信號(hào)與線性系統(tǒng)分析 課件(第四版)吳大正第二章_連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)

1、第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 時(shí)域分析方法：時(shí)域分析方法：即對(duì)于給定的激勵(lì)，由系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（微分方程）求得其響應(yīng)的方法。 由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時(shí)間t，故稱為時(shí)域分析法。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域分析法的基礎(chǔ)。 LTI連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析，歸結(jié)為：建立并求解線性微分方程。本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容 2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 2.3 卷積積分 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 一、微分方程的經(jīng)典解一、微分方程的經(jīng)典解 二、關(guān)于二、關(guān)于0-和和0+值值 三、零輸入響應(yīng)三、零輸入響應(yīng) 四、

2、零狀態(tài)響應(yīng)四、零狀態(tài)響應(yīng) 五、全響應(yīng)五、全響應(yīng) 其經(jīng)典解：其經(jīng)典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齊次解) + yp(t)(特解） 齊次解是齊次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。 齊次解yh(t)的函數(shù)形式由上述微分方程的特征根確定。y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t)= bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)一、微分方程的經(jīng)典解一、微分方程的經(jīng)典解 表表21 不同特征根所對(duì)應(yīng)的齊次解不同特征根所對(duì)應(yīng)的齊次解特征根齊

3、次解yh(t)單實(shí)根et ？ r重實(shí)根 (Cr-1 tr-1+ Cr-2 tr-2+ C1 t1+C0) et一對(duì)共軛復(fù)根1,2=je tCcos(t)+Dsin(t)或Acos(t-)其中A e j =C+jDr重共軛復(fù)根Ar-1tr-1 cos(t+r-1)+ Ar-2tr-2 cos(t+r-2)+ A0 cos(t+0) e t齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵(lì)f(t)的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的固有響應(yīng)或自由響應(yīng)； 特解的函數(shù)形式由激勵(lì)確定，稱為強(qiáng)迫響應(yīng)。問：若問：若f(t)=c（常數(shù)），特解形式？（常數(shù)），特解形式？ 解: (1) 特征方程為2 + 5+

4、6 = 0 其特征根1= 2， 2= 3。齊次解為 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t ？ 因?yàn)橐驗(yàn)閒(t) = 2e t，故其特解可設(shè)為 yp(t) = Pe t 將其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得P=1 于是特解為yp(t) = e t例描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（1）當(dāng)f(t) = 2e-t，t0；y(0)=2，y(0)= -1時(shí)的全解；（2）當(dāng)f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0時(shí)的全解。 其中待定常數(shù)C1,C2由初始條件確定。 y(0) = C1

5、+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0全解為：全解為： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t 注意：注意：自由響應(yīng)的系數(shù)C Cj j由系統(tǒng)的初始狀態(tài)和激由系統(tǒng)的初始狀態(tài)和激勵(lì)信號(hào)共同來確定勵(lì)信號(hào)共同來確定 自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng) 解：齊次解同上。解：齊次解同上。由于f(t)=e2t，其指數(shù)與特征根之一相重。故其特解可設(shè)為yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得P1e-2t = e2t 所以P1= 1 但P

6、0不能求得。全解為全解為 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t= (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t 將初始條件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0 解得C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解為 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0 注：注：上式第一項(xiàng)的系數(shù)C1+P0= 2，不能區(qū)分C1和P0，因而也不能區(qū)分自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。（2）當(dāng)f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0時(shí)的全解。二、關(guān)于二、關(guān)于0-和和0+值值 在t=0-時(shí)

7、，激勵(lì)尚未接入，該時(shí)刻的值y(j)(0-)反映了系統(tǒng)的歷史情況而與激勵(lì)無關(guān)。稱這些值為初始狀態(tài)或起始值。 為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)初始狀態(tài)y(j)(0-)設(shè)法求得y(j)(0+)。下列舉例說明。若輸入f(t)是在t=0時(shí)接入系統(tǒng)，則確定確定待定系數(shù)Ci時(shí)用t = 0+時(shí)刻的初始值，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。y(j)(0+)包含了輸入信號(hào)的作用，不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。 解：將輸入f(t)=(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （1） 由于上式對(duì)于所有t都都成立，等號(hào)兩端(t)項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等。 由于

8、等號(hào)右端為由于等號(hào)右端為2(t)，故y”(t)應(yīng)包含沖激函數(shù)，從 而y(t)在t= 0處將發(fā)生躍變，即y(0+)y(0-)。 但y(t)不含沖激函數(shù)，否則y”(t)將含有(t)項(xiàng)。由 于于y(t)中不含中不含(t)，故，故y(t)在在t=0處是連續(xù)的。處是連續(xù)的。 故y(0+) = y(0-) = 2例：例：描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。 由于積分在無窮小區(qū)間0-，0+進(jìn)行的，且y(t)在t=0連續(xù)，故對(duì)式對(duì)式(1)兩端積分有兩端積分有于是由上式得

9、于是由上式得y(0+) y(0-) + 3y(0+) y(0-)=2因?yàn)閥(0+) = y(0-)=2 ，所以y(0+) y(0-) = 2 ， y(0+) = y(0-) + 2 =2由上可見，由上可見，當(dāng)微分方程等號(hào)右端含有沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)數(shù)）時(shí)，響應(yīng)y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)中，有些有些在t=0處將發(fā)生躍變。但如果右端不含時(shí)，則不會(huì)躍變。三、零輸入響應(yīng) y(t) = yzs(t) + yzi(t) 。 零輸入響應(yīng)，零輸入響應(yīng)，對(duì)應(yīng)的輸入為零，所以方程為 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t)0 若其特征根都為單根，則零輸入響應(yīng)為：若

10、其特征根都為單根，則零輸入響應(yīng)為：njtzijzijeCty1)(由于激勵(lì)為零，故有由于激勵(lì)為零，故有yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-) = y (j)(0-), (j=0,1,n-1)四、零狀態(tài)響應(yīng) 方程仍為方程仍為 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t) 對(duì)于零狀態(tài)響應(yīng)，在t=0-時(shí)刻激勵(lì)尚未接入，故應(yīng)有yzs(j)(0-)=0； 若微分方程的特征根均為單根，則其零狀態(tài)若微分方程的特征根均為單根，則其零狀態(tài)響應(yīng)為響應(yīng)為

11、)()(1tyeCtyptnjzsjzsCzsj 為待定系數(shù)，為待定系數(shù)，yp(t)為方程的特解為方程的特解 解：（1）零輸入響應(yīng)yzi(t) 激勵(lì)為0 ，故yzi(t)滿足yzi”(t) + 3yzi(t) + 2yzi(t) = 0 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=2 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=0 該齊次方程的特征根為1， 2，故 yzi(t) = Czi1e t + Czi2e 2t 代入初始值并解得系數(shù)為Czi1=4 ,Czi2= 2 ，代入得 yzi(t) = 4e t 2e 2t ,t 0例：描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t) + 3y(t) +

12、 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。注意此時(shí)系數(shù)注意此時(shí)系數(shù)C的求法！的求法！ yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) 并有 yzs(0-) = yzs(0-) = 0 由于上式等號(hào)右端含有(t)，故yzs”(t)含有(t)，從而yzs(t)躍變，即yzs(0+)yzs(0-)，而yzs(t)在t = 0連續(xù)，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，積分得（2）零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t) 滿足因此，yzs(0+)= 2 yzs(0-)=2對(duì)t0時(shí)，有有y

13、zs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6不難求得其齊次解為Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解為常數(shù)3，于是有yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3代入初始值求得yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0五、全響應(yīng)五、全響應(yīng) 如果系統(tǒng)的初始狀態(tài)不為零，在激勵(lì)f(t)的作用下，LTI系統(tǒng)的響應(yīng)稱為全響應(yīng)稱為全響應(yīng)，它是零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和，即 y(t)=yzi(t)+yzs(t) 零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng))()()(111tyecectyectypnjtzsjnjtzijpnjtjjjj 雖然自由響應(yīng)和零輸入響應(yīng)都是齊

14、次方程的解，雖然自由響應(yīng)和零輸入響應(yīng)都是齊次方程的解，但兩者的系數(shù)各不相同，但兩者的系數(shù)各不相同，c czijzij僅由系統(tǒng)的初始僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所決定，而狀態(tài)所決定，而c cj j由系統(tǒng)的初始狀態(tài)和激勵(lì)信由系統(tǒng)的初始狀態(tài)和激勵(lì)信號(hào)共同來確定。號(hào)共同來確定。 也就是說，也就是說，自由響應(yīng)包含零輸入響應(yīng)的全部和自由響應(yīng)包含零輸入響應(yīng)的全部和零狀態(tài)響應(yīng)的一部分。零狀態(tài)響應(yīng)的一部分。討論討論2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 一、沖激響應(yīng)一、沖激響應(yīng) 由單位沖激函數(shù)(t)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，記為h(t)。h(t)=T0,(t) 例1 描述某系統(tǒng)的微分方程

15、為y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t),求其沖激響應(yīng)h(t)。 解：根據(jù)h(t)的定義有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求h(0+)和h(0+)。 h(t)在t=0連續(xù)，即h(0+)=h(0-)。積分得因方程右端有因方程右端有(t)，故利用系數(shù)平衡法。，故利用系數(shù)平衡法。h”(t)中含(t)，h(t)含(t)，h(0+)h(0-)，考慮h(0+)= h(0-)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1對(duì)對(duì)t0時(shí)，時(shí)，有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系統(tǒng)的沖激響

16、應(yīng)為一齊次解。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為一齊次解。微分方程的特征根為-2，-3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)代入初始條件求得C1=1,C2=-1, 所以h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 解根據(jù)h(t)的定義有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求h(0+)和h(0+)。 由方程可知， h(t) 中含(t) 故令h(t) = a(t) + p1(t) p1(t) 為不含(t) 的某函數(shù) h(t) = a(t) + b(t) + p2(t) h”(t) = a”

17、(t) + b(t) + c(t)+ p3(t) 代入式(1)，有例2 描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其沖激響應(yīng)h(t)。 整理得整理得 a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t)= ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用(t) 系數(shù)匹配，得a =1 ，b = - 3，c = 12 所以h(t) = (t) + p1(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ p3

18、(t) （4） 對(duì)式(3)從0-到0+積分得h(0+) h(0-) = 3 對(duì)式(4)從0-到0+積分得h(0+) h(0-) =12a”(t) + b(t)+ c(t) + p3(t) + 5a(t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) 微分方程的特征根為 2， 3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0 代入初始條件h(0+) = 3， h(0+) =12 求得C1=3，C2= 6, 所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0 結(jié)合式(2)得 h(t)=(t) + (3e2t 6e3t)(t)

19、對(duì)對(duì)t0時(shí)，有時(shí)，有h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0故h(0+) = 3， h(0+) =12沖激響應(yīng)示意圖沖激響應(yīng)示意圖 x(0)=0二、階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)示意圖階躍響應(yīng)示意圖* *階躍響應(yīng)是激勵(lì)為單位階躍函數(shù)階躍響應(yīng)是激勵(lì)為單位階躍函數(shù) (t)(t)時(shí)，系統(tǒng)的零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，如下圖所示。狀態(tài)響應(yīng)，如下圖所示。線性非時(shí)變系統(tǒng)g(t)x(0)001t(t)g(t)0t(t)(,0)(tTtgdef用用g(t)表示階躍響應(yīng)表示階躍響應(yīng) 如果描述系統(tǒng)的微分方程是式如果描述系統(tǒng)的微分方程是式 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=

20、f(t) ， 當(dāng)當(dāng)f(t)=f(t)= (t)(t)時(shí)，有時(shí)，有01)(atgp式（式（1 1）的）的特解為特解為) 1 ()()()()()(01)1(1)(ttgatgatgatgnnn其初始值為其初始值為:0)0()0( )0()0()2()1(ggggnn注：注：除g(n)(t)外？y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)若微分方程的特征根若微分方程的特征根i i(i=1(i=1，2 2，n)n)均為單均為單根，則系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的一般形式根，則系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的一

21、般形式(nm)(nm)為為 )()1()(01taectgnitii若描述系統(tǒng)的微分方程是式描述系統(tǒng)的微分方程是式可根據(jù)可根據(jù)LTI系統(tǒng)的線性性質(zhì)和系統(tǒng)的線性性質(zhì)和微積分微積分特性求出階躍響應(yīng)：特性求出階躍響應(yīng)：dttdt)()(tdxxt)()(dttdgth)()(tdxxhtg)()( 解：系統(tǒng)的微分方程解：系統(tǒng)的微分方程 設(shè)圖中右端積分器的輸出為x(t)，則其輸入為x(t)，左端積分器的輸入為x(t)。左端加法器的輸出為 x(t)-3 x(t)-2 x(t)+f(t) 即 x(t) +3 x(t)+2 x(t) f(t)例例2.2-3 如圖如圖2.2-3 所示的所示的LTI系統(tǒng)，求其階

22、躍響應(yīng)系統(tǒng)，求其階躍響應(yīng) y(t)+ f(t)- 2 3 1 2 x(t) x(t) x(t)右端加法器的輸出為 y(t)=- x(t)+2 x(t)x(t) +3 x(t)+2 x(t) f(t); （1）y(t)=- x(t)+2 x(t) （2）階躍響應(yīng)若設(shè)（1）式所述系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為gx(t),則有 g(t)=- gx(t)+2 gx(t) gx(t)滿足方程 gx(t) +3 gx(t)+2 gx(t) (t) gx(0_) = gx(0_) =0 其特征根11； 22，其特解為0.5，于是得 gx(t)(C1e-t+C2e-2t+0.5) (t) 初始值為gx(0) = gx(0)

23、 =0，代入上式得 gx(0)=C1+C2+0.5=0; gx(0) =- C1-2C2=0解得解得 C1-1；C20.5 所以， gx(t)(-e-t+0.5e-2t+0.5) (t) 求出 gx(t)，代入g(t)=- gx(t)+2 gx(t)得 g(t)=- gx(t)+2 gx(t)(-3e-t+2e-2t+1) (t) 解法二：由（解法二：由（1）、（）、（2）式求得）式求得系統(tǒng)的微分方程為： y(t)+3y(t)+2y(t)=-f(t)+2f(t)當(dāng)f(t)=(t)時(shí)，有)3()(2)( )(2)( 3)( ttththth0)0()0( hh先求h(0+)和h(0+) 令：)6

24、()()()5()()()( )4()()()( )( 210trthtrtathtrtbtath由（由（4）式從）式從0-到到0+積分得積分得5)0( )0( hh將上三式代入（將上三式代入（3）式得）式得)(2)( )(2)(3)(3)()()( 210tttrtrtatrtbta23 ; 1baa5; 1ba5)0( h由（由（5）式從）式從0-到到0+積分得積分得1)0(h可以求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為可以求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)=(3e-t-4e-2t) (t) 0)(2)( 3)( ththth當(dāng)當(dāng)t0,有有所以所以ttececth221)(5)0( h1)0(h由由)()123()