2013年廣東高考試卷(理科數(shù)學)解析版

1、絕密啟用前試卷類型：A2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷） 數(shù)學（理科）一、 選擇題：本大題共8小題，每題5分滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意的。1.設集合，。則A0 B.0,2 C.-2,0 D.-2,0,2解析：， 選D2.定義域為R的四個函數(shù)中，奇函數(shù)的個數(shù)是A.4 B.3 C.2 D.1解析：四個函數(shù)中，奇函數(shù)有兩個。選C3.若復數(shù)z滿足，則在復平面內(nèi)，z對應的點的坐標是A.(2,4) B.(2,-4) C.(4,-2) D.(4,2)解析： 選C4.已知離散型隨機變量X的分布列為X123P則X的數(shù)學期望E(X)=A. B.2 C. D.3解析：E(

2、X)= 選A5.某四棱臺的三視圖如圖1所示，則該四棱臺的體積是 圖1A. 4 B. C. D. 6 解析：顯然棱臺的上下底的面積分別為，故其體積為 選B6.設m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是A.若，則mn； B. 若，則C. 若，則； D. 若，則解析：選D ，平面內(nèi)存在直線，故其它選項均錯。7.已知中心在原點的雙曲線C的右焦點F(3,0)，離心率等于，則C的方程是A. B. C. D. 解析：由題意得 故C的方程是：B. 8.設整數(shù)，集合，令集合且三條件恰有一個成立，若和都在S中，則下列選項正確的是A. B. C. D. 解析：若，和都在S，且，且 故若，和都在S

3、，且，且 故 選B二、填空題：本大題共7小題， 考生作答6小題，每小題5分，滿分30分.（一）必做題（9-13題）9.不等式的解集為 解析：由所以原不等式的解集為或填（-2,1）10.若曲線在點（1，k）處的切線平行于x軸，則k= 解析： 解得11.執(zhí)行如圖2所示的程序框圖，若輸入n的值為4，則輸出S的值為 解析： 7 12.在等差數(shù)列an中，已知a3+a8=10，則3a5+a7= 解析：3a5+a7=a5+a4+a6+a7=(a4+a7)+(a5+a6)=2(a3+a8)= 20 13.給定區(qū)域D：，令點集是在D上取得最大值或最小值的點，則中的點共確定 條不同的直線。解析：目標函數(shù)的最大值點

4、有五個點都在同一直線上，最小值點為.故中的點共確定不同直線的條數(shù)為 6 .（二）選做題（14-15題，考生只能從中選做一題）14.（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知曲線C的參數(shù)方程為，C在點（1,1）處切線為，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則的極坐標方程為 。解析：曲線C為圓C：，在點A（1,1）處切線為的斜率為處切線的直角坐標方程為故的極坐標方程為或或畫出圖形解三角形（略）15.（幾何證明選講選做題）如圖3，AB是圓O的直徑，點C在圓O上，延長BC到D使BC=CD過C作圓O的切線交AD于E若AB=6，ED=2，則BC= 。解析：BC=DC，ACB=ACD，AC=ACACBAC

5、DAD=AB=6，BAC=DACCE切圓O于C，ABC=ACE. AEC=ACB=90°在RtACD中 CD2=AD×ED=12 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答必須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。16.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求的值；（2）若，求.解：（1）(2) ，17. （本小題滿分12分）某車間共有12名工人，隨機抽取6名他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖4所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù).（1）根據(jù)莖葉圖計算樣本均值；（2）日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人，根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？（3）從該車間12名工人中

6、，任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率。解：（1）樣本的均值為（2）由莖葉圖知，抽取的6名工人中有2名為優(yōu)秀工人，由此推斷該車間12名工人中優(yōu)秀工人有12×=4（名）.（3）從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率18. （本小題滿分14分）如圖5，在等腰直角三角形ABC中，A=90°，BC=6，D、E分別是ACAB上的點，CD=BE=，O是BC的中點，將ADE折起得到如圖6所示的四棱錐，其中（1）證明平面BCDE；（2）求二面角的平面角的余弦值。解：(1)連結(jié)OD、OE。 BC=6， BO=CO=3 由余弦定理得在等腰直角三角形ABC中，A=90°

7、，BC=6， ， (2)設G為AC的中點，連結(jié)，則，且 ABBC， OGAC. ， 為二面角的平面角在Rt中，為所求二面角的平面角的余弦值。19. （本小題滿分14分）設數(shù)列的前n項和為，已知.（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）證明：對一切正整數(shù)n，有.解：（1）令，得把代入，解得（2）由，得-化得。由（1）可得，所以成為首項為，公差為1的等差數(shù)列，于是有即（3）當時，顯然成立；當時，綜合以上，對一切正整數(shù)n，有.20. （本小題滿分14分）已知拋物線C的頂點為原點，其焦點 到直線的距離為，設P為直線上的點過點P作拋物線C的兩條切線PA、PB，其中A、B為切點.（1）求拋物線C的方程；（2）當點直線上的定點時，求直線AB的方程；（3）當點P在直線上移動時，求的最小值.解：（1）由題意，得， 所以，拋物線C的方程為（2）由，得設，切線，即同理切線，由得上述表明直線過兩點 ， 故直線AB的方程為：（3）由 消去化得 ， 當，即時，取最小值為.21. （本小題滿分14分）設函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)在的最大值M.解：（1）當時，令，得當時，；當時，；當時，；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、；單調(diào)遞減區(qū)間為（2）， ， 所