固體物理習題解答ppt課件

1、1.1 何謂布喇菲格子？試畫出何謂布喇菲格子？試畫出NaCl晶體的結(jié)點所構(gòu)成的布喇菲格子。晶體的結(jié)點所構(gòu)成的布喇菲格子。答：所謂布喇菲格子是指晶體由完全一樣的原子組成，原子與晶格的格點相重合，而且每個格點周圍的情況都一樣。答：所謂布喇菲格子是指晶體由完全一樣的原子組成，原子與晶格的格點相重合，而且每個格點周圍的情況都一樣。Bravais格格子子氯化鈉構(gòu)造：面心立方氯化鈉構(gòu)造：面心立方Na+布氏格子和面心立方布氏格子和面心立方Cl-的布氏格子套構(gòu)而成的復式格子。的布氏格子套構(gòu)而成的復式格子。1;.1.2 為何金剛石構(gòu)造是復式格子？為何金剛石構(gòu)造是復式格子？答：金剛石晶胞答：金剛石晶胞位于立方體體

2、內(nèi)原子和立方體角或面心原子價鍵的取向各不一樣，所以是復式格子位于立方體體內(nèi)原子和立方體角或面心原子價鍵的取向各不一樣，所以是復式格子這種復式格子實踐上是兩個面心立方格子套構(gòu)而成的。這種復式格子實踐上是兩個面心立方格子套構(gòu)而成的。2;.1.3 對于六角密堆積構(gòu)造，試證明：對于六角密堆積構(gòu)造，試證明： 。1/28( )1.6333ca底面原子及與體心原子之間均嚴密接觸底面原子及與體心原子之間均嚴密接觸222323caa1/281.6333ca那么紅線的長度為那么紅線的長度為33ya2222cyac/2aac/2aa假設假設 ，那么可以為是由原子密排面所組成，但這些平面之間是疏松堆積的。，那么可以為

3、是由原子密排面所組成，但這些平面之間是疏松堆積的。1.633ca3;.1.4 金屬金屬Na在在273K因馬氏體相變從體心立方轉(zhuǎn)變?yōu)榱敲芏逊e構(gòu)造，假定相變時金屬的密度維持不變，知立方相的晶格常數(shù)因馬氏體相變從體心立方轉(zhuǎn)變?yōu)榱敲芏逊e構(gòu)造，假定相變時金屬的密度維持不變，知立方相的晶格常數(shù)ac =0.423nm，設六角密堆積構(gòu)造相的設六角密堆積構(gòu)造相的c/a維持理想值，試求其晶格常數(shù)。維持理想值，試求其晶格常數(shù)。 解：體心立方每個晶胞包含解：體心立方每個晶胞包含2個原子，一個原子所占的體積為個原子，一個原子所占的體積為單位體積內(nèi)原子數(shù)即密度為單位體積內(nèi)原子數(shù)即密度為23ccaV 六角密堆積每個晶胞

4、包含六角密堆積每個晶胞包含6個原子，一個原子所占的體積為個原子，一個原子所占的體積為1Vc即：即：32122223843436/323aaacacaaVs由于密度不變，所以由于密度不變，所以scVV1133222/aac16/20.377caanmnmacs615. 0633. 14;.1.5 如將等體積的剛球分別排成簡立方、體心立方、面心立方、六角密積以及金剛石構(gòu)造，設如將等體積的剛球分別排成簡立方、體心立方、面心立方、六角密積以及金剛石構(gòu)造，設x表示剛球體積與總體積之比，試針對不同表示剛球體積與總體積之比，試針對不同的構(gòu)造求的構(gòu)造求x 。解：理想晶體是由剛性原子球堆積而成，一個晶胞中剛性原

5、子球占據(jù)的體積與晶胞體積的比值稱為晶體的致密度，即題中的解：理想晶體是由剛性原子球堆積而成，一個晶胞中剛性原子球占據(jù)的體積與晶胞體積的比值稱為晶體的致密度，即題中的x設設n為一個晶胞中的剛性原子球數(shù)，為一個晶胞中的剛性原子球數(shù)，r表示剛性原子球半徑，表示剛性原子球半徑，V表示晶胞體積，那么致密度為表示晶胞體積，那么致密度為343nrxV5;.(1) 簡單立方簡單立方恣意一個原子球有恣意一個原子球有6個最近鄰，假設原子以剛性球堆積，那么有個最近鄰，假設原子以剛性球堆積，那么有a334( )326axa32 ,ar Va晶胞內(nèi)包含一個原子，所以有：晶胞內(nèi)包含一個原子，所以有：恣意一個原子球有恣意一

6、個原子球有8個最近鄰，假設原子以剛性球堆積，那么體心原子與處在個最近鄰，假設原子以剛性球堆積，那么體心原子與處在8個頂角位個頂角位置處的原子球相切，因此，對角線長度為置處的原子球相切，因此，對角線長度為(2) 體心立方體心立方a34ar晶胞體積為晶胞體積為3Va34ra33432()3348axa晶胞內(nèi)包含晶胞內(nèi)包含2個原子，所以有：個原子，所以有：6;.(3) 面心立方面心立方(4) 六角密積六角密積a恣意一個原子球有恣意一個原子球有12個最近鄰，假設原子以剛性球堆積，那么面心原子與面角處個最近鄰，假設原子以剛性球堆積，那么面心原子與面角處4個原子球個原子球相切，因此，面對角線長度為相切，因

7、此，面對角線長度為24ar晶胞體積為晶胞體積為3Va33424()2346axa晶胞內(nèi)包含晶胞內(nèi)包含4個原子，所以有：個原子，所以有：恣意一個原子球有恣意一個原子球有12個最近鄰，假設原子以剛性球堆積，那么面心原子與面上其它個最近鄰，假設原子以剛性球堆積，那么面心原子與面上其它6個原子個原子球相切，因此有球相切，因此有2ar晶胞體積晶胞體積2213 3(6sin60 )22oVcaca 由第由第1題知題知82433car晶胞內(nèi)包含晶胞內(nèi)包含6個原子，所以有：個原子，所以有：3246( )23263 32axca7;.(5) 金剛石構(gòu)造金剛石構(gòu)造恣意一個原子球有恣意一個原子球有4個最近鄰，假設原

8、子以剛性球堆積，那么空間對角線四分之一處的原子個最近鄰，假設原子以剛性球堆積，那么空間對角線四分之一處的原子與三個面上的面心原子球及頂角處原子球相切，因此有與三個面上的面心原子球及頂角處原子球相切，因此有38ar晶胞體積為晶胞體積為3Va33438()33816axa晶胞內(nèi)包含晶胞內(nèi)包含8個原子，所以有：個原子，所以有：簡立方、體心立方、面心立方、六角密積以及金剛石構(gòu)造的致密度依次為簡立方、體心立方、面心立方、六角密積以及金剛石構(gòu)造的致密度依次為63826263168;.1.61aai 2aaj 3()2aaijk 基矢為基矢為的晶體為何種構(gòu)造？的晶體為何種構(gòu)造？方法方法1：先計算出原胞體積：

9、先計算出原胞體積31231()2Vaaaa 由原胞體積可推斷為體心構(gòu)造由原胞體積可推斷為體心構(gòu)造方法方法2：由知的三個基矢構(gòu)造三個新的基矢：由知的三個基矢構(gòu)造三個新的基矢1312323123()2()2()2aaaaijkaaaaijkaaaaaijk 由此可推斷為體心構(gòu)造由此可推斷為體心構(gòu)造9;.1.7、1.8、1.9、1.10、1.12和和1.13見課件見課件1.11 知三斜晶系的晶體中，三個基矢為知三斜晶系的晶體中，三個基矢為 ， 和和 , 現(xiàn)測知該晶體的某一晶面法線與基矢的夾角依次為現(xiàn)測知該晶體的某一晶面法線與基矢的夾角依次為、和和，試求該晶面的面指數(shù)，試求該晶面的面指數(shù)1a 2a 3

10、a 332211coscoscoshadhadhaddahdahdahcoscoscos332211晶面指數(shù)為晶面指數(shù)為 dadadacoscoscos321)cos,cos,cos(321sss其中其中 是保證是保證 為互質(zhì)數(shù)的因子為互質(zhì)數(shù)的因子,稱為互質(zhì)因子稱為互質(zhì)因子 321,sss321,hhh解：解：最接近原點的晶面在三個基矢上的截距分別為最接近原點的晶面在三個基矢上的截距分別為312123aaahhh、10;.1.14 如下圖，如下圖，B、C兩點是面心立方晶胞上的兩面心，求：兩點是面心立方晶胞上的兩面心，求： 1ABC面的密勒指數(shù)；面的密勒指數(shù)； 2AC晶列的指數(shù)。晶列的指數(shù)。BC

11、Aabc矢量矢量 與矢量與矢量 的叉乘即是的叉乘即是ABC面的法線矢量面的法線矢量BA BC BAOAOB 11()()(2)22abbcabcBCOCOB 211(2)()(3)224aBA BCabcacijk ABC面的密勒指數(shù)為面的密勒指數(shù)為(131)11(2)2aijk111()()()222cabbca ik11;.2AC晶列的指數(shù)晶列的指數(shù)BCAabcACOCOA 11()()(2 )22cababa ijk 所以所以AC晶列的晶列指數(shù)為晶列的晶列指數(shù)為11212;.第二章第二章 習題習題2.1 證明簡單六角布喇菲格子的倒格子仍為簡單六角布喇菲格子，并給出其倒格子的晶格常數(shù)。證明

12、簡單六角布喇菲格子的倒格子仍為簡單六角布喇菲格子，并給出其倒格子的晶格常數(shù)。解：在直角坐標系中，簡單六角布喇菲格子的基矢為：解：在直角坐標系中，簡單六角布喇菲格子的基矢為：zcayaxaaxaa232321相應的倒格子基矢為：相應的倒格子基矢為：zccazaaaaaabyacayacaaaaabyxacayacxacaaaaab22323223322232221233322232123222232121323211322321321容易看出此倒格子為簡單六角布喇菲格子容易看出此倒格子為簡單六角布喇菲格子晶格常數(shù)為：晶格常數(shù)為： 1234 34 3233bbbaac132.2 對正交簡單晶格，假

13、設沿三個基矢方向的周期分別為對正交簡單晶格，假設沿三個基矢方向的周期分別為a、b和和c的，當入射的，當入射X射線方向沿射線方向沿100方向其反復周期為方向其反復周期為a時，試確定在哪些方向時，試確定在哪些方向上會出現(xiàn)衍射極大？什么樣的上會出現(xiàn)衍射極大？什么樣的X射線波長才干察看到極大？射線波長才干察看到極大？ zcbybbxabzcaybaxaa222321321解：解：zchybhxahbhbhbhGh232133221100kk x恣意倒格矢恣意倒格矢因入射因入射X射線方向沿射線方向沿100方向故有方向故有晶體衍射的布里淵表述晶體衍射的布里淵表述212hhkGG312222hxyzhhhk

14、Gkkkabc假定衍射極大出如今假定衍射極大出如今 方向方向(,)xyzkk kk2222231222212()2hhhhGabc140hkkG31202 ()hhhk xxyzabc3120222()hhhkxyzabc212hhkGG22223312122222222()xyzhhhhhhkkkabcabc3120222xyzhhhkkkkabc22222231122222222xhhhhkaabc2223122221xhhhakhabc152223122221xhhhakhabc3222yzhhkkbc所以衍射極大出如今方向所以衍射極大出如今方向22233122222122(,)xyzh

15、hhhhakk kkxyzhabcbc102xhkka102xhkka2223122221()hhhahabc 為察看到衍射極大要求入射波波長滿足為察看到衍射極大要求入射波波長滿足1222312022222()hhhhkaabc162.3 證明：體心立方晶格的倒格子是面心立方證明：體心立方晶格的倒格子是面心立方 面心立方晶格的倒格子是體心立方面心立方晶格的倒格子是體心立方 由倒格子定義由倒格子定義2311232aabaaa3121232aaba aa1231232aabaaa體心立方格子原胞基矢體心立方格子原胞基矢)(2),(2),(2321kjiaakjiaakjiaa倒格子基矢倒格子基矢2

16、3112322()()22aaaabijkijka aa22() ()4aijkijk)(2kja同理同理)(22321132kiaaaaaab32()bija可見由可見由 為基矢構(gòu)成的格子為面心立方格子為基矢構(gòu)成的格子為面心立方格子 321,bbb17面心立方格面心立方格子原胞基矢子原胞基矢123()/2()/2()/2aa jkaa kiaa ij倒格子基矢倒格子基矢2311232aabaaa)(21kjiab同理同理)(22kjiab)(23kjiab可見由可見由 為基矢構(gòu)成的格子為體心立方格子為基矢構(gòu)成的格子為體心立方格子 321,bbb 182.4 證明倒格子原胞體積證明倒格子原胞體

17、積3(2 ) 倒格子基矢倒格子基矢2311232aabaaa3121232aabaaa1231232aaba aa倒格子體積倒格子體積123()bbb 32331123(2 )() () ()aaaaaa 3(2 ) 192.5正格子中晶面指數(shù)為正格子中晶面指數(shù)為 的晶面和倒格矢正交的晶面和倒格矢正交1 2 3hhh（）hK 1 12233hKh bh bh b 其其中中hK 倒格矢倒格矢 是晶面指數(shù)為是晶面指數(shù)為 所對應的晶面族的法線所對應的晶面族的法線1 2 3hhh（）意味著意味著1 2 3h h hK 證明證明3113aaCAhh 1 2 31 12233h h hKh bh bh b

18、 1 2 3311 1223313() ()h h haaKCAh bh bh bhh 311 133130aah bh bhh 2ijijab 1 2 30h h hKCB 所以晶面族與和倒格矢正交所以晶面族與和倒格矢正交1 2 3hhh（）1 2 3h h hK 同理可證同理可證20;.2.6 試導出倒格矢的長度與晶面族面間距間的關(guān)系試導出倒格矢的長度與晶面族面間距間的關(guān)系見課件見課件2.8 試畫出周期為的一維布喇菲格子的第一和第二布里淵區(qū)。試畫出周期為的一維布喇菲格子的第一和第二布里淵區(qū)。2.9 試畫出邊長為的二維正方格子的第一和第二布里淵區(qū)。試畫出邊長為的二維正方格子的第一和第二布里淵

19、區(qū)。21 2.7 假設基矢假設基矢 構(gòu)成簡單正交系構(gòu)成簡單正交系 證明晶面族證明晶面族 的面間距為的面間距為 闡明面指數(shù)簡單的晶面，其面密度比較大，容易解理闡明面指數(shù)簡單的晶面，其面密度比較大，容易解理c,b,a)(hkl2221/ ( )( )( )hkldabc簡單正交系簡單正交系cbakcaj bai aa321,倒格子基矢倒格子基矢2311232aabaaa3121232aabaaa1231232aabaaa22kcbjbbiab2,2,2321倒格子矢量倒格子矢量321b lbkbhG222hikjlkabc晶面族晶面族 的面間距的面間距)(hklGd22221/ ( )( )( )

20、hklabc 面指數(shù)越簡單的晶面，其晶面的間距越大面指數(shù)越簡單的晶面，其晶面的間距越大 晶面上格點的密度越大，這樣的晶面越容易解理晶面上格點的密度越大，這樣的晶面越容易解理倒格子基矢倒格子基矢232.10 假設具有立方對稱、由同種原子構(gòu)成的某種晶體，在對其進展假設具有立方對稱、由同種原子構(gòu)成的某種晶體，在對其進展x射線分析時，在衍射譜圖中只察看到射線分析時，在衍射譜圖中只察看到110、200、220或或222等衍射峰，但沒有察看到等衍射峰，但沒有察看到100、300、111或或221等衍射峰，試經(jīng)過分析闡明該晶體具有何種類型的晶體構(gòu)造。等衍射峰，試經(jīng)過分析闡明該晶體具有何種類型的晶體構(gòu)造。 解

21、：對立方對稱晶體，有簡單立方、體心立方和面心立方三種典型的晶體構(gòu)造。解：對立方對稱晶體，有簡單立方、體心立方和面心立方三種典型的晶體構(gòu)造。對同種原子組成的面心立方晶體，衍射指數(shù)全偶或全奇時，衍射強度最強，而衍射指數(shù)中部分為奇或部分為偶的衍射峰消逝。對同種原子組成的面心立方晶體，衍射指數(shù)全偶或全奇時，衍射強度最強，而衍射指數(shù)中部分為奇或部分為偶的衍射峰消逝。200、220或或222衍射峰的的衍射指數(shù)全為偶數(shù)，但同時出現(xiàn)衍射峰的的衍射指數(shù)全為偶數(shù)，但同時出現(xiàn)110衍射峰，這是部分為奇和部分為偶的情況，故可判別該晶體并非面心衍射峰，這是部分為奇和部分為偶的情況，故可判別該晶體并非面心立方構(gòu)造。立方構(gòu)

22、造。對簡單立方，只能出現(xiàn)偶數(shù)指數(shù)的衍射峰，由于對簡單立方，只能出現(xiàn)偶數(shù)指數(shù)的衍射峰，由于110衍射峰的出現(xiàn)，可判別該晶體并非簡單立方構(gòu)造。衍射峰的出現(xiàn)，可判別該晶體并非簡單立方構(gòu)造。24對同種原子組成的體心立方晶體，晶胞中包含對同種原子組成的體心立方晶體，晶胞中包含2個原子，其中一個在立方體頂角，另一個在立方體體心，它們的坐標分別為個原子，其中一個在立方體頂角，另一個在立方體體心，它們的坐標分別為000和和1/2，1/2，1/2，得到衍射強度為，得到衍射強度為2201cos()sin() hklIfn hkln hkl可見，當衍射指數(shù)之和為奇數(shù)時，反射消逝，而對于衍射指數(shù)之和為偶數(shù)時，衍射加強

23、可見，當衍射指數(shù)之和為奇數(shù)時，反射消逝，而對于衍射指數(shù)之和為偶數(shù)時，衍射加強110、200、220或或222等衍射峰符合衍射指數(shù)之和為偶數(shù)的條件衍射加強，而等衍射峰符合衍射指數(shù)之和為偶數(shù)的條件衍射加強，而100、300、111或或221等衍射峰符合衍射指數(shù)之和為奇數(shù)的條件反射消逝等衍射峰符合衍射指數(shù)之和為奇數(shù)的條件反射消逝因此，根據(jù)察看到的衍射峰特征可判別該晶體具有體心立方構(gòu)造。因此，根據(jù)察看到的衍射峰特征可判別該晶體具有體心立方構(gòu)造。252.11 對面心立方的對面心立方的KBr晶體，其中晶體，其中K和和Br離子各自組成一套面心格子，試經(jīng)過分析論證該晶體的衍射譜圖有何特征？離子各自組成一套面心

24、格子，試經(jīng)過分析論證該晶體的衍射譜圖有何特征？解：對面心立方構(gòu)造的晶體，晶胞中共包含解：對面心立方構(gòu)造的晶體，晶胞中共包含4個原子，其中一個在立方體頂角，另三個在立方面子心，它們的坐標分別為個原子，其中一個在立方體頂角，另三個在立方面子心，它們的坐標分別為000、1/2，0，1/2、1/2，1/2，0和和0，1/2，1/2，由此得到衍射強度為，由此得到衍射強度為20121cos()cos()cos()sin()sin()sin()hklIffn hkn hln klfn hkn hln kl可見，對于衍射指數(shù)中部分為奇或部分為偶時，可見，對于衍射指數(shù)中部分為奇或部分為偶時，而對衍射指數(shù)全偶或全

25、奇時而對衍射指數(shù)全偶或全奇時201hklIff此時衍射強度最小此時衍射強度最小201hklIff衍射強度最強衍射強度最強262.12 從方式上看，從方式上看，KCl非常類似非常類似KBr，但對，但對KCl進展衍射分析時，實驗上察看到和進展衍射分析時，實驗上察看到和KBr類似的面指數(shù)全為偶數(shù)的衍射峰，但沒有察看到面指數(shù)全為類似的面指數(shù)全為偶數(shù)的衍射峰，但沒有察看到面指數(shù)全為奇數(shù)的衍射峰，為什么？奇數(shù)的衍射峰，為什么？答：實驗上察看到和答：實驗上察看到和KBr類似的面指數(shù)全為偶數(shù)的衍射峰，闡明類似的面指數(shù)全為偶數(shù)的衍射峰，闡明KCl晶體具有和晶體具有和KBr類似的面心立方構(gòu)造，但沒有察看到面指數(shù)全

26、為奇數(shù)的衍射類似的面心立方構(gòu)造，但沒有察看到面指數(shù)全為奇數(shù)的衍射峰，闡明兩者又不完全一樣。這是由于峰，闡明兩者又不完全一樣。這是由于KCl中兩種離子的電子數(shù)目相等，散射振幅幾乎一樣，因此，對中兩種離子的電子數(shù)目相等，散射振幅幾乎一樣，因此，對X-射線來說，就好似一個晶格常數(shù)為射線來說，就好似一個晶格常數(shù)為a/2的單原子簡單立方晶格，對簡單立方晶格，只出現(xiàn)偶數(shù)指數(shù)的衍射峰。的單原子簡單立方晶格，對簡單立方晶格，只出現(xiàn)偶數(shù)指數(shù)的衍射峰。272.13 對由同種原子碳構(gòu)成的金剛石晶體，試求出衍射強度不為零的條件。對由同種原子碳構(gòu)成的金剛石晶體，試求出衍射強度不為零的條件。1 1 1( , )4 4 4

27、1 3 3( , )4 4 43 3 1( , )4 4 43 1 3( ,)4 4 4(0,0,0)對于金剛石晶體，選擇立方體作為晶胞，那么每個晶胞中共有對于金剛石晶體，選擇立方體作為晶胞，那么每個晶胞中共有8個原子，一個在立方體頂角上，坐標為個原子，一個在立方體頂角上，坐標為1 1( ,0)2 211( ,0, )221 1(0, )2 2三個在立方體的面心位置，坐標分別為三個在立方體的面心位置，坐標分別為另外四個在立方體對角線的另外四個在立方體對角線的1/4位置處，坐標分別位置處，坐標分別將這些原子坐標代入式得到衍射強度為將這些原子坐標代入式得到衍射強度為2221 cos()cos()c

28、os()1111cos()cos(33 )cos(33)cos(33 )22221 sin()sin()sin()111sin()sin(33 )sin(33)si222hklIfn hkn kln hln hkln hklnhklnhklfn hkn kln hln hkln hklnhkl21n(33 )2nhkl282221 cos()cos()cos()1111cos()cos(33 )cos(33)cos(33 )22221 sin()sin()sin()111sin()sin(33 )sin(33)si222hklIfn hkn kln hln hkln hklnhklnhklfn

29、 hkn kln hln hkln hklnhkl21n(33 )2nhkl由上式很容易求出衍射強度不為零的條件是：由上式很容易求出衍射強度不為零的條件是：衍射面指數(shù)衍射面指數(shù)nh、nk和和nl均為奇數(shù)；均為奇數(shù)；衍射面指數(shù)衍射面指數(shù)nh、nk和和nl均為偶數(shù)且均為偶數(shù)且 也為偶數(shù)。也為偶數(shù)。假設衍射面指數(shù)不滿足上述兩條件，那么衍射消逝。假設衍射面指數(shù)不滿足上述兩條件，那么衍射消逝。1()2n hkl293.1 證明兩種一價離子組成一維晶格的馬德隆常數(shù)證明兩種一價離子組成一維晶格的馬德隆常數(shù)2ln2M 假設參考離子帶負電荷，那么正離子取假設參考離子帶負電荷，那么正離子取“+、負離子取、負離子取

30、“-R參考離子參考離子11112.234MRRRRR 那么有那么有2源于參考離子左右各有兩個間隔相等的源于參考離子左右各有兩個間隔相等的離子離子11121.234M 利用利用234ln(1).234xxxxx2ln2M 第三章習題第三章習題30;.3.2 假設一晶體兩個離子之間的相互作用能可以表示為假設一晶體兩個離子之間的相互作用能可以表示為nmrrru)(計算計算1) 平衡間距平衡間距r02) 結(jié)合能結(jié)合能W單個原子的單個原子的3) 體彈性模量體彈性模量4) 假設取假設取 計算計算 的值的值 ,eVWnmrnm4,3 . 0,10, 2031;.1) 平衡間距平衡間距r0的計算的計算平衡條件

31、平衡條件)(2)(nmrrNrU00rrdrdU01010nmrnrm2) 單個原子的結(jié)合能單個原子的結(jié)合能01( )2Wu r 1(1)()2mn mmnWnmmnmnr10)(晶體內(nèi)能晶體內(nèi)能00( )()mnr ru rrr 323) 體彈性模量體彈性模量0220)(VVUKV晶體的體積晶體的體積3NArV A為常數(shù)，為常數(shù)，N為原胞數(shù)目為原胞數(shù)目VrrUVU1121()23mnNmnrrNAr221121()23mnUNrmnVVrrrNAr)(2)(nmrrNrU晶體內(nèi)能晶體內(nèi)能3391200020220220nmnmVVrnrmrnrmVNVU031)(22010100NArrnr

32、mNVUnmVVnmrnrm00體彈性模量體彈性模量0220)(VVUKV由平衡條件由平衡條件912020220220nmVVrnrmVNVU349120020220nmVVrnnrmmVNVU920020nmrrVnmNnmrnrm00)(2000nmrrNU)(9020220UVmnVUVV009VmnUK 體彈性模量體彈性模量0220)(VVUKV912020220220nmVVrnrmVNVU354) 假設取假設取 計算計算 的值的值eVWnmrnm4,3 . 0,10, 20,mnmnr10)(1(1)()2mn mmnWnm1002rW210020Wrr95101.18 10eV

33、m1929.0 10eV mnmrnrm00363.3 設假設一晶體平衡時體積為設假設一晶體平衡時體積為V0，原子間總的相互作用能為，原子間總的相互作用能為U0，假設原子間相互作用能由式，假設原子間相互作用能由式所表述，試證明緊縮系數(shù)為所表述，試證明緊縮系數(shù)為( )nmU rrr 009nm UV證明：體彈性模量證明：體彈性模量晶體體積晶體體積0202()VUKVV因此，體彈性模量可表示為因此，體彈性模量可表示為 3VN r02201()9r rUKN rr211222(1)(1)(),()22mnmnUNmnUNm mn nrrrrrr0222000222222000000001(1)(1)

34、21122r rmnmnmnmnUNm mn nrrrrNmnmnNmnrrrrrrrr00mnmnrr0002 9mnN nmKVrr0000( )()2mnNU rUrr009nmUV37 3.4 知有知有N個離子組成的個離子組成的NaCl晶體，其結(jié)合能為晶體，其結(jié)合能為 現(xiàn)以現(xiàn)以 來替代排斥項來替代排斥項 ，且當晶體處于平衡時，且當晶體處于平衡時， 這兩者對互作用勢能的奉獻一樣，試求這兩者對互作用勢能的奉獻一樣，試求n和和的關(guān)系。的關(guān)系。 20( )()24nNeU rrrrcenr 將結(jié)合能在平衡位置處展開將結(jié)合能在平衡位置處展開)()()()(000rrrUrUrUrr38)4(2)

35、( 02rcereNrU以以 替代替代 后后rce0nr)()()( )( 000rrrUrUrUrr根據(jù)題意根據(jù)題意)( )(00rUrU結(jié)合能結(jié)合能0)()(00rrrrrUrU00rncer010rnncer3900rncer010rnncernr 01()nen c兩式相比兩式相比n和和的關(guān)系的關(guān)系403.5計算面心立方簡單格子的計算面心立方簡單格子的A6和和A12(1) 只計最近鄰；只計最近鄰；2計算到次近鄰。計算到次近鄰。o111角頂角頂o原子周圍有原子周圍有8個這樣的晶胞個這樣的晶胞標號為標號為1的原子是原子的原子是原子o的最近鄰，總共有的最近鄰，總共有12個最近鄰，以最近鄰間隔

36、度量，那么個最近鄰，以最近鄰間隔度量，那么aj=122212121jjAa 661jjAa 0 jjra R R為最近鄰間隔為最近鄰間隔假設只計最近鄰那么假設只計最近鄰那么661(1)12 ( )121A12121(1)12 ( )121A標號為標號為2的原子是原子的原子是原子o的次近鄰，總共有的次近鄰，總共有6個次近鄰，以最近鄰間隔度量，那么個次近鄰，以最近鄰間隔度量，那么aj=21/2假設計算到次近鄰那么假設計算到次近鄰那么66611(2)12 ( )6 ()12.7512A 12121211(2)12 ( )6 ()12.09412A 41;.4.1對一維雙原子分子鏈，原子質(zhì)量均為對一維

37、雙原子分子鏈，原子質(zhì)量均為m，原子一致編號，任一原子與兩最近鄰的間距不同，力常數(shù)分別為，原子一致編號，任一原子與兩最近鄰的間距不同，力常數(shù)分別為1和和2，晶格常數(shù)為，晶格常數(shù)為a，求原，求原子的運動方程以及色散關(guān)系。子的運動方程以及色散關(guān)系。1 2 3n-1 n n+1N-2 N-1 N12第第n-1與第與第n+1個原子屬于同一種原子個原子屬于同一種原子n+2 n+3 第第n與第與第n+2個原子屬于同一種原子個原子屬于同一種原子于是于是 第第n個原子受的力為個原子受的力為第第n+1個原子受的力為個原子受的力為2111()()nnnnnfxxxx 112121()()nnnnnfxxxx 第四章

38、習題第四章習題42對每種原子，可寫出其運動方程對每種原子，可寫出其運動方程221112()()nnnnnd xmxxxxdt 21121212()()nnnnnd xmxxxxdt 將方程的解寫成角頻率為將方程的解寫成角頻率為 的簡諧振動的方式，即的簡諧振動的方式，即12iqnatnxAe121iqnatnxBe432122122112()()0()()0iqaiqamAeBeAmB 2122122112()0()iqaiqameem 22221/21212221221/212122121624sin ()2()2411sin ()()2mqammmqam 色散關(guān)系色散關(guān)系得到得到A、B非非0

39、解的條件是系數(shù)行列式必需為解的條件是系數(shù)行列式必需為0，即，即由此得到由此得到12iqnatnxAe121iqnatnxBe代入代入221112()()nnnnnd xmxxxxdt 21121212()()nnnnnd xmxxxxdt 444.2 問長光學支格波與長聲學支格波在本質(zhì)上有何區(qū)別？問長光學支格波與長聲學支格波在本質(zhì)上有何區(qū)別？長光學支格波的特征是每個原胞內(nèi)的不同原子做相對振動，振動頻率較高，包含了晶格振動頻率最高的振動方式。長光學支格波的特征是每個原胞內(nèi)的不同原子做相對振動，振動頻率較高，包含了晶格振動頻率最高的振動方式。長聲學支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒有相對位移，原胞做

40、整體振動，振動頻率較低，包含了晶格振動頻率最低的振動方式。長聲學支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒有相對位移，原胞做整體振動，振動頻率較低，包含了晶格振動頻率最低的振動方式。任何晶體都存在聲學支格波，但簡單晶格晶體不存在光學支格波。任何晶體都存在聲學支格波，但簡單晶格晶體不存在光學支格波。454.3 按德拜模型試計算晶體中的聲子數(shù)目，并對高溫暖很低溫度兩種情況分別進展討論。按德拜模型試計算晶體中的聲子數(shù)目，并對高溫暖很低溫度兩種情況分別進展討論。頻率為頻率為的格波的聲子數(shù)的格波的聲子數(shù)/1( )1kTne對德拜模型，方式密度或頻率分布函數(shù)為對德拜模型，方式密度或頻率分布函數(shù)為2233( )2Vg

41、C那么總的聲子數(shù)那么總的聲子數(shù)0( ) ( )DNngd/20231312DkTVdeC高溫高溫/0kT/1/kTekT /1( )/1kTnkTe所以高溫時聲子數(shù)為所以高溫時聲子數(shù)為22334DVkNTC46/23021312DkTVNdeC很低溫度很低溫度/ kT 作變量變換作變量變換/xkT 332233032(1)xVk T x dxCe2/2301312DkTVNdeC3AT332233032(1)xVkT x dxAconstCe474.4 設一長度為設一長度為L的一維簡單晶格，原子質(zhì)量為的一維簡單晶格，原子質(zhì)量為m，原子間距為，原子間距為a，原子間的相互作用勢可表示成，原子間的相

42、互作用勢可表示成試由簡諧近似求試由簡諧近似求1色散關(guān)系；色散關(guān)系；2方式密度方式密度D；3晶格比熱。晶格比熱。()cos( )U aAa 1色散關(guān)系色散關(guān)系()cos( )U aAa 22022()()ad Ud Udrd 恢復力常數(shù)恢復力常數(shù)2022()d UAda 2sin()2qam 代入代入得到色散關(guān)系為得到色散關(guān)系為2sin()2Aqaam 48設單原子鏈長度設單原子鏈長度波矢取值波矢取值hNaq2每個波矢的寬度每個波矢的寬度2Na形狀密度形狀密度Na2dq間隔內(nèi)的形狀數(shù)間隔內(nèi)的形狀數(shù)dqNa2 對應對應q， 取值一樣，取值一樣， d 間隔內(nèi)的形狀數(shù)目間隔內(nèi)的形狀數(shù)目dqNad22)

43、(LNa2方式密度方式密度D 49dqNad22)(一維單原子鏈色散關(guān)系一維單原子鏈色散關(guān)系)2(sin422aqmm40)2sin(0aq令令兩邊微分得到兩邊微分得到dqaqad)2cos(202021)2cos(aqdqad2202d 間隔內(nèi)的形狀數(shù)目間隔內(nèi)的形狀數(shù)目502202dadqdN2201222012)(Ndqad2202代入代入dqNad22)( 一維單原子鏈的頻率分布函數(shù)一維單原子鏈的頻率分布函數(shù)513晶格比熱晶格比熱頻率為頻率為 的格波的熱振動能為的格波的熱振動能為/1Bk Te整個晶格的熱振動能為整個晶格的熱振動能為0/0( )1Bk TEde VdECdT22012)(

44、N02/222002()(1)BVBk TBLdCkak Te 524.5 設晶體中每個振子的零點振動能為設晶體中每個振子的零點振動能為 ，試用德拜模型求晶體的零點振動能，試用德拜模型求晶體的零點振動能 12根據(jù)量子力學零點能是諧振子所固有的，與溫度無關(guān)，故根據(jù)量子力學零點能是諧振子所固有的，與溫度無關(guān)，故T=0K時振動能時振動能E0就是各振動模零點能之和就是各振動模零點能之和 000mEEgd 012E 22332sVgv42339168mmsVNv534.6 假設原子分開平衡位置位移后的勢能為假設原子分開平衡位置位移后的勢能為如用經(jīng)典實際，試證明比熱為：如用經(jīng)典實際，試證明比熱為： 234

45、( )Ucgf2233151()28VBBfgCkk Tcc544.7 假設晶體總的自在能可表示為假設晶體總的自在能可表示為其中其中 表示晶格振動對系統(tǒng)自在能的奉獻，表示晶格振動對系統(tǒng)自在能的奉獻， 是絕對零度時系統(tǒng)的內(nèi)能，假設是絕對零度時系統(tǒng)的內(nèi)能，假設 可表示可表示其中其中 是德拜溫度，試證明：是德拜溫度，試證明：1壓力壓力 ， 為格林愛森常數(shù)；為格林愛森常數(shù)；2線膨脹系數(shù)線膨脹系數(shù) 0( )( , )vFU VF T VvF0( )U VvF()DvFTfTD0(/)(1/)DUfTPVVT lnlnDddV 3VCVK554.81溫度一定時，問一個光學波的聲子數(shù)目和一個溫度一定時，問一

46、個光學波的聲子數(shù)目和一個 聲學波的聲子數(shù)目哪個多？聲學波的聲子數(shù)目哪個多？ 2對同一個振動方式，問溫度高時的聲子數(shù)目和對同一個振動方式，問溫度高時的聲子數(shù)目和 溫度低時的聲子數(shù)目哪個多？溫度低時的聲子數(shù)目哪個多？頻率為頻率為 的格波的平均聲子數(shù)為的格波的平均聲子數(shù)為/1( )1kTne1光學波的頻率總是比聲學波的頻率高，所以，溫度一定時，一個光學波的聲子數(shù)目少于一個聲學波的聲子數(shù)目光學波的頻率總是比聲學波的頻率高，所以，溫度一定時，一個光學波的聲子數(shù)目少于一個聲學波的聲子數(shù)目2溫度高時的聲子數(shù)目多于溫度時的聲子數(shù)目溫度高時的聲子數(shù)目多于溫度時的聲子數(shù)目/1()1HHkTn Te/1()1LLk

47、Tn Te565.1 試問絕對零度時價電子與晶格能否交換能量？試問絕對零度時價電子與晶格能否交換能量？晶格的振動構(gòu)成格波，價電子與晶格交換能量，實踐上是價電子與格波交換能量，格波的能量子稱為聲子，因此，價電子與格波交換能晶格的振動構(gòu)成格波，價電子與晶格交換能量，實踐上是價電子與格波交換能量，格波的能量子稱為聲子，因此，價電子與格波交換能量可看成是價電子與聲子交換能量。量可看成是價電子與聲子交換能量。頻率為頻率為的格波的聲子數(shù)的格波的聲子數(shù)/1( )1kTne絕對零度時，任何頻率的格波的聲子全部消逝，因此，絕對零度時價電子與晶格不再交換能量。絕對零度時，任何頻率的格波的聲子全部消逝，因此，絕對零

48、度時價電子與晶格不再交換能量。第五章習題第五章習題57;.5.2 試問晶體膨脹時費米能級如何變化？試問晶體膨脹時費米能級如何變化？費米能級費米能級202/3(3)2FEnm晶體膨脹時，體積變大，但電子數(shù)目不變，故晶體膨脹時，體積變大，但電子數(shù)目不變，故n變小，因此，費變小，因此，費米能級降低。米能級降低。58;.5.3 試問為什么價電子的濃度越高，電導率越高？試問為什么價電子的濃度越高，電導率越高？2nem從公式看，電導率正比于價電子的濃度，因此，價電子濃度越高，電導率就越高從公式看，電導率正比于價電子的濃度，因此，價電子濃度越高，電導率就越高然而，并非一切價電子都參與導電，僅僅費米面附近的電

49、子才參與對導電的奉獻，因此，費米球越大，對導電有奉獻的電子然而，并非一切價電子都參與導電，僅僅費米面附近的電子才參與對導電的奉獻，因此，費米球越大，對導電有奉獻的電子數(shù)目就越多，而費米球的半徑數(shù)目就越多，而費米球的半徑021/3(3)Fkn可見，電子濃度越高，費米球就越大，對導電有奉獻的電子什么也就越多，因此，電導率就越高可見，電子濃度越高，費米球就越大，對導電有奉獻的電子什么也就越多，因此，電導率就越高59;.5.4 假設二維電子氣的能態(tài)密度假設二維電子氣的能態(tài)密度 試證明費米能為試證明費米能為 其中其中n為單位面積的電子數(shù)。為單位面積的電子數(shù)。2( )mN E2/ln1Bnmk TFBEk

50、 Te單位面積金屬的電子總數(shù)為單位面積金屬的電子總數(shù)為0( ) ( )nN E f E dE2( )mN E()/1( )1FBE Ek Tf Ee()/2011FBE Ek TmndEe/2ln(1)FBEk TBmk Te2/1FBBnEk Tmk Tee2/ln1Bnmk TFBEk Te60;.5.5 試求一維金屬中自在電子的能態(tài)密度、費米能級、電子平均動能以及一個電子對比熱的奉獻。試求一維金屬中自在電子的能態(tài)密度、費米能級、電子平均動能以及一個電子對比熱的奉獻。設一維金屬中有設一維金屬中有N個導電電子，晶格常數(shù)為個導電電子，晶格常數(shù)為a，那么形狀密度為，那么形狀密度為2222km d

51、EdkmE2再由E得到1/22( )dzNamg EEdE能態(tài)密度能態(tài)密度222Nadzdk那么在那么在kk+dk范圍內(nèi)電子數(shù)為范圍內(nèi)電子數(shù)為2Na1/22NamdzEdE在在EE+dE內(nèi)電子數(shù)為內(nèi)電子數(shù)為61;.絕對零度時費米能級以下一切態(tài)被電子占據(jù)，故有絕對零度時費米能級以下一切態(tài)被電子占據(jù)，故有0001/200222( )FFEEFNamENamNg E dEEdE202()8FEma平均一個電子所具有的能量平均一個電子所具有的能量00( ) ( )NEdzEf E g E dEENN1/202( )amf E EdE23/2222() 38FBFamEEk TE62;.平均一個電子對比

52、熱的奉獻為平均一個電子對比熱的奉獻為23/2222() 38FBFamEEk TE2222()()3124eVVBBBFFEamTCk TkkTTE63;.5.6 試求二維金屬中自在電子的能態(tài)密度、費米能級、電子平均動能以及一個電子對比熱的奉獻。試求二維金屬中自在電子的能態(tài)密度、費米能級、電子平均動能以及一個電子對比熱的奉獻。設二維金屬的面積為設二維金屬的面積為S，那么形狀密度為，那么形狀密度為222kmkdkdEm2再由E得到2( )dzmSg EdE能態(tài)密度能態(tài)密度222(2 )Sdzkdk那么在那么在kk+dk范圍內(nèi)電子數(shù)為范圍內(nèi)電子數(shù)為2(2 )S2222(2 )SmdEdz在在EE+

53、dE內(nèi)電子數(shù)為內(nèi)電子數(shù)為64;.絕對零度時費米能級以下一切態(tài)被電子占據(jù)，故有絕對零度時費米能級以下一切態(tài)被電子占據(jù)，故有0002200( )FFEEFmSmSNg E dEdEE20FnEm平均一個電子所具有的能量平均一個電子所具有的能量00( ) ( )NEdzEf E g E dEENN20( )mf E EdEn2222() 23FBmEEk TnNnS平均一個電子對比熱的奉獻為平均一個電子對比熱的奉獻為2()()3eVVBFETCkTT65;.5.7 證明，當證明，當 時，電子數(shù)目每添加一個，時，電子數(shù)目每添加一個， 那么費米能變化為那么費米能變化為 其中其中 為費米能級處的能態(tài)密度。

54、為費米能級處的能態(tài)密度。0BFk TE001()FFEg E0()Fg E222/30(3)2FnEm2/3AN222/3(3/)2VAm電子數(shù)目每添加一個，費米能的變化電子數(shù)目每添加一個，費米能的變化02/32/3(1)FEA NAN2/32/3(1 1/)1ANN2/32(1) 13ANN1/323AN02/31/32/32233FEANNNN03/22()3FNC E003/20011()()FFFFEC Eg ECE66;.5.8 每個原子占據(jù)的體積為每個原子占據(jù)的體積為a3，絕對零度時價電子的費米半，絕對零度時價電子的費米半 徑為徑為 ，計算每個原子的價電子數(shù)目，計算每個原子的價電子

55、數(shù)目02 1/3(6)/Fka021/3(3)Fkn根據(jù)自在電子氣模型，絕對零度時費米半徑為根據(jù)自在電子氣模型，絕對零度時費米半徑為而知金屬絕對零度時費米半徑為而知金屬絕對零度時費米半徑為02 1/3(6)/Fka23 1/3(6/)a21/332(3)a兩者比較可知電子密度為兩者比較可知電子密度為32na因此該金屬的原子具有兩個價電子因此該金屬的原子具有兩個價電子67;.310.5/mg cm661.61 10(295)0.038 10(20)cmTKcmTK 銀的質(zhì)量密度銀的質(zhì)量密度 原子量原子量 電阻率電阻率 107.875.9 假設將銀看成具有球形費米面的單價金屬假設將銀看成具有球形費

56、米面的單價金屬 計算以下各量計算以下各量1) 費密能量和費密溫度費密能量和費密溫度2) 費密球半徑費密球半徑3) 費密速度費密速度4) 在室溫以及低溫時電子的平均自在程在室溫以及低溫時電子的平均自在程68 1) 費密能量和費密溫度費密能量和費密溫度2022/3(3)2FEnm6293313410.5100.586 10/107.879.11 101.05 10AAmNnNmmkgJ sM0198.82 105.5FEJeV046.4 10FFBETKk費密能量費密能量費密溫度費密溫度210/3(3)Fkn692) 費密球半徑費密球半徑020()2FFkEm0022FFmEk 01011.2 1

57、0Fkm0198.82 10FEJ3) 費密速度費密速度0FFkvm61.38 10/Fvm s704) 在室溫以及低溫時電子的平均自在程在室溫以及低溫時電子的平均自在程120()1FneEm02()FmEne0()FFlvE2Fkne01011.2 10FFkkm電導率電導率馳豫時間馳豫時間平均自在程平均自在程2Fmvlne0 K到室溫之間的費密半徑變化很小到室溫之間的費密半徑變化很小7102Fklne平均自在程平均自在程1929334010162956201.6 100.586 10/1.05 101.2 101.61 100.038 10FTKTKeCnmJ skmcmcm8295632

58、05.24 1052.42.2 102.210TKTKlmnmlmnm726.1 電子在周期場中的勢能函數(shù)電子在周期場中的勢能函數(shù)bnaxbanbnaxbnanaxbmxV) 1(0)(21)(222 且且a=4b， 是常數(shù)。是常數(shù)。1) 畫出此勢能曲線，并計算勢能的平均值；畫出此勢能曲線，并計算勢能的平均值；2) 用近自在電子模型用近自在電子模型 計算晶體的第一個和第二個帶隙寬度計算晶體的第一個和第二個帶隙寬度 第六章習題第六章習題73bnaxbanbnaxbnanaxbmxV) 1(0)(21)(222( )V x2a-b2a2a+b(n-1)a-b(n-1)a+b(n-1)ana-bna

59、+bna(n+1)a-b(n+1)a+b(n+1)a-b0b74 勢能的平均值勢能的平均值LikxikxdxeLxVeLV01)(1222111() 2na bikxikxna bVNembxnae dxLLLNa75勢能的平均值勢能的平均值222111() 2na bikxikxna bVNembxnae dxLL222() 2na bna bNVmbxnadxL令令nax 2221()2bbVmbda2296aVm76近自在電子近似中，勢能函數(shù)的第近自在電子近似中，勢能函數(shù)的第n個傅里葉系數(shù)個傅里葉系數(shù) 2/2/21( )inxaanaVV x edxa禁帶寬帶禁帶寬帶,2g nnEV第一

60、帶隙寬度第一帶隙寬度2/211/2122( )ixaagaEVV x edxa222222218242ixbabmmbbx edxb第二帶隙寬度第二帶隙寬度4/222/2122( )ixaagaEVV x edxa2222221242ixbbbmmbbx edxb77axxksin)() 1mmkmaxfix)()()()2axixk3cos)() 3lklaxfx)()()46.2 對于一維周期勢場中運動的電子，試求電子處在以下態(tài)中的的波矢對于一維周期勢場中運動的電子，試求電子處在以下態(tài)中的的波矢 其中其中a是晶格常數(shù)是晶格常數(shù) 78根據(jù)布洛赫定理根據(jù)布洛赫定理)()(reRrnRk in一