利用勾股定理 求解幾何體的最短路線長(zhǎng)

1、 n潘愛(ài)娟 女 中學(xué)一級(jí) 大專 歙縣新安學(xué)校 安徽省黃山市歙縣新安學(xué)245200 18.1 18.1 勾股定理的應(yīng)用勾股定理的應(yīng)用18.1 勾股定理的應(yīng)用勾股定理的應(yīng)用算趣題：算趣題：“執(zhí)竿進(jìn)屋執(zhí)竿進(jìn)屋”笨人執(zhí)竿要進(jìn)屋，無(wú)奈門框攔住竹，笨人執(zhí)竿要進(jìn)屋，無(wú)奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒(méi)法急得放聲哭。橫多四尺豎多二，沒(méi)法急得放聲哭。有個(gè)鄰居聰明者，教他斜竿對(duì)兩角，有個(gè)鄰居聰明者，教他斜竿對(duì)兩角，笨伯依言試一試，不多不少剛抵足。笨伯依言試一試，不多不少剛抵足。借問(wèn)竿長(zhǎng)多少數(shù)，誰(shuí)人算出我佩服。借問(wèn)竿長(zhǎng)多少數(shù)，誰(shuí)人算出我佩服。風(fēng)動(dòng)紅蓮風(fēng)動(dòng)紅蓮 波平如鏡一湖面，波平如鏡一湖面，

2、半尺高處出紅蓮半尺高處出紅蓮；鮮艷多姿湖中立，鮮艷多姿湖中立，猛遭狂風(fēng)吹一邊。猛遭狂風(fēng)吹一邊。紅蓮斜臥水淹面，紅蓮斜臥水淹面，距原生處兩尺遠(yuǎn)；距原生處兩尺遠(yuǎn)；漁翁發(fā)現(xiàn)忙思考，漁翁發(fā)現(xiàn)忙思考，湖水深淺有多少？湖水深淺有多少？ 1313133222分析32，而兩個(gè)直角邊分別是建立直角三角形那斜邊一定是1354,3,2，2345用同樣的方法，你能否在數(shù)軸上畫出表示 ，312453 提示：利用上一個(gè)直角三角形的斜邊作為下一個(gè)直角三角形的直角邊12345n用同樣的方法，你能否在數(shù)軸上畫出表示n 235312453小明家住在小明家住在18層的高樓，一天，他與媽媽去買竹竿。層的高樓，一天，他與媽媽去買竹竿。

3、買最買最長(zhǎng)的長(zhǎng)的吧！吧！快點(diǎn)回家，快點(diǎn)回家，好用它晾衣好用它晾衣服。服。糟糕，太糟糕，太長(zhǎng)了，放長(zhǎng)了，放不進(jìn)去。不進(jìn)去。如果電梯的長(zhǎng)、寬、高分別是如果電梯的長(zhǎng)、寬、高分別是4尺、尺、3尺、尺、12尺，那么，你能尺，那么，你能幫小明估計(jì)一下買的竹竿至多是多少尺嗎？（結(jié)果取整數(shù)）幫小明估計(jì)一下買的竹竿至多是多少尺嗎？（結(jié)果取整數(shù)）431212ABCABCDB43DC55 6做一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為做一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為50厘米、厘米、40厘米、厘米、30厘米的木箱，一根長(zhǎng)為厘米的木箱，一根長(zhǎng)為70厘米的木棒能否放入，厘米的木棒能否放入，為什么？試用今天學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明為什么？試用今天學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明 利

4、用勾股定理利用勾股定理求解幾何體的最短路線長(zhǎng)求解幾何體的最短路線長(zhǎng)例例1、如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和、如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于高分別等于5cm，3cm和和1cm，A和和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的點(diǎn)去吃可口的食物食物.請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到爬到B點(diǎn)，最短線路是多少？點(diǎn)，最短線路是多少？BAABC531512一、臺(tái)階中的最值問(wèn)題一、臺(tái)階中的最值問(wèn)題 AB2=AC2+BC2=169, AB=13.二、圓柱二

5、、圓柱(錐錐)中的最值問(wèn)題中的最值問(wèn)題例2、 有一圓形油罐底面圓的周長(zhǎng)為24m，高為6m，一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對(duì)角B處吃食物，它爬行的最短路線長(zhǎng)為多少？AB分析：由于老鼠是沿著圓柱的分析：由于老鼠是沿著圓柱的表面爬行的，故需把圓柱展開表面爬行的，故需把圓柱展開成平面圖形成平面圖形.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可以發(fā)現(xiàn)最短，可以發(fā)現(xiàn)A、B分別在分別在圓柱側(cè)面展開圖的寬圓柱側(cè)面展開圖的寬1m處和處和長(zhǎng)長(zhǎng)24m的中點(diǎn)處，即的中點(diǎn)處，即AB長(zhǎng)為最長(zhǎng)為最短路線短路線.(如圖如圖)解：解：AC = 6 1 = 5 ，BC = 24 = 12， Rt ABC中C=90,由勾股定理得由勾

6、股定理得 AB2= AC2+ BC2=169,AB=13(m) .21BAC三、正方體中的最值問(wèn)題三、正方體中的最值問(wèn)題例3、如圖，邊長(zhǎng)為1的正方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B的最短距離是（ ）. （A）3 （B） 5 （C）2 （D）1AB分析：分析： 由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，故需把正方體展開成平面圖形（如圖）故需把正方體展開成平面圖形（如圖）.CABC21例例4、如圖，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)、如圖，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處（三條棱長(zhǎng)如圖處（三條棱

7、長(zhǎng)如圖所示），問(wèn)怎樣走路線最短？最短路線長(zhǎng)為多少？所示），問(wèn)怎樣走路線最短？最短路線長(zhǎng)為多少？ABA1B1DCD1C1214分析: 根據(jù)題意分析螞蟻爬行的路線有三種情況(如圖 ),由勾股定理可求得圖1中AC1爬行的路線最短.ABDCD1C1421 AC1 =442 2+3+32 2 =25 =25 ;ABB1CA1C1412 AC1 =662 2+1+12 2 =37 =37 ;AB1D1DA1C142 AC1 =552 2+2+22 2 =29 =29 . . 四、長(zhǎng)方體中的最值問(wèn)題四、長(zhǎng)方體中的最值問(wèn)題例例5、如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為、如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm，寬為，寬為10cm，高為，高為2

8、0cm，點(diǎn)，點(diǎn)B到點(diǎn)到點(diǎn)C的距離為的距離為5cm，一只螞蟻如果要沿，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從著長(zhǎng)方體的表面從A點(diǎn)爬到點(diǎn)爬到B點(diǎn)，需要爬行的最短距點(diǎn)，需要爬行的最短距離是多少？離是多少？201015BCA分析 根據(jù)題意分析螞蟻爬行的路線有兩種情況(如圖 ),由勾股定理可求得圖1中AB最短.BA2010155AB =20202 2+15+152 2 =625 =625 BAB =10102 2+25+252 2 =725 =725 A2010155反思小結(jié)： 把幾何體適當(dāng)展開成平面圖形，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，或點(diǎn)到直線“垂線段最短”等性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題。11欣賞欣賞美麗的勾股樹美麗的勾股樹 這棵樹漂亮嗎？如果在樹上掛上這棵樹漂亮嗎？如果在樹上掛上幾串彩色燈泡，再掛上些小鈴鐺、小幾串彩色燈泡，再掛上些小鈴鐺、小彩球、小禮盒、小的圣誕老人，是不彩球、小禮盒、小的圣誕老人，是不是更像一棵圣誕樹是更像一棵圣誕樹 也許有人會(huì)問(wèn)：也許有人會(huì)問(wèn)：“它與勾股定理它與勾股定理有什么關(guān)系嗎？有什么關(guān)系嗎？”仔細(xì)看看，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，奧妙在樹仔細(xì)看看，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，奧妙在樹干和樹枝上，整棵樹都是由下方的這干和樹枝上，整棵樹都是由下方的這個(gè)基本圖形組成的：個(gè)基本圖形組成的：一個(gè)直角三角形一