電磁場與電磁波答案(第四版)謝處方.

1、第一章習(xí)題解答1.1 給定三個矢量A、B和C 如下：Aexey 2 ez 3Bey 4 ezCex5ez 2求：（ 1） aA ；（ 2） AB ；（3） A B ；（4）AB ；（ 5） A 在 B 上的分量；（ 6） AC ；（7） A (B C)和(A B) C ；（8）(A B)C和A (B C)。解 （ 1） a AAexey2 ez 3ex1ey2ez3A1222( 3)2141414（2）A B(exey 2 ez3) ( ey 4 ez )exey 6 ez 453（ 3）A B(e e 2 e 3) ( e 4 e ) 11xyzyz（4）由 c o s ABA B1 11

2、711，得ABc o s1 (11 )135.5A B1 42 3 8238（5） A在B上的分量ABA c os ABA B11B17exeyez（6）A C123ex 4 ey13 ez10502exeyez（7）由于 B C041ex 8 ey 5 ez 20502exeyezA B123ex10 ey1 ez 4041所以A (BC )(exey 2ez 3) (ex8ey 5 ez 20)42( A B) C ( ex10 ey1 ez 4) ( ex 5 ez 2)42exeyez（8）(A B) C101 4 ex 2 ey 40 ez5502A(BC)exeyez1 23xy4

3、4ze 55ee 1185201.2三角形的三個頂點為P1(0,1, 2) 、 P2 (4,1,3)和 P3 (6,2,5) 。（ 1）判斷PP P 是否為一直角三角形；123（ 2）求三角形的面積。解 （ 1）三個頂點 P1 (0,1,2) 、 P2 (4,1,3)和 P3 (6,2,5) 的位置矢量分別為r1eyez 2 ， r2ex 4ey ez 3 ， r3ex 6 ey 2 ez5則R12r2r1ex 4 ez ，R2 3 r 3 r 2 ex 2 eyez8 ，R31r1r3ex 6 eyez 7由此可見R12 R23(ex 4 ez ) (ex 2 eyez 8) 0故 PP12

4、 P3為一直角三角形。（ 2）三角形的面積S1 R12R 2 31 R12R 2 31 1 769 17. 132221.3求 P (3,1,4) 點到 P(2,2,3) 點的距離矢量R及R的方向。解rPex3 ey ez 4 ， rPex 2 ey 2 ez 3，則RP PrPrPex 5 ey 3 ez且 RP P 與 x 、 y 、 z 軸的夾角分別為xcos 1 ( exRPP )cos 1( 5) 32.31RP P35cos1eyRP P)cos1(3)120.47y(RP P35zcos 1 ( ez RP P )cos 1(1 )99.73RP P351.4給定兩矢量 A ex

5、 2ey 3ez 4 和 Bex 4ey 5ez6 ，求它們之間的夾角和A 在B 上的分量。cos 1 ( A B )31解A 與 B 之間的夾角為ABcos 1()131A B2977A 在 B 上的分量為ABA B313.532B771.5給定兩矢量 A ex 2 ey 3ez 4 和 Bex 6ey 4ez ，求 A B 在 Cexey ez上的分量。exeyez解 A B234ex13 ey 22 ez10641所以 AB 在 C 上的分量為( AB)C( AB) C2 5C314. 431.6證明：如果 A BAC和ABAC，則BC ；解由 ABAC，則有A( AB)A ( AC)

6、，即(A B) A (A A)B (A C) A (A A)C由于ABA C ，于是得到(A A)B(AA)C故BC1.7如果給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設(shè) A 為一已知矢量，pAX而PAX ， p 和 P 已知，試求 X 。解由 PAX ，有APA(AX)( A X ) A (A A) X pA ( A A) X故得XpAAPA A1.8在圓柱坐標(biāo)中，一點的位置由(4,2,3) 定出，求該點在： （ 1）直角坐標(biāo)中的坐標(biāo)；（ 2）球坐標(biāo)中的坐標(biāo)。3解 （ 1）在直角坐標(biāo)系中x4 c o s ( 23 )、 24sin(23)2 3、 z3y故該點的直

7、角坐標(biāo)為(2,23,3) 。（ 2）在球坐標(biāo)系中r4225 、tan1(4 3) 53.1 、231203故該點的球坐標(biāo)為 (5,53.1 ,120 )1.9用球坐標(biāo)表示的場Eer25 ，r 2（ 1）求在直角坐標(biāo)中點(3,4,5) 處的 E 和 Ex；（ 2）求在直角坐標(biāo)中點(3,4,5)處E 與矢量 Bex 2ey 2 ez 構(gòu)成的夾角。解 （ 1）在直角坐標(biāo)中點(3,4,5) 處， r 2( 3)242( 5)250 ，故Eer251r 22ExexEE cos rx133225220（ 2）在直角坐標(biāo)中點(3,4,5) 處， rex 3ey 4ez5，所以E2525rex 345eye

8、zr2r 3102故 E 與 B 構(gòu)成的夾角為EBcos 1( E B )cos 1 ( 19 (10 2) ) 153.6E B3 21.10球坐標(biāo)中兩個點 (r1 , 1 ,1) 和 ( r2 ,2 , 2 ) 定出兩個位置矢量R1和 R2。證明 R1和 R2間夾角的余弦為coscos 1 cos 2sin1 sin 2 cos( 12 )解由 R1exr1 sin1 cos1eyr1 sin 1 sin 1ezr1 cos 1R2ex r2 sin2 cos2ey r2 sin2 sin2ezr2 cos2得到R1R2cosR2R1sin1 cos 1 sin2 cos 2sin1 si

9、n1 sin2 sin2cos 1 cos 2sin1 sin2 (cos 1 cos 21 sin 1 sin2 )cos 1 cos 2sin1 sin2 cos( 12 )cos 1 cos 21.11一球面 S 的半徑為5 ，球心在原點上，計算：S(er3sin) d S 的值。解(er 3sin) d S(er3sin) er d S222d3sind75SS5 sin001.12在由 r5 、 z0 和 z4 圍成的圓柱形區(qū)域，對矢量Aer r 2ez 2z 驗證散度定理。解在圓柱坐標(biāo)系中A1( rr 2 )(2 z)3r2rrz425所以A dd zd(3r2)r d r1200

10、000又A dS(er r 2ez 2z) (er d Sre d Sez d Sz )SS4 25 2525dd z24r d r d12000000故有Ad1200A d SS1.13求（ 1）矢量 Aex x2ey x2 y2ez 24x2 y2z3 的散度；（ 2）求A 對中心在原點的一個單位立方體的積分；（ 3）求 A 對此立方體表面的積分，驗證散度定理。解（1） A(x2 )(x2 y2 )(24 x2 y2z3 )2x2x2 y72 x2 y2 z2（ 2）xyzA 對中心在原點的一個單位立方體的積分為1 21 21 21Ad(2 x 2x2 y 72 x2 y2 z2 ) d

11、x d y dz1 21 21 224（ 3） A 對此立方體表面的積分1 21 2( 1) 2 d y dz1 21 2A d S( 1 )2 d y dzS1 21 221 21 221 21 22x2 ( 1) 2 d x dz1 21 22x2 ( 1)2 d x dz1 21 221 21 221 21 224x2 y2 (1 )3 d x dy1 21 21 )3 d x dy124x2 y2 (1 21 221 21 2224故有Ad1A d S24S1.14計算矢量 r 對一個球心在原點、半徑為a 的球表面的積分，并求r 對球體積的積分。2aa 2 sin4 a3解r d Sr

12、 er d SddSS00又在球坐標(biāo)系中，1(r2r )3，所以r2rr2ar d3r 2 sind r d d4a30001.15求矢量 Aex xeyx2ez y2 z 沿 xy 平面上的一個邊長為2 的正方形回路的線積分，此正方形的兩邊分別與x 軸和 y 軸相重合。再求A 對此回路所包圍的曲面積分，驗證斯托克斯定理。2222解A d lxd xxd x22 d y0d y 8C0000exeyez又Axyzex 2 yzez2 xxx2y2 z2 2所以A d S(ex 2 yz ez 2x) ez d x d y8S0 0故有A d l8A d SCS1.16求矢量 Aexxey xy

13、2 沿圓周 x2y2a2 的線積分， 再計算A 對此圓面積的積分。A d lx d xxy2 d y2a4解( a2 cossina4 cos2sin2)dCC04A d Sez (Aya 2rsinr dd r4Ax ) ez d Sy d Sa2221.17SSxyS00A 。其中4證明：（ 1）R 3；（ 2）R 0；（ 3）(A R)xyz，R e x e y e zA 為一常矢量。解 （1）xyzRy3xzexeyez（ 2）Ry0xzxyy（ 3）設(shè) A ex Ax ey Ayez Az ，則 A R Ax xAy y Az z，故( A R) exx ( Ax x Ay y Az

14、z) ey y ( Axx Ay y Az z)ez( Ax x Ay y Az z)ex Ax ey Ay ez Az Azf (r ) 表示，如果0 ，那么函數(shù) f (r ) 會有什么特點呢？1.18一徑向矢量場 FerF解在圓柱坐標(biāo)系中，由F1 d rf (r )0r d r可得到f (r )C為任意常數(shù)。Cr在球坐標(biāo)系中，由1 d2Fr 2 d r r f (r ) 0可得到f (r )Cr 21.19給定矢量函數(shù) Eex y ey x ， 試 求從 點 P1 (2,1,E d l ：（ 1）沿拋物線 x y2 ；（ 2）沿連接該兩點的直線。這個解 （1）E dlEx d x Ey d

15、 yyd x x d yCCC22y d(2 y2 ) 2 y2 d y6y2 d y 14111)到 點的線積分P2 (8, 2, 1)E 是保守場嗎？（ ）連接點 P1 (2,1, 1)到點 P2 (8,2,1) 直線方程為2x2x8即x6 y 40y1y222故E d lEx d xEy d yy d(6 y 4)(6 y4)d y(12y 4)d y 14CC11由此可見積分與路徑無關(guān)，故是保守場。1.20求標(biāo)量函數(shù)x2 yz 的梯度及在一個指定方向的方向?qū)?shù)，此方向由單位矢量ex3ey4ez5定出；求(2,3,1) 點的方向?qū)?shù)值。505050解222ex x ( xyz)eyy (

16、 xyz)ez z (xyz)ex 2xyz ey x2zezx2 yz故沿方向 elex3ey4ez5的方向?qū)?shù)為r505050rel6xyz4x2z5x2 yl505050rz點 (2,3,1) 處沿 el的方向?qū)?shù)值為zo361660112yl505050501.21試采用與推導(dǎo)直角坐標(biāo)中xAAxAyAz相似的方法推導(dǎo)圓柱坐標(biāo)下的公式題 1.21 圖xyzA1(rAr )AAz。rr rz解在圓柱坐標(biāo)中，取小體積元如題1.21 圖所示。矢量場A 沿 er方向穿出該六面體的表面的通量為zzz zrAr rr (rr )d r dArr r d r dzz(rr ) Ar (rr , , z

17、)rAr (r , z)z(rAr)rz1(rA r )rrr同理rr z zrr zzAd r d zAd r d zrzrz A (r , z) A ( r , z)rzArzArrrrrzAz z zr d r dAz z r d r drr Az (r , zz)Az( r , z) rrzAz rrzAzA 穿出該六面體的表面的通量為zz因此，矢量場 rz1(rAr)AAzrrzr故得到圓柱坐標(biāo)下的散度表達式Alim1( rAr )AAzrrrz01.22方程 ux2y2z2給出一橢球族。求橢球表面上任意點的單位法向矢量。222abc2x2 y2z解由于uex a2ey b2ez c

18、2u 2 ( x2 )2( y2 )2( z2 )2abc故橢球表面上任意點的單位法向矢量為uxynu(ex a2ey b21.23 現(xiàn)有三個矢量A、B、C為Aer sincosez z2 )( x2 ) 2( y2 ) 2( z2 ) 2cabce coscose sinBer z2 sine z2 cosez 2rz sinCex (3y 22x)ey x2ez2 z（ 1）哪些矢量可以由一個標(biāo)量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個矢量函數(shù)的旋度表示？（ 2）求出這些矢量的源分布。解（ 1）在球坐標(biāo)系中A1r (r2Ar )1(sinA )1Ar 2r sinr sin1(r 2 sinco

19、s)1(sin coscos )1( sin )r 2rr sinr sin2 sincoscos2sincoscos0rr sinrr sinerr er sineA12 sinrrArrAr sinAerr er sine10r 2 sinrsin cos r coscosr sinsin故矢量 A 既可以由一個標(biāo)量函數(shù)的梯度表示，也可以由一個矢量函數(shù)的旋度表示；在圓柱坐標(biāo)系中11BB =(rB r )r rr1r(rz 2 sin)rz2 sinz2 sinrrBzz1( z2 cos )(2 rz sin)rz2r sin2r sinerr e ezerr eez110Bzrrr rz

20、BrrB Bzz2 sinrz 2 cos2rz sin故矢量 B 可以由一個標(biāo)量函數(shù)的梯度表示；直角在坐標(biāo)系中C = C xCyCzyxz(3 y22 x)( x2 )(2 z) 0xyzexeyezCyzez (2 x 6 y)x3y22xx22z故矢量 C 可以由一個矢量函數(shù)的旋度表示。（ 2）這些矢量的源分布為A 0 ，A0 ；B = 2r sin，B 0 ；1.24C 0 ，Cez (2 x 6 y)利用直角坐標(biāo)，證明( fA)f A Af解在直角坐標(biāo)中fA A ff (AxAyAz) ( AxffAzfxyzxAy)yzAfAyfAzf( fx) ( fAyAzxAxy) ( fz

21、)xyzx( fAx)( fAy )( fAz )( fA)1.25yz證明(AH )HA AH解根據(jù)算子的微分運算性質(zhì)，有(A H)A(A H)H(A H)式中A 表示只對矢量 A 作微分運算，H 表示只對矢量H 作微分運算。由 a (b c)c (a b) ，可得A(AH) H(A A)H (A)同理H(A H)A(HH)A (H )故有1.26(AH)HAAH利用直角坐標(biāo)，證明( fG)fGfG解在直角坐標(biāo)中fG f ex (GzGy)GxGz)GyGx)yzey (xez (xyzf G ex (GzfGyf ) ey (GxfGzf ) ez (G yfGxf )yzzxxy所以fG

22、 f GfGzfG yex( Gzyfy) (Gyzfz )ey (GxffGx ) (GzffGz )zzxxez(G yffG y) (GxffGx)xxyyex ( fGz )( fGy )ey( fGx )( fGz ) yzzxez( fGy )( fGx )( fG)yx( u) 0 及1.27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意義下證明(A)0 ，試證明之。解 （ 1）對于任意閉合曲線C 為邊界的任意曲面 S ，由斯托克斯定理有(u) d Su d lu d ld u 0SCClC由于曲面 S 是任意的，故有(u)0（ 2）對于任意閉合曲面S 為邊界的體積，由散度定理有(A

23、)d(A) d S (A) d S(A) d SSSS12其中 S1和 S2如題 1.27 圖所示。由斯托克斯定理，有(A) d SA d l ，(A) d SA dlS1C1S2C2由題 1.27圖可知 C1和 C2是方向相反的同一回路，則有A d lC2A d lC1所以得到(A ) dAdlA d lA d lAdl 0C1C2C2C2由于體積是任意的，故有(A)0n1S1C2S2C1二章習(xí)題解答n22.1一個平行板真空二極管內(nèi)的電荷體密度為40U 0 d 4 3 x 2 3 ，式中陰極板位于 x0 ，陽極板位于題 1.27 圖9xd ，極間電壓為 U 0 。如果 U 040V 、d1cm 、橫截面 S10cm 2 ，求：（ 1）x0 和 xd區(qū)域內(nèi)的總電荷量Q ；（ 2） xd2 和 xd 區(qū)域內(nèi)的總電荷量Q 。d44解 （1）Qd(0U 0d432311C9x)S d x0U 0S 4.72 1003dd441（ 2）4 32 311Qd(0