波動(dòng)方程法疊前深度偏移3

1、§4.6 廣義屏法波動(dòng)方程疊前深度偏移本節(jié)基于波的散射理論，首先從波動(dòng)方程Green函數(shù)解出發(fā)，借助Born近似等一系列數(shù)學(xué)手段，導(dǎo)出廣義屏（GS）偏移算子。然后在小角度近似條件下，得到相屏（PS）偏移算子（分步Fourier算子）。為了克服廣義屏算子在計(jì)算中遇到奇點(diǎn)，特采用Taylor展開(kāi)方法得到擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏算子。接著我們對(duì)相屏算子和擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏（ELBF）算子在數(shù)值上做了脈沖測(cè)試，并用于凹陷模型的疊后深度偏移處理和復(fù)雜模型疊前深度偏移處理。一概述三維疊前深度偏移廣泛地應(yīng)用于地下復(fù)雜地質(zhì)體成像。對(duì)當(dāng)前工作量較大的三維成像問(wèn)題一般采用基于射線(xiàn)追蹤或

2、有限差分走時(shí)計(jì)算的Kirchhoff積分方法，但該方法在處理復(fù)雜構(gòu)造（如鹽丘或陡傾地層）時(shí)總存在困難（Hu & McMechan, 1986）。雖然基于有限差分方法的全方程逆時(shí)偏移對(duì)存在劇烈橫向速度變化的非均勻介質(zhì)也具有非常好的成像精度，但是，把該方法應(yīng)用于三維疊前深度偏移需要花費(fèi)較多的機(jī)時(shí)和占用巨大的計(jì)算機(jī)內(nèi)存容量，這些要求在目前是不太現(xiàn)實(shí)的。于是從20世紀(jì)80年代后期直至目前，地球物理學(xué)家們一直在尋求一種既方便快捷又準(zhǔn)確可靠的疊前深度偏移方法。要研究波動(dòng)方程偏移問(wèn)題，搞清楚波的傳播問(wèn)題是非常必要和有幫助的。在80年代中后期，Knepp與de Hoop等人為了研究波在隨機(jī)介質(zhì)中的傳播

3、問(wèn)題，在地震波場(chǎng)的疊加原理基礎(chǔ)上，基于速度場(chǎng)分解、波的散射理論以及波動(dòng)方程的Green函數(shù)解法來(lái)求解Helmholtz方程，提出了一種在頻率-波數(shù)域和頻率-空間域（雙域）交替進(jìn)行的波動(dòng)方程解法。這可以說(shuō)是屏方法的雛形。20世紀(jì)90年代初，Wu R.S.與de Hoop等在屏的雛形理論基礎(chǔ)上，通過(guò)一系列近似處理手段，發(fā)展成了較實(shí)用的廣義屏算法。這類(lèi)算法既可用于研究波（聲波或彈性波）的傳播問(wèn)題，又可用于地震波場(chǎng)成像。該類(lèi)方法認(rèn)為速度場(chǎng)可分解為層內(nèi)常速背景和層內(nèi)變速擾動(dòng)。對(duì)背景場(chǎng)相當(dāng)于解常速的聲波方程，可通過(guò)相移實(shí)現(xiàn)；對(duì)變速擾動(dòng)，可認(rèn)為這種非均勻性相當(dāng)于散射源（二次源），入射波場(chǎng)作用于這些散射源上，

4、由此產(chǎn)生散射波場(chǎng)。一般假設(shè)波場(chǎng)延拓層厚度較小，在薄板近似條件下，對(duì)散射場(chǎng)計(jì)算式的積分核采用不同的近似方法，如Born近似、De Wolf近似或Rytov近似等等，可以得到不同的散射波場(chǎng)延拓式。隨后在此基礎(chǔ)上，Wu R.S.和Huang L.J.等人把該類(lèi)方法發(fā)展成了廣義屏方法、相屏方法以及局部Born近似的屏方法和局部Rytov近似的屏方法。接著他們針對(duì)上述方法的一些不足之處做了進(jìn)一步的擴(kuò)展和改進(jìn)，提出了一系列新的屏算子，如擴(kuò)展的局部Born近似和Rytov近似的屏方法、擬線(xiàn)性局部Born近似的屏方法，等等。復(fù)雜模型及實(shí)際地震資料試驗(yàn)證明：這些算子能較準(zhǔn)確地描述地震波在隨機(jī)介質(zhì)中的傳播特征（入

5、射、反射、散射和透射等等），并在波動(dòng)方程偏移成像應(yīng)用中具有較好的效果。近年來(lái)，西方許多石油公司對(duì)該類(lèi)算法產(chǎn)生了濃厚的興趣，并逐步投向生產(chǎn)。 本節(jié)基于這類(lèi)屏方法的思路，首先簡(jiǎn)要介紹各種廣義屏算子的基本原理。為了驗(yàn)證相屏算子和擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏算子，我們進(jìn)行了常速和變速介質(zhì)中的脈沖響應(yīng)試算，然后把它們應(yīng)用于深度偏移成像中，進(jìn)行了凹陷模型爆炸反射記錄的疊后深度偏移試驗(yàn)和對(duì)Marmousi模型炮記錄的疊前深度偏移試驗(yàn)。結(jié)果表明：相屏算子在速度場(chǎng)中等程度橫向變化的情況下，能較準(zhǔn)確地描述地震波場(chǎng)的傳播過(guò)程，對(duì)較復(fù)雜的地質(zhì)構(gòu)造具有較好的成像效果，且該算子具有穩(wěn)定、高效的優(yōu)點(diǎn)。擴(kuò)展的局部Born近

6、似的廣義屏算子是條件穩(wěn)定的。它一般要求深度延拓步長(zhǎng)要小，且步長(zhǎng)與頻率呈反比變化，所以最好采用變步長(zhǎng)延拓方式。最后是結(jié)論與討論部分。二廣義屏偏移方法的基本原理聲波方程的Helmholtz形式為： （4-135）式中，為頻率-空間域波場(chǎng)，為水平坐標(biāo)分量。且，為圓頻率，為介質(zhì)速度場(chǎng)。假定為背景速度，它在層內(nèi)是一常數(shù)。從而（4-135）式可寫(xiě)成： （4-136）若定義， （4-137）則（4-136）式可表示為： （4-138）式中，等號(hào)右邊為速度擾動(dòng)引起的散射源。按照地震波場(chǎng)的疊加原理，如果把總的波場(chǎng)認(rèn)為是入射波場(chǎng)和散射波場(chǎng)的和，則有： （4-139）對(duì)于背景介質(zhì)中的波場(chǎng)滿(mǎn)足方程： （4-140）由

7、于層內(nèi)背景速度為常數(shù)，故可由相移法求解，對(duì)正向傳播的波場(chǎng)有： （4-141）式中，。把（4-139）式、（4-140）式代入（4-138）式得到散射場(chǎng)方程： （4-142）（4-142）式右端項(xiàng)表示由于總場(chǎng)作用于介質(zhì)后，由介質(zhì)的非均勻性引起的散射源（也稱(chēng)為二次源）。方程（4-142）可以用Green函數(shù)法求解。因而有： （4-143）利用Green公式： （4-144）這里?。?，并把（4-142）式和（4-143）式代入（4-144）式有： （4-145）（4-145）式進(jìn)而寫(xiě)成： （4-146）為了簡(jiǎn)化，對(duì)于無(wú)限均勻介質(zhì)，對(duì)無(wú)窮遠(yuǎn)邊界，（4-146）式的右端積分為零。因此： （4-147）

8、（4-147）式即為計(jì)算散射場(chǎng)的公式。它可以解釋為：?jiǎn)挝稽c(diǎn)源產(chǎn)生的場(chǎng)乘以點(diǎn)散射源的強(qiáng)度，然后在整個(gè)源分布范圍內(nèi)積分，可以得到散射場(chǎng)。則總的波場(chǎng)為： （4-148）式（4-148）為屏算子的出發(fā)點(diǎn)。在屏近似處理下，如圖4-32示，在層形成的薄板中非均勻體產(chǎn)生的波場(chǎng)相當(dāng)于由薄板中央處的一個(gè)屏產(chǎn)生。對(duì)方程（4-147）采用de Wolf近似，總場(chǎng)寫(xiě)成：圖4-32 廣義屏模型示意圖 （4-149）式中，為正向散射場(chǎng)，自由空間的Green函數(shù)采用其de Wolf近似形式。為了加速散射場(chǎng)的計(jì)算，特把（4-149）式中的散射場(chǎng)計(jì)算式做局部的Born近似，即用常速介質(zhì)中的Green函數(shù)取代，并做薄板近似和屏近

9、似，有： （4-150）式中，為水平坐標(biāo)分量， （4-151）把（4-151）式代入（4-150）式可得： （4-152）注意到（4-152）式中的二維積分實(shí)際為二維Fourier變換。因此，采用雙域技巧（即在頻率-波數(shù)域和頻率-空間域交替計(jì)算），（4-152）式可表示為：（4-153）由（4-141）式、（4-149）式及（4-153）式可以得到正向傳播的總的波場(chǎng)表達(dá)式為： （4-154）式（4-154）中，為關(guān)于的二維Fourier變換。且 （4-155）對(duì)于反向傳播的波場(chǎng)，僅需將（4-154）式中前的符號(hào)反向即可。到此我們得到了可用來(lái)進(jìn)行波場(chǎng)延拓的廣義屏算子。三廣義屏算子的小角度近似及相

10、屏算子當(dāng)波傳播角度與波的主要傳播方向（及軸正向）接近時(shí)，通常我們對(duì)上述廣義屏算子做如下的小角度近似： （4-156）則（4-154）式可以寫(xiě)成： （4-157）再利用近似：則（4-157）式進(jìn)一步表示為： （4-158）因?yàn)椋?-158）式中的核包含一步相移，所以我們稱(chēng)該算子為相屏算子。若采用近似： （4-159）（4-158）式變?yōu)榉植紽ourier算子： （4-160）四擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏算子如果不做小角度近似，將用Taylor展開(kāi)，有： （4-161）且： （4-162）把（4-161）式代入（4-154）式，得到 （4-163）進(jìn)一步化簡(jiǎn)為： （4-164）（4-164）式

11、即為擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏算子。我們稱(chēng)（4-164）式前后兩項(xiàng)分別為擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏算子的相屏項(xiàng)和補(bǔ)償項(xiàng)。在小角度近似條件下，它又退化為相屏算子（僅保留相屏項(xiàng)）。如果對(duì)用連分式展開(kāi)，并設(shè)：，有： （4-165）則（4-164）式中的補(bǔ)償項(xiàng)(第二項(xiàng))變?yōu)椋?（4-166）用相移處理可以求解補(bǔ)償波場(chǎng)，也可把上式變換成微分形式：（4-167）這也是雙域表達(dá)式，在頻率-空間域和頻率-波數(shù)域交替進(jìn)行計(jì)算。對(duì)某一延拓步，擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏算子在速度場(chǎng)橫向變化非常劇烈或者頻率非常高時(shí)，可能不可靠甚至不穩(wěn)定。這就是說(shuō)，該算子是條件穩(wěn)定的，其穩(wěn)定條件為： （4-168）這里為小

12、的正實(shí)數(shù)。為了使該算法始終穩(wěn)定，我們?cè)谘油剡^(guò)程中調(diào)整延拓步長(zhǎng)，以便滿(mǎn)足（4-168）式。實(shí)際應(yīng)用中，一般取0.15。本節(jié)利用上面推導(dǎo)出來(lái)的相屏算子(4-158)式或（4-160）式，擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏算子（4-164）式，進(jìn)行了脈沖響應(yīng)、凹陷模型疊后深度偏移及Marmousi模型疊前深度偏移試驗(yàn)。五單炮疊前深度偏移流程基于共炮點(diǎn)道集的疊前深度偏移是對(duì)每一炮分別成像，然后把所有炮的成像值在相應(yīng)的空間位置疊加，最后得到整個(gè)成像剖面。對(duì)某一炮，在每一步深度延拓過(guò)程中，先分別對(duì)震源波場(chǎng)和當(dāng)前炮記錄波場(chǎng)按各自的延拓公式計(jì)算，然后依據(jù)兩種延拓波場(chǎng)按成像公式求取成像值。接著以延拓后的波場(chǎng)作為下一

13、層延拓的初值，進(jìn)行同樣的延拓和成像計(jì)算。下面這個(gè)流程圖（圖4-33）直觀(guān)地反映了廣義屏算法單炮疊前深度偏移成像的過(guò)程。六數(shù)值試算下面從脈沖響應(yīng)、凹陷模型疊后深度偏移處理和Marmousi模型疊前深度偏移處理來(lái)驗(yàn)證相屏算子和擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏算子的性能。1脈沖響應(yīng)測(cè)試首先，對(duì)比相屏深度偏移算子在常速介質(zhì)和不同速度擾動(dòng)程度的介質(zhì)（取不同值）中的脈沖響應(yīng)曲線(xiàn)。脈沖放置在，處。以下各圖中的虛線(xiàn)表示理想的脈沖響應(yīng)曲線(xiàn)，為一半圓，實(shí)線(xiàn)為實(shí)際介質(zhì)中的脈沖響應(yīng)曲線(xiàn)。所有情況的介質(zhì)速度都為，當(dāng)參考速度分別取、和時(shí)，對(duì)應(yīng)不同的脈沖響應(yīng)曲線(xiàn)，它們可以反映算子適應(yīng)橫向速度變化的能力。深度延拓步長(zhǎng)為12m。

14、如圖4-34a所示，當(dāng)時(shí)，參考速度與實(shí)際速度相同，即為均勻常速介質(zhì)，此時(shí)相屏算子的脈沖響應(yīng)曲線(xiàn)與理論曲線(xiàn)完全重合。這正如我們所料，當(dāng)速度不存在擾動(dòng)時(shí)，相屏深度偏移算子的最大偏移傾角可達(dá)到。然而，當(dāng)速度存在微小擾動(dòng)，如我們?nèi)r(shí)，其脈沖響應(yīng)曲線(xiàn)如圖4-34b所示?？梢?jiàn)在傳播角度較?。s）時(shí)，實(shí)際脈沖響應(yīng)曲線(xiàn)與理論曲線(xiàn)吻合得較好，隨著角度的增大，二者開(kāi)始偏離。如速度擾動(dòng)進(jìn)一步增強(qiáng)，當(dāng)時(shí)，算子的脈沖響應(yīng)曲線(xiàn)如圖4-34c所示，可見(jiàn)最大偏移傾角進(jìn)一步減小。當(dāng)時(shí)，速度的擾動(dòng)該炮疊前記錄當(dāng)前炮震源模擬記錄按疊前成像條件，由延拓后的頻率域上、下行波場(chǎng)相關(guān)求和，得到深度域的成像值層內(nèi)相屏項(xiàng)時(shí)移處理層內(nèi)相屏項(xiàng)時(shí)移

15、處理和FFT變換到頻率-波數(shù)域?qū)虸FFT變換到頻率-空間域求和，得到層內(nèi)補(bǔ)償項(xiàng)時(shí)移處理層內(nèi)補(bǔ)償項(xiàng)時(shí)移處理和FFT變換到頻率-波數(shù)域FFT變換到頻率域FFT變換到頻率域?qū)觾?nèi)相屏項(xiàng)相移處理層內(nèi)相屏項(xiàng)相移處理層內(nèi)補(bǔ)償項(xiàng)相移處理層內(nèi)補(bǔ)償項(xiàng)相移處理對(duì)和IFFT變換到頻率-空間域求和，得到圖4-33 廣義屏法疊前深度偏移單炮成像流程示意圖程度非常強(qiáng)，這時(shí)的脈沖響應(yīng)曲線(xiàn)（見(jiàn)圖4-34d）的兩翼與理想的半圓就存在較大的偏差了。圖4-35a為擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏算子的常速脈沖響應(yīng)，它和理論曲線(xiàn)重合。在計(jì)算變速脈沖響應(yīng)時(shí)，由于該算法在強(qiáng)橫向速度變化的情況下計(jì)算不穩(wěn)定，故采取減小延拓步長(zhǎng)和減少對(duì)高頻成分

16、計(jì)算的辦法，得到了深度延拓步長(zhǎng)為1.25m的變速脈沖響應(yīng)，如圖4-35b所示，單從曲線(xiàn)形狀上看，擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏算子精度要高于同等條件下 的相屏算子，但由于計(jì)算上的不穩(wěn)定，該脈沖響應(yīng)底部存在強(qiáng)的陰影。從以上各種速度擾動(dòng)情況下的脈沖響應(yīng)曲線(xiàn)可以看出：廣義屏深度偏移算子能適應(yīng)較強(qiáng)的速度場(chǎng)的橫向變化，而且脈沖波形圓滑，不存在頻散，但計(jì)算時(shí)需要處理非穩(wěn)定情況。2凹陷模型疊后深度偏移試驗(yàn)如果我們僅用上行波算子進(jìn)行爆炸反射記錄波場(chǎng)的深度外推，并用疊后偏移成像條件求取成像值，則可實(shí)現(xiàn)疊后自激自收數(shù)據(jù)的偏移成像。我們采用的爆炸反射記錄的速度模型如圖4-4所示（見(jiàn)第三節(jié)），該模型為三層，速度分別為

17、：、和。第一個(gè)速度界面中間呈凹陷型。速度場(chǎng)維數(shù)為250×100，道間距為15.0m，深度采樣間隔為12.0m。采用波動(dòng)方程有限差分法正演模擬，得到如圖4-36所示的合成爆炸反射記錄。共250道，每道時(shí)間樣點(diǎn)為1000，時(shí)間采樣率為1ms。從圖中可見(jiàn)：由于第二層中的速度場(chǎng)存在劇烈的橫向變化，故自激自收剖面中對(duì)應(yīng)第二層界面的同相軸產(chǎn)生明顯的畸變。首先采用的深度延拓步長(zhǎng)是12.0m，圖4-37為該延拓步長(zhǎng)下的相屏法疊后深度偏移結(jié)果，成像效果非常好，達(dá)到了預(yù)期的目的。在該延拓步長(zhǎng)下，采用擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏算法進(jìn)行疊后深度偏移，由于計(jì)算不收斂，得到的結(jié)果不理想。通過(guò)減小深度延拓步長(zhǎng)

18、，可以改善成像效果。圖4-38為深度延拓步長(zhǎng)6.0m時(shí)的疊后深度偏移剖面，圖4-39為深度延拓步長(zhǎng)1.5m時(shí)的疊后深度偏移剖面，可見(jiàn)隨延拓步長(zhǎng)遞減，擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏疊后深度偏移的效果變得越來(lái)越好。但從構(gòu)造形態(tài)和振幅角度上看，該偏移算法還有待于進(jìn)一步改進(jìn)。3Marmousi模型疊前深度偏移試驗(yàn)為了檢驗(yàn)該廣義屏疊前深度偏移算法，我們采用了SEG/EAGE用于檢驗(yàn)疊前深度偏移成像方法性能的Marmousi模型。模型速度場(chǎng)如圖4-7所示（見(jiàn)第三節(jié)），維數(shù)為497×750, 速度場(chǎng)橫向間距為12.5m，最大深度為3000.0m，深度采樣間隔為4.0m。該速度場(chǎng)的橫向變化非常劇烈，

19、因而用于疊前深度偏移方法試驗(yàn)非常實(shí)用有效。該模型的正演模擬炮記錄共有240炮，每炮96道接收，為右邊放炮方式，最小炮檢距為200m，最大炮檢距為2575m，道間距為25m，道長(zhǎng)為750，時(shí)間采樣率為4ms。我們選取第120炮進(jìn)行單炮疊前深度偏移成像，為了考慮到偏移孔徑問(wèn)題，特依據(jù)觀(guān)測(cè)方式特點(diǎn)，左右兩邊分別加零道數(shù)5道和75道，圖4-40顯示了加零道后的第120炮記錄波場(chǎng)，它作為該炮延拓成像的輸入。當(dāng)然，加零道只是一種較簡(jiǎn)單實(shí)用的處理，更合理的辦法是按炮檢互易的原理，將原單邊放炮記錄抽成雙邊放炮記錄，然后再延拓成像。波場(chǎng)延拓之前，對(duì)炮記錄做了頻率帶通濾波處理，濾波窗為3-8-60-70Hz。第1

20、20炮的相屏疊前深度偏移成像剖面如圖4-41所示。可見(jiàn)單炮偏移能夠把該炮覆蓋區(qū)域的地質(zhì)層位的像成出來(lái)，只是一些同相軸能量較弱。所以，我們通過(guò)多炮偏移結(jié)果的疊加處理可以實(shí)現(xiàn)有效信號(hào)的同相加強(qiáng)，提高信噪比，從而得到整個(gè)地下的成像剖面。相屏多炮偏移剖面如圖4-42所示。它是在選取了合適的震源子波，在延拓成像前做了頻率濾波（濾波范圍為：0-8-70-80Hz）后得到的成像剖面。從偏移結(jié)果可以看出：該方法對(duì)Marmousi模型的疊前深度偏移成像效果比較好。淺層的三套斷層在成像剖面上各自的形態(tài)得到了清晰的展示，斷層面整齊明晰；中部的背斜構(gòu)造也準(zhǔn)確地反映出來(lái)了；大家最感興趣的是深層2500m附近嵌在底部中間

21、背斜地層中的小低速體，在成像剖面中具有清晰的形態(tài)和邊界。如果采用擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏疊前深度偏移算法，若采用延拓步長(zhǎng)為4m，得到的第120炮單炮偏移和整個(gè)模型偏移剖面如圖4-43和圖4-44所示。從圖中發(fā)現(xiàn)在速度場(chǎng)變化劇烈的地方，成像波形有畸變。通過(guò)把延拓步長(zhǎng)減小到2m，參與計(jì)算的高頻上限由70Hz變?yōu)?0Hz，得到的第120炮單炮偏移和整個(gè)模型偏移剖面如圖4-45和圖4-46所示?？梢?jiàn)擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏疊前深度偏移算法的穩(wěn)定性受速度場(chǎng)、最高頻率成分和延拓步長(zhǎng)的控制，在滿(mǎn)足約束條件的情況下，成像效果還是比較好的。七結(jié)論與討論基于波的散射理論，從波動(dòng)方程Green函數(shù)解法出發(fā)，借助Born近似等一系列數(shù)學(xué)手段，導(dǎo)出了廣義屏偏移算子。在小角度近似下可得到相屏偏移算子（分步Fourier算子）。為了克服廣義屏算子在計(jì)算中遇到的奇點(diǎn)，特采用Taylor展開(kāi)方法得到擴(kuò)展的局部Born近似的廣義屏算子。通過(guò)原理分析和數(shù)值試驗(yàn)，我們認(rèn)為，廣義屏算法是研究波的傳播和成像問(wèn)題的一種較有潛力和發(fā)展前景的方法。盡管相屏算