等差數(shù)列及其性質(zhì)

1、等差數(shù)列及其性質(zhì)定義通項(xiàng)公式一、 知識網(wǎng)絡(luò)：等差數(shù)列1等差中項(xiàng)前n項(xiàng)和二、基礎(chǔ)回顧：1. an為等差數(shù)列，且 a7 2a4 = 1, a3= 0,則公差d=()11f cA 2B2C.2D - 22. 在等差數(shù)列an中，已知a3 =2，則該數(shù)列的前5項(xiàng)之和為(A ) 10( B)16(C)20( D) 323. 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=9 , S6 =36，則a7a8a9等于(A ) 63( B)45(C)36( D) 274. 已知等差數(shù)列an的公差d =-2, aa4a7d Ha9 50，那么a3a6a9J Ha99的值是(A ) 78( B) 82( C) 148 ( D

2、) 1825. 設(shè)Sn是等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和.已知a2 = 3, a6 = 11,則Sy等于()A. 13B. 35C. 49D. 6326. 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn二n ,則鬼的值為(A)15(B)16(C)49(D) 647. 設(shè)等差數(shù)列 GJ的前n項(xiàng)和為Sn,若q = 11, a4 a -6,則當(dāng)Sn取最小值時(shí),n等于A. 6 B . 7 C. 8 D . 9 8.等差數(shù)列an中，a +3ag +a15 =120，貝U 3a9 a 的值為.19.等差數(shù)列an中，a1, a2 a4,耳=3，貝U n 二3三、規(guī)律方法總結(jié)：1.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),nan 1 二

3、na中2等差數(shù)列的判定方法:(1)定義法：an1-an二d(d為常數(shù))(n n*) =an ?是等差數(shù)列;中項(xiàng)法：2an an an 2(n N*)u ：a是等差數(shù)列;通項(xiàng)公式法：an二kn b(k, b是常數(shù))(n N*)= & ? 是等差數(shù)列;(4)前n項(xiàng)和公式法：Sn =An2 Bn (A、B 是常數(shù))(n N*) = a/f 等差數(shù)列.(注：)SnAn2 Bn C (A、B是常數(shù)，C是不為o的常數(shù))(n N*)二 曲從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列.3等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Sn，則&，En，気-S2n為等差數(shù)列，公差為 n2d偶a m4若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 2n,n乙則有S偶-S奇二

4、nd ,匚 爲(wèi) an等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù) 2n 1, n 乙則S2n二=爲(wèi)，S禺，且9中S禺，I奇S偶n -1四、典型例題：熱點(diǎn)考向一：等差數(shù)列的基本量例1.在等差數(shù)列 an中,(1)已知Ss =48,氐=168，求3),和d(2)已知 a6 =10, S - 5，求 a8 和 S8變式訓(xùn)練：等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a10 = 30, a20 = 50.(1) 求通項(xiàng)公式an；(2) 若 Sn = 242，求 n .熱點(diǎn)考向二：等差數(shù)列的判定與證明1 2 *例 2：在數(shù)列an中，3 =1, an t =1, bn，其中 n N .4an2an -1(1) 求證：數(shù)列bj是等差數(shù)列；

5、(2) 求證：在數(shù)列an中對于任意的n N*，都有an an t .(3) 設(shè)g =(厲“，試問數(shù)列 cn中是否存在三項(xiàng)，使它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？如 果存在，求出這三項(xiàng)；如果不存在，請說明理由31跟蹤訓(xùn)練：已知數(shù)列an中，9i,數(shù)列an=2,(n2,nN”),數(shù)列 bn 滿足5bnj N )an -1(1 )求證數(shù)列 bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列 an中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)熱點(diǎn)考向三：等差數(shù)列前 n項(xiàng)和例3在等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.(1若a =20，并且3。=05，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn最大，并求出最大值;(2)若ai ：0，Sg二S2，則該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最小？跟蹤訓(xùn)練3：設(shè)等差數(shù)列an的前

6、n項(xiàng)和為Sn，已知a12,S120, S,3 : 0.(I)求公差d的取值范圍；(II )指出Si,S2,S3,Si2中哪一個(gè)最大，并說明理由。熱點(diǎn)考向四：等差數(shù)列的綜合應(yīng)用例4.已知二次函數(shù)y= f(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f' (x) = 6x 2,數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)列(n, Sn)(n N*)均在函數(shù)y= f(x)的圖象上.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；設(shè)bn= , Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求使得Tn<m對所有門 N*都成立的最小正整數(shù) m. anan+120變式訓(xùn)練：設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列g(shù)n :的前n項(xiàng)和為Sn,已知2aa1 a3，數(shù)列；Sn *是公差

7、為d的等差數(shù)列。(1) 求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式(用n,d表示)；(2) 設(shè)c為實(shí)數(shù)，對滿足m n = 3k且m = n的任意正整數(shù) m, n,k ,不等式Sm - Sn - cSk都成立。求證：9c的最大值為一。2等差數(shù)列及其性質(zhì)作業(yè)一、選擇題：1. 設(shè)an是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48,則它的首項(xiàng)是()(A )1( B) 2(C) 4(D) 62. 在等差數(shù)列 an中，a3= 9, a9= 3，貝V a12=()A . 0 B . 3 C. 6 D . 33. 在等差數(shù)列an中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，已知生=右則獸等于()a3 3S584016 5代新芮0硏.74. 數(shù)列a

8、n中，若2an二an/ an仆(n，N,n - 2)，則下列各不等式中成立的是()/ 、 一 2 2 * 2 2(A)a2a4_a3( b ) a2 a4 : a3( c )a2a4- a3( d ) a2a4-a315. 數(shù)列an中，a3 = 2, a?= 1，且數(shù)列J十是等差數(shù)列，則an等于()2 1 2A . ：B.；C.；D . 55 2 316. 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Si, a1 + a5 = 2S5,且a9= 20,則11=()A. 260 B. 220 C. 130 D. 110*7. 各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列 an中，若a2 an-1 an+i = 0(n N , n&g

9、t;2)，貝V S2009等于()A . 0 B . 2 C. 2009 D. 40188. 由下列各表達(dá)式確定的數(shù)列an:an - -5 ；an = n?；an - - n ；2Sn= a2an二n1，其中表示等差數(shù)列的序號是()(A)(B)(C)(D)9首項(xiàng)為31，公差為一6的等差數(shù)列an中，前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列Sn中與零最近的項(xiàng)是()(A )第9項(xiàng)(B)第10項(xiàng)(C)第11項(xiàng) (D)第12項(xiàng)二、填空題(4X 5 = 20分)9. 設(shè)等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn.若S9= 72,則a2 + a4 + ag=.10. 在等差數(shù)列an中，a3= 7, a5= a?+ 6，貝V a6=.11

10、. 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a6= S3= 12,則an的通項(xiàng)an =.12. 若an是等差數(shù)列，首項(xiàng) a1 > 0, a2003+ a2004 > 0 , a2003 a2004< 0，則使前 n項(xiàng)和Sn> 0成立的最大自然 數(shù)n是.三、解答題：13. 已知 an是公差不為零的等差數(shù)列，q = 1，且印,E ,爲(wèi)成等比數(shù)列.(I)求數(shù)列 an的通項(xiàng)；(n)求數(shù)列 2an的前n項(xiàng)和Sn14. 已知：an '是首項(xiàng)為19,公差為-2的等差數(shù)列，Sn為：aj的前n項(xiàng)和(I)求通項(xiàng)an及Sn ；(n)設(shè) 江-a.，是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn.15. 設(shè)a1, d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為 印，公差為d的等