最全線性規(guī)劃題型總結(jié)

1、線性規(guī)劃題型總結(jié)1. 截距”型考題在線性約束條件下，求形如z ax by（a,b R）的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求直線在y軸上的截距 的取值.結(jié)合圖形易知，目標(biāo)函數(shù)的最值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得 掌握此規(guī)律可以有效避免因畫圖太草而造成的視覺(jué)誤差1. （2017?天津）設(shè)變量x, y滿足約束條件x+2y-20Ly3,則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為（）A. B. 1 C. 2 D. 3 32解：變量x, y滿足約束條件x+2y-20Ly0 ,則z=x+2y的取值范圍是（）A. 0, 6 B. 0, 4 C. 6, +x）D. 4, +）答案：D.解：x、y滿足約束條件尺+廠3。，表示的可

2、行域如圖:目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，函數(shù)取得最小值，由解得C （2, 1）,1 x-2y=0目標(biāo)函數(shù)的最小值為：4目標(biāo)函數(shù)的范圍是4, +x）.4. （ 2016?可南二模）已知yR，且滿足* x+3y - 2，則z=|x+2y|的最大值為（影部分)由 z=|x+2y| ,一 1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最大A. 10 B. 8 C. 6答案：C.解：作出不等式組 x+3y-2平移直線y= -Txz, 由圖象可知當(dāng)直線 y= -# -牙 值，此時(shí)z最大.即 A （- 2,- 2）,代入目標(biāo)函數(shù) z=|x+2y|得z=2 2+2=6。 -5.（2016?湖南模擬）設(shè)變量x、y滿足約束條件 5応1

3、，則z=32x-y的最大值為（）A .: : B .廿刁 C. 3 D . 9答案：D.解：約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：令2x - y=t，變形得y=2x - t,根據(jù)t的幾何意 義，由約束條件知t過(guò)A時(shí)在y軸的截距最大，使t最小，由得到交點(diǎn)A （丄，2）所以t最小為0 -詔過(guò)C時(shí)直線y=2x-t在y軸截距最小，t最大,C （1, 0）,所以t的最大值為x4y=lx+2y=l2X1 - 0=2，所以解得/I2 .距離”型考題在線性約束條件下，求形如 z= （x-a） 2+ （y-b） 求點(diǎn)（a, b）到陰影部分的某個(gè)點(diǎn)的距離的平方2的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為 的取值6. （2016?

4、山東）若變量x,y滿足-2k -，則x2+y2的最大值是（A . 4 B . 9 答案：C.C. 10 D. 12解：由約束條件da (0,- 3),一 3y=9上七總2* 2x - 3y9C (0, 2) , n|OA| |OC|,聯(lián)立，解得 B（ 3，- 1）.Mob f 二(J/+ (-1m 2=io, nx2+y2的最大值是10.作出可行域如圖,7.（ 2016?浙江 ）在平面上，過(guò)點(diǎn)P作直線x-2，則工的最大值是（）Jd-y- 501，即 Q (- 1, 1),得，即 R ( 2,- 2),=：=3 :,z=2x+y=0 則 |AB|=|QR|=而 RQ =RQ,k - 3艸4二0旭

5、仗二-1得答案：B.解：由 z=x2+y2 - 2x= （x- 1） 2+y2- 1,設(shè) m= （x - 1） 2+y2,則m的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)D （1, 0）的距離的平方，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：貝 H z=m -仁二-1 =線的斜率，結(jié)合圖象可知,過(guò)點(diǎn)A （1, 2）時(shí)有最大值，此時(shí)x, y）與原點(diǎn)的連答案：C解：由題意作平面區(qū)域如下， 二的幾何意義是陰影內(nèi)的點(diǎn)（由圖象知D到AC的距離為最小值,此時(shí)d=，72O則 m=d2=(22D2542535由則)52AD54C 廳3 -2亡薩r -由,解得 B (3, 1),I 當(dāng)+2y - 5二 Q答案：C解：畫出滿足條件的平面區(qū)域

6、，如圖示:/ 冃s+2y- 5二 0，解得 A（ 1，2）,1,- 1 ）的直線的斜率, - 2y+40 玄0的取值范圍是（答案：匕,解：作出滿足 - 2y+40:-：:所對(duì)應(yīng)的區(qū)域（如圖陰影）s+y - 2010. （2016?萊蕪一模）已知x, y滿足約束條件而.的幾何意義表示過(guò)平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與（-Kac=顯然直線AC斜率最大，直線 BC斜率最小,2H |31+1 |1|= K BC=1+1 2,3+1 2.自B .2，則z=:的范圍是（）A .丄,2 B . B-=,=好2+評(píng)1=1 +艸1,變形目標(biāo)函數(shù)可得時(shí)，目標(biāo)函數(shù)y+2連線的斜率與x+2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與 A (- 2, - 1)

7、1的和， 由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) B (2, 0)取最小值1+丄丄=上；2+2 4當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C (0, 2)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最大值2+1=5:.4.平面區(qū)域的面積”型考題12.設(shè)平面點(diǎn)集A= ( x, y)|(y x)( y1) 0,2 2B=(x, y)|( x 1) + (y 1) 0可化為x0,或0y(y 1)2= 1上以及圓內(nèi)部的點(diǎn)所構(gòu)成的集合，1B所表示的平面區(qū)域如圖陰影部所示由線y ，圓(xxB表示圓(x 1) +AnD項(xiàng).0,集合0.2 ,1) + (y1)2= 1均關(guān)于直線y= x對(duì)稱，所以陰影部分占圓面積的一半，故選 5.求約束條件中的參數(shù)”型考題規(guī)律方法：當(dāng)參數(shù)在線性規(guī)劃問(wèn)

8、題的約束條件中時(shí)，作可行域，要注意應(yīng)用 系”知識(shí)，使直線初步穩(wěn)定過(guò)定點(diǎn)的直線”，再結(jié)合題中的條件進(jìn)行全方面分析才能準(zhǔn)確獲得答案13. (2016興安盟一模)若y滿足不等式組 2y - k2,且yx的最大值為2，則實(shí)數(shù)m的值為()予1答案：D解：吩x的最大值為2,n此時(shí)滿足作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:則由x=2，解得2y - k=2尹同時(shí)A也在直線y=mx上,，即A(1,9,14.（2016?紹興一模）若存在實(shí)數(shù) x, y滿足2it - y - 20 葉y - 20 m (k+1) - y=0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A . ( 0,彳P B .纖,耳答案：D解：作出r2z-y- 20()2 4

9、C. )D.(所對(duì)應(yīng)的區(qū)域（如圖HABC即內(nèi)部，不包括邊界），D （- 1，0），斜率為 m，直線m （x+1 ） - y=0，可化為y=m （x+1 ）,過(guò)定點(diǎn)存在實(shí)數(shù)x, y滿足解得B （尋旨,Kpa=- y - 20 x+y- 20 Hi (x+1 ) - y=0則直線需與區(qū)域有公共點(diǎn),，解得A （24_J_ 2:,Kpb=54 =7護(hù),葉 v m v6.求目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)”型考題規(guī)律方法：目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的意義，轉(zhuǎn)化成 的距離”等模型進(jìn)行討論與研究直線的斜率”、點(diǎn)到直線15.（ 2015?山東）已知 x,rx-y0y滿足約束條件工，若z=ax+y的最大值為4,則a=()

10、A . 3 B. 2C.- 2 D. - 3答案：B解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）.則 A （2, 0）, B （1,1）,若z=ax+y過(guò)A時(shí)取得最大值為4，則2a=4,解得a=2,目標(biāo)函數(shù)為z=2x+y ,即y= - 2x+z ,平移直線y= - 2x+z，當(dāng)直線經(jīng)過(guò) A （2, 0）時(shí)，截距最大，此時(shí) z最大為4,滿足條件， 若z=ax+y過(guò)B時(shí)取得最大值為4，則a+1=4，解得a=3，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為 z=3x+y , 即 y= - 3x+z，平移直線y= - 3x+z，當(dāng)直線經(jīng)過(guò) A （2，0）時(shí)，截距最大，此時(shí) z最大為6,不滿足條件， 故a=2rK216. （2

11、016?扶溝縣一模）設(shè) x，y滿足約束條件 任 _ ，若目標(biāo)函數(shù) z=ax+by （a 0, 川工b 0)A. 1的最小值為2,貝U ab的最大值為（答案：C2解：滿足約束條件2x - yl的可行域如下圖所示:m目標(biāo)函數(shù) z=ax+by （a 0, b 0） 故 ZA=2a+2b, zB=2a+3b,由目標(biāo)函數(shù)z=ax+by （a0, b0）的最小值為 2, 則 2a+2b=2，即 a+b=1則 abw=-24故ab的最大值為-47.其它型考題17. （2016?四川）設(shè) p:實(shí)數(shù) x, y 滿足（x- 1） 2+ （y - 1） 2l -k的可行域如圖有陰影部分所示，故p是q的必要不充分條件

12、18某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品 A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品 B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg, 用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品 A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè) 現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品 A、產(chǎn)品B 的利潤(rùn)之和的最大值為216000 元.解：(1)設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品每件分別是x件和y件，獲利為z元.1. 5k+0. EylBOx+0.90由題意，得*fx+O. 3y=9Q，解得：5x+3y=600Ly=100,A (60, 100),不等式

13、組表示的可行域如圖：由題意可得、300200ISOtoo-XSOYVv.,z=2100x+900y .-too目標(biāo)函數(shù)z=2100x+900y .經(jīng)過(guò)A時(shí)，直線的截距 最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值：2100 60+900 000=216000 元.答案為：216000 .19. (2016?天津)某化工廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，1扯皮甲種肥料和生產(chǎn) 1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如表所示:ABA, B , C三種主要原料，生產(chǎn)肥料甲483乙5510現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥 料.已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為2萬(wàn)元；生產(chǎn)1車品乙種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為 3萬(wàn)元、分別用x, y表示計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù).(1 )用x, y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2)問(wèn)分別生