融入數(shù)學(xué)史教學(xué)的幾個(gè)教學(xué)案例

1、對(duì)于“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”的幾點(diǎn)教學(xué)建議課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的主要途徑，在高中數(shù)學(xué)中融入數(shù)學(xué)史的教育體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)理念中的”體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”。以下是我對(duì)融入數(shù)學(xué)史教學(xué)的幾點(diǎn)建議。【建議 1】復(fù)數(shù)概念學(xué)習(xí)中介紹復(fù)數(shù)的發(fā)展史復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)是數(shù)的概念的又一次擴(kuò)充，由于剛剛接觸復(fù)數(shù)，很多學(xué)生感覺(jué)不易理解、無(wú)法接受，這時(shí)他們往往把原因歸咎于自身的智力，甚至對(duì)自己的學(xué)習(xí)能力產(chǎn)生懷疑。如果能讓學(xué)生了解他們遇到的困難也正是在 18 世紀(jì)困擾著當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界的難題，他們遇到的困惑也曾經(jīng)同樣困擾著很多偉大的數(shù)學(xué)家，那么通過(guò)還原歷史的原貌，就可以使他們更加親近數(shù)學(xué)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。在復(fù)數(shù)的教學(xué)中，老師可以指導(dǎo)學(xué)

2、生利用圖書館、互聯(lián)網(wǎng)搜集信息，了解數(shù)的發(fā)展歷史，如：數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)、數(shù)的發(fā)展、數(shù)學(xué)家的故事等，在課外查找資料的過(guò)程本身就是學(xué)生的一個(gè)學(xué)習(xí)的過(guò)程，在課堂教學(xué)中可以先讓學(xué)生用一、兩分鐘來(lái)講歷史上關(guān)于復(fù)數(shù)故事。下面是具體的設(shè)計(jì)內(nèi)容：1545 年，意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在所著的重要的藝術(shù)的第 37 章中，列出并解出了把 10 分成兩部分，使其乘積為 40 的問(wèn)題，方程是 X (10-X) = 40 ，他求得根為5-和5，然后說(shuō)，“不管會(huì)受到多大的良心責(zé)備”，把5-和5 相乘得乘積為25-(-15)，即 40?？柕ぴ诮馊畏匠虝r(shí)，又一次運(yùn)用了負(fù)數(shù)的平方根?？柕た隙素?fù)數(shù)的平方根的用處。數(shù)學(xué)家為此創(chuàng)造

3、了“虛數(shù)”，以符號(hào)表示，并規(guī)定，1 的平方根當(dāng)然就是 了。這樣一來(lái)，負(fù)數(shù)開平方的難題就迎刃而解。這就是科學(xué)的創(chuàng)新精神。然而，用表示虛數(shù)的單位，卻是直到 18 世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)家歐拉提出的，這看似簡(jiǎn)單的符號(hào)卻經(jīng)歷了兩百多年才出現(xiàn)，這就是數(shù)學(xué)發(fā)展的艱辛歷程。“實(shí)數(shù)”、“虛數(shù)”這兩個(gè)詞是由法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾在 1637 年率先提出來(lái)的。后人在這兩個(gè)成果的基礎(chǔ)上，把實(shí)數(shù)和虛數(shù)結(jié)合起來(lái)，記為a +b表的形式，稱為復(fù)數(shù)。在虛數(shù)剛進(jìn)入數(shù)的領(lǐng)域時(shí)，人們對(duì)它的用處一無(wú)所知。實(shí)際生活中也沒(méi)有用復(fù)數(shù)來(lái)表示的量，因而，最初人們對(duì)虛數(shù)產(chǎn)生懷疑和不接受的態(tài)度。18 世紀(jì)對(duì)于“虛數(shù)”的爭(zhēng)論讓很多數(shù)學(xué)家非常困惑，到 19 世紀(jì)仍

4、然對(duì)此爭(zhēng)論不休。對(duì)于 ，柯西說(shuō)：“我們可以毫無(wú)遺憾地完全否定和拋棄一個(gè)我們不知道它表示什么，也不知道應(yīng)該讓它表示什么的數(shù)”;哈密爾頓也置疑“在這樣一種基礎(chǔ)上，哪里有什么科學(xué)可言”;大數(shù)學(xué)家歐拉對(duì)于虛數(shù)概念也是不甚了了。在代數(shù)學(xué)引論中，他寫道：“因?yàn)樗锌梢韵胂蟮臄?shù)要么大于零，要么小于零，要么等于零，所以負(fù)數(shù)的平方根顯然是不能包含在這些數(shù)之中的 ，因此我們必須說(shuō) ,它們是不可能的數(shù)它們通常被稱為想象的數(shù)，因?yàn)樗鼈冎淮嬖谟谙胂笾小Ｓ腥さ氖?，?duì)此抱否定態(tài)度的愛(ài)因斯坦，卻恰恰是他先把復(fù)數(shù)運(yùn)用到了物理學(xué)領(lǐng)域。讓學(xué)生了解這些史實(shí)，可以增進(jìn)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與信心?！窘ㄗh2】古題新用，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)對(duì)于已經(jīng)

5、掌握了一定數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)史上的古題仍然能使他們引起興趣 ,激發(fā)求知欲。古題新用，在挖掘數(shù)學(xué)史中古題的思想方法的基礎(chǔ)上，將之用于新的數(shù)學(xué)問(wèn)題思考中，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。【古題】阿拉伯分羊故事：有個(gè)牧羊人，在臨終前要把他所有的財(cái)產(chǎn)17 只羊，分給他的三個(gè)兒子，要求大兒子得羊總數(shù)的一半，二兒子得羊總數(shù)的三分之一，小兒子得羊總數(shù)的九分之一，但羊不能殺死或賣掉，三個(gè)兒子絞盡腦汁，也想不出分羊的辦法，于是他們只好求助于一位草原上眾所周知的智者。智者帶來(lái)了他自己的一只羊，再讓三兄弟重新分，于是大兒子牽了 18 只羊的一半九只，二兒子拉了 18 只羊的三分之一六只，小兒子領(lǐng)走 18 只羊的九分之

6、一 兩只，剩下一只歸還給聰明人，問(wèn)題終于解決了。這分羊問(wèn)題在實(shí)際上能行得通，但不合常理，而在數(shù)學(xué)上是完全合理的，但這一借一還的巧妙思維，卻給我們解決一些真正的數(shù)學(xué)問(wèn)題有很大的啟發(fā)和幫助作用?！拘掠谩吭谇鬅o(wú)窮等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和的教學(xué)中，有這樣一題，某汽水商店有個(gè)規(guī)定，3 個(gè)空汽水瓶可以換一瓶汽水喝。有位顧客買了 10 瓶汽水，問(wèn)題是他最多能喝幾瓶汽水？我們不妨這樣想：這位顧客先喝 10 瓶汽水，得到 10 個(gè)空汽水瓶，可以再換三瓶汽水又余一只空瓶，喝完這 3 瓶汽水后，他手上又有 4 只空瓶，可以再換一瓶汽水，余兩個(gè)空瓶。于是這個(gè)人最多能喝 14 瓶汽水而余兩個(gè)空瓶，那么 ，余下的兩個(gè)空瓶不是

7、浪費(fèi)了嗎？受分羊問(wèn)題的啟發(fā)，我們不妨讓顧客先借一個(gè)空瓶，這樣又可以換來(lái)一瓶汽水，喝罷再還別人一只瓶子，如此，就發(fā)揮了最大的效益，不浪費(fèi)一只瓶子，共喝了15 瓶汽水。于是，15 瓶才是正確答案。有人說(shuō)這一思維問(wèn)題方式和分羊問(wèn)題一樣，在情理上還講得過(guò)去，但在數(shù)學(xué)理論上卻是行不通的。而事實(shí)上，如果運(yùn)用無(wú)窮等比數(shù)列前幾項(xiàng)的求和理論，這種思維的正確性是不難證明的。我們知道，在無(wú)窮等比數(shù)列中，當(dāng)公比 |q| <1 時(shí)，這個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列（n=1,2,3）前 n 項(xiàng)和就為：結(jié)合汽水問(wèn)題，有,q = ，于是這一數(shù)列為 10, 10×,10所以,某人最多可喝到汽水的瓶數(shù)，正是數(shù)列各項(xiàng)和 S，從而S

8、=10+10×+10+=因此，最多喝 15 瓶是有理論根據(jù)的，理論上也是可以行得通的，這一思維方式不但合情，而且也合理?！窘ㄗh3】極坐標(biāo)的建立,增加學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)數(shù)學(xué)的本意在于描述世界，是人類在認(rèn)識(shí)和改造世界過(guò)程中獲得進(jìn)展的一種工具，數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史本身就是一部數(shù)學(xué)應(yīng)用的歷史。數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)端的原動(dòng)力是應(yīng)用，終極目標(biāo)也是應(yīng)用。在教學(xué)過(guò)程中強(qiáng)調(diào)應(yīng)用意識(shí)，能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。比如，在學(xué)習(xí)建立極坐標(biāo)系時(shí)，習(xí)慣了直角坐標(biāo)系的學(xué)生表現(xiàn)出較大的不適應(yīng)性，所以在教學(xué)時(shí)不妨引用數(shù)學(xué)史中笛卡兒的解析幾何思想的最初一閃念。據(jù)說(shuō)是在他注視一只蒼蠅在天花板的一角爬行時(shí)，想到只要知道蒼蠅與相鄰兩墻的距離之間的關(guān)系，就能描述蒼蠅爬行的路線，這個(gè)故事讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)的直覺(jué)來(lái)源于實(shí)際生活。接下來(lái)，我們可以創(chuàng)設(shè)問(wèn)題環(huán)境：一艘軍艦行駛在海上，發(fā)現(xiàn)敵艦在某個(gè)方向，問(wèn)你如何向炮手下達(dá)命令使之迅速瞄準(zhǔn)并開火？問(wèn)題的實(shí)質(zhì)仍是在一個(gè)平面上如何去確定一個(gè)點(diǎn)的位置。通常學(xué)生想到建立直角坐標(biāo)系，然后由橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)確定目標(biāo)的方向和距離，提示