三垂線(xiàn)定理及其逆定理

1、引例:正方體ABCD-ABCD (1)找平面AC的斜線(xiàn)BD在平面AC上的射影; (2)BD與AC的位置關(guān)系如何? ABCDABCDOD射影射影斜線(xiàn)斜線(xiàn)平面平面的垂的垂線(xiàn)線(xiàn)去掉多余線(xiàn)段后去掉多余線(xiàn)段后的模型的模型平面內(nèi)平面內(nèi)的直線(xiàn)的直線(xiàn)線(xiàn)段擴(kuò)展后線(xiàn)段擴(kuò)展后的模型的模型OAPa三垂線(xiàn)定理：在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果三垂線(xiàn)定理：在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果它和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直，那它和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)垂直。么它也和這條斜線(xiàn)垂直。平面內(nèi)平面內(nèi)斜線(xiàn)斜線(xiàn)直線(xiàn)直線(xiàn)射影射影 證明證明: PO ，a PO a，又又 a 平面平面POA，POOA=OAP 已知已知:PO,PA分

2、別是平面分別是平面的垂線(xiàn)的垂線(xiàn),斜線(xiàn)斜線(xiàn),OA是是PA 在在內(nèi)的射影內(nèi)的射影,a ,且且a OA.求證求證: a PA.若將若將aOA與與aAP交交換會(huì)怎樣換會(huì)怎樣?a O A, a PA.OA 平面平面POA，POAP=P這就是三垂這就是三垂線(xiàn)定理的逆線(xiàn)定理的逆定理定理OAPa三垂線(xiàn)定理的三垂線(xiàn)定理的逆逆定理：在平面內(nèi)的一條直定理：在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果它和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直，線(xiàn)，如果它和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影垂直。那么它也和這條斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影垂直。 a三垂線(xiàn)定理及逆定理涉及的幾何元素：三垂線(xiàn)定理及逆定理涉及的幾何元素：(1)(1)一個(gè)平面一個(gè)平面

3、; ;a (2)(2)四條直線(xiàn)四條直線(xiàn): : 平面的垂線(xiàn)平面的垂線(xiàn); ; 平面的斜線(xiàn)平面的斜線(xiàn); ; 斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影; ; 平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平面內(nèi)的一條直線(xiàn). . (3) (3)三個(gè)垂直三個(gè)垂直: : 直線(xiàn)與平面垂直直線(xiàn)與平面垂直; ; 平面內(nèi)的一條直線(xiàn)與斜線(xiàn)在平面內(nèi)的平面內(nèi)的一條直線(xiàn)與斜線(xiàn)在平面內(nèi)的 射影垂直射影垂直; ; 平面內(nèi)的一條直線(xiàn)與斜線(xiàn)垂直平面內(nèi)的一條直線(xiàn)與斜線(xiàn)垂直. .直線(xiàn)直線(xiàn)a 在一定要在在一定要在平面內(nèi)，如果平面內(nèi)，如果 a 不在平面內(nèi)，定理不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。就不一定成立。PAOa注意注意：如果將定理中如果將定理中“在平面內(nèi)在平面內(nèi)”的條件的

4、條件 去掉，結(jié)論仍然成立嗎？去掉，結(jié)論仍然成立嗎？b解題回顧解題回顧三垂線(xiàn)定理的逆定理 在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果和在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直，那這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直，那么，它也和這條斜線(xiàn)的射影垂么，它也和這條斜線(xiàn)的射影垂直。直。三垂線(xiàn)定理三垂線(xiàn)定理： 在平面在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果和這個(gè)平內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直，那面的一條斜線(xiàn)的射影垂直，那么，它就和這條斜線(xiàn)垂直。么，它就和這條斜線(xiàn)垂直。線(xiàn)射垂直線(xiàn)射垂直線(xiàn)斜垂直線(xiàn)斜垂直定定理理逆逆定定理理例例4 如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。已知：已知：BAC在平面在平面 內(nèi)，點(diǎn)內(nèi)，點(diǎn)P