梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力

1、梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力在確定了梁橫截面的內(nèi)力之后， 還需要進一步研究橫截面上的應(yīng)力與截面內(nèi)力之間的定量關(guān)系，從而建立梁的強度設(shè)計條件，進行強度計算。1、純彎曲與橫力彎曲從火車軸的力學(xué)模型為圖 2-53a 所示的外伸梁。 畫其剪力、彎矩圖（見圖 2-53b 、c）, 在其 AC、BD段內(nèi)各橫截面上有彎矩 M和剪力 FQ 同時存在，故梁在這些段內(nèi)發(fā)生彎曲變形的同時還會發(fā)生剪力變形， 這種變形稱為剪力彎曲， 也稱為橫力彎曲。在其 CD段內(nèi)各段截面， 只有彎矩 M而無剪力 FQ，梁的這種彎曲稱為純彎曲。2、梁純彎曲時橫截面上的正應(yīng)力如圖 2-54a 所示，取一矩形截面梁，彎曲前在其表面兩條橫向線 m

2、m和 nn，再畫兩條縱向線 aa 和 bb，然后在其兩端外力偶矩 M，梁將發(fā)生平面純彎曲變形（見圖 2-54b) 。此時可以觀察到如下變形現(xiàn)象：橫向線 mm和 nn 任為直線且與正向線正交， 但繞某點相對轉(zhuǎn)動了一個微小角度。縱向線 aa 和 bb 彎成了曲線，且 aa 線縮短，而 b b 線伸長。由于梁內(nèi)部材料的變化無法觀察，因此假設(shè)橫截面在變形過程中始終保持為平面，這就是純梁彎曲時的；平面假設(shè)?？梢栽O(shè)想梁由無數(shù)條縱向纖維組成，且縱向纖維間無相互的擠壓作用，處于單向受拉或受壓狀態(tài)。從圖 2-54b 中可以看出，；梁春彎曲時，從凸邊纖維伸長連續(xù)變化到凹邊纖維縮短，期間必有一層纖維既不伸長也不縮短

3、，這一縱向纖維層稱為中性層（見圖 2-54c ）。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。 梁彎曲時， 橫截面繞中心軸繞動了一個角度。由上述分析可知，矩形截面梁彎曲時的應(yīng)力分布有如下特點：中性軸的線應(yīng)變?yōu)榱?，所以其正?yīng)力也為零。距中性軸距離相等的各點， 其線應(yīng)變相等。 根據(jù)胡克定律， 它們的正應(yīng)力也必相等。在圖 2-54b 所示的受力情況下， 中性軸上部分各點正應(yīng)力為壓應(yīng)力 （即負值），中性軸下部分各點正應(yīng)力為拉應(yīng)力（即正值） 。橫截面上的正應(yīng)力沿y 軸呈線性分布，即ky （k 為特定常數(shù)），如圖 2-55 、圖 2-56 所示。最大正應(yīng)力（絕對值）在離中性軸最遠的上、下邊緣處。由于距離中性層上、 下

4、的縱向纖維的線應(yīng)變與到中性層的距離y 成正比，當其正應(yīng)力不超過材料的比例極限時，由胡克定律可知yEE ?E ? y2-24對于指定的橫截面，E 為常數(shù)（即為上述 k 的值）看，由于此時梁軸線的曲率半徑還是一個未知量，通過靜力學(xué)平衡關(guān)系z (F ) =0，可得圖 2-55 正應(yīng)力分布圖圖 2-56 梁純彎曲時橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力ydA M2-25A將公式 (2-24)代入（ 2-25 ），得E y2 dAEy 2dA MAA令I(lǐng) zy 2dAA為截面對中性軸z 軸的軸慣性矩 (mm4 ) ，則1 M EI z這是研究梁變形的一個基本公式，式中EI z 稱為梁的抗彎剛度。將公式（ 2-26 ）代入（ 2-24 ），即得到梁在純彎曲時截面上任一點處的正應(yīng)力計算公式：MyI z為計算梁橫截面上的最大正應(yīng)力，可定義抗彎截面系數(shù) WzI z，則式（ 2-27 ），ym ax可寫作：maxMWz式中M截面上的彎曲（ N·mm）；3Wz抗彎截面系數(shù)（ mm） .I z 和 Wz 是僅與截面幾何尺寸有關(guān)的量，常用型鋼的I z 和 Wz 可在有關(guān)設(shè)計手冊中查得。式（ 2-27 ）和（ 2-28 ）是由梁受純彎曲變形推導(dǎo)出的，但只要梁具有縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用在其縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁的跨度又較大的，橫力彎曲也可