math.cos(t*p/n)+0.5>1?r=255:r=255*(0.5+Math.cos(t*p/n);Math.cos(t+c)*p/n)+0.5<0?g=0:(Math.cos(t+c)*p/n)+0.5>1?g=255:g=255*(0.5+Math.cos(t+c)*p/n);Math.cos(t+

7、2*c)*p/n)+0.5<0?b=0:(Math.cos(t+2*c)*p/n)+0.5>1?b=255:b=255*(0.5+Math.cos(t+2*c)*p/n);這里c=循環(huán)周期除以3。三色漸變著色曲線 組合漸變著色曲線 圖6漸變著色深度曲線有時(shí)動(dòng)畫涉及層深變化，采用周期漸變著色能增加透視效果周期漸變效果見圖5有時(shí)曲線涉及交叉，為了使交叉處著色一致，需要uv方向漸變著色。u向漸變著色也可理解成環(huán)形漸變著色，v向漸變著色可以理解成軸向漸變著色。圖7 uv漸變著色效果 利用鼠標(biāo)坐標(biāo)設(shè)計(jì)以下程序，使程序生成的模型物體-魚跟隨鼠標(biāo)移動(dòng)。程序采用Flash的ActionScript

8、編寫。SWF(backgroundColor=0x00eeff,width=640,height=480)var sp:Sprite=addChild(new Sprite() as Sprite;sp.y=-200,sp.x=320;var px:Array=0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,pp:Array=;var pz:Array=0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,yur:Array=;var x0:Array=,;var z0:Array=,;var y0:Array=,;var r:Array=1,9,15

9、,19.5,22,23,23.5,23,22,19.5,16.5,13,10,9,10,12,14,16;var r1:Array=0,8,12,14.5,16,17,17.5,17,15.5,13,10,7.5,5,3,1,0.2,0,0;for (i=0; i<281; i+) ppi=new MovieClip();sp.addChild(ppi);var f:Number=1800,i:uint,m:int,t:int,k:int,h:int,j:int,c1:uint,c2:uint,c3:uint,r2:Number;var mc:Sprite=new Sprite();va

10、r box:Matrix=new Matrix();box.createGradientBox(20,10,1.57,240,0);mc.graphics.beginGradientFill("linear",0xddaaaa,0x882211,0xddaaaa,1,1,1,150,200,250,box,"reflect");mc.graphics.drawRect(280,0,120,400);for (i=0; i<36; i+) for (j=0; j<16; j+) c1=255<<16|Math.abs(j-7.5)*

11、20+20<<8|40;c2=255<<16|Math.abs(j-7.5)*20+60<<8|Math.abs(j-7.5)*20+30;c3=255<<16|Math.abs(j-7.5)*20<<8|0;r2=(5-Math.cos(i*Math.PI/40)/8;box.createGradientBox(56,40,0,270-i*9*r2,j*25-20+(i%2)*12.5);mc.graphics.beginGradientFill("radial",c3,c1,c2,1,1,1,70,120,20

12、0,box);mc.graphics.moveTo(275-i*9*r2,j*25+(i%2)*12.5);mc.graphics.lineTo(315-i*9*r2,j*25-14+(i%2)*12.5);mc.graphics.curveTo(315+(20-i*9)*r2,j*25+(i%2)*12.5,315-i*9*r2,14+j*25+i%2*12.5);mc.graphics.lineTo(275-i*9*r2,j*25+(i%2)*12.5);mc.graphics.endFill();for (i=0; i<2; i+) box.createGradientBox(20

13、0,400,0,-30,i*400-200);mc.graphics.beginGradientFill("radial",0xffddaa,0xff6633,0xff2200,1,1,1,50,150,205,box);mc.graphics.moveTo(0,i*200);mc.graphics.lineTo(60+i*10,i*200);mc.graphics.curveTo(125,110+i*180,70-i*10,200+i*200);mc.graphics.lineTo(0,200+i*200);mc.graphics.endFill();for (i=0;

14、i<2; i+) box.createGradientBox(20,40,0,45,i*200+80);mc.graphics.beginGradientFill("radial",0,0xbbbbbb,0x555555,1,1,1,50,100,255,box);mc.graphics.drawEllipse(45,80+i*200,20,40);mc.graphics.endFill();for (i=0; i<2; i+) mc.graphics.lineStyle(3,0xee6622,0.6);mc.graphics.moveTo(65+i*20,i*

15、250+50);mc.graphics.curveTo(85,60+i*280,85-i*20,100+i*250);var bmp1:BitmapData=new BitmapData(400,400);bmp1.draw(mc);addEventListener(Event.ENTER_FRAME,fff);function fff(e:Event) pz0+=(200*f/sp.mouseY-f-pz0)/15;/高度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成深度坐標(biāo)px0+=(sp.mouseX*(f+pz0)/f-px0)/15;yur0=Math.atan2(pz0-200*f/sp.mouseY+f,px0-s

16、p.mouseX*(f+pz0)/f);for (i=1; i<18; i+) i<=4?yuri=yur0:yuri=Math.atan2(pzi-pzi-1,pxi-pxi-1);pxi=pxi-1+10*Math.cos(yuri-1);pzi=pzi-1+10*Math.sin(yuri-1);for (i=0; i<18; i+) for (m=0; m<17; m+) z0im=pzi-r1i*Math.sin(m*Math.PI/8)*Math.cos(yuri);x0im=(pxi+r1i*Math.sin(m*Math.PI/8)*Math.sin(y

17、uri)*f/(f+z0im);y0im=(ri*Math.cos(m*Math.PI/8)+200)*f/(f+z0im);for (m=0; m<2; m+) z018m=z042+m*12+10*Math.sin(yur4-h*Math.PI/20*Math.pow(-1,m);x018m=x042+m*12+10*Math.cos(yur4-h*Math.PI/20*Math.pow(-1,m)*f/(f+z018m);y018m=217*f/(f+z018m);z018m+2=z043+m*10+5*Math.sin(yur4-h*Math.PI/20*Math.pow(-1,

18、m);x018m+2=x043+m*10+5*Math.cos(yur4-h*Math.PI/20*Math.pow(-1,m)*f/(f+z018m+2);y018m+2=207*f/(f+z018m+2);z018m+4=z081+m*14+10*Math.sin(yur8-(9-h)*Math.PI/20*Math.pow(-1,m);x018m+4=x081+m*14+10*Math.cos(yur8-(9-h)*Math.PI/20*Math.pow(-1,m)*f/(f+z018m+4);y018m+4=221*f/(f+z018m+4);z018m+6=z082+m*12+5*M

19、ath.sin(yur8-(9-h)*Math.PI/20*Math.pow(-1,m);x018m+6=x082+m*12+5*Math.cos(yur8-(9-h)*Math.PI/20*Math.pow(-1,m)*f/(f+z018m+6);y018m+6=214*f/(f+z018m+6);t=0;for (i=0; i<17; i+) /魚體for (m=0; m<16; m+) var vArr:Vector.<Number>=Vector.<Number>(x0im,y0im,x0im+1,y0im+1,x0i+1m+1,y0i+1m+1,x

20、0i+1m,y0i+1m);var uArr:Vector.<Number>=Vector.<Number>(i/17,m/16,i/17,(m+1)/16,(i+1)/17,(m+1)/16,(i+1)/17,m/16);ppt.Z=z0im+z0im+1+z0i+1m+1+z0i+1m;fce(t,vArr,uArr,"negative");t+;for (i=5; i<9; i+) /背鰭var y2:Number=(186+i-ri+1)*f/(f+z0i+17),y3:Number=(187+i-ri+2)*f/(f+z0i+27);

21、vArr=Vector.<Number>(x0i8,y0i8,x0i+18,y2,x0i+28,y3,x0i+18,y0i+18);uArr=Vector.<Number>(0.82,(i+4)/17,1,(i+4)/17,1,(i+6)/17,0.82,(i+6)/17);ppt.Z=z0i8+z0i+18+z0i+28+z0i+18;fce(t,vArr,uArr,"none");t+;for (i=0; i<2; i+) vArr=Vector.<Number>(x042+i%2*12,y042+i%2*12,x043+i%2

22、*10,y043+i%2*10,x018i+2,y018i+2,x018i,y018i);uArr=Vector.<Number>(0.82,0.02,0.82,0.2,1,0.2,0.85,0);ppt.Z=z043+i%2*10+z042+i%2*12+z018i+z018i+2;fce(t,vArr,uArr,"none");t+;for (i=4; i<6; i+) vArr=Vector.<Number>(x081+i%2*14,y081+i%2*14,x082+i%2*12,y082+i%2*12,x018i+2,y018i+2,x018i,y018i);uArr=Vector.<Number>(0.82,0.02,0.82,0.2,1,0.2,0.85,0);ppt.Z=z082+i%2*12+z081+i%2*14+z018i+z018i+2;fce(t,vArr,uArr,"none");t+;var x4:Number=x0110*0.4+x0120*0.6,y4:Number=y0110*0.4+y0120*0.6+15;var x1:Number=x0110*0.8+x0120*0.