浙江省浙南名校聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 附解析

1、浙江省浙南名校聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 附解析 浙江省浙南名校聯(lián)盟20xx-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、選擇題：本大題共10小題，每題4分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1. 已知，則 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解. 【詳解】, , , 應(yīng)選：B 2. 已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由雙曲線離心率的值得到之間的關(guān)系，即可求得雙曲線的漸近線方程. 【詳解】雙曲線中，又即，則 則其漸近線方程是 應(yīng)選：A 3

2、. 假設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位則的值為 A. 1B. C. 2D. 【答案】B 【解析】 【分析】由復(fù)數(shù)相等解得復(fù)數(shù)，再去求復(fù)數(shù)的模即可解決. 【詳解】令則 由，可得，解之得 故， 應(yīng)選：B 4. 已知“是“的 A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件 C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】 【分析】依據(jù)線性規(guī)劃的幾何意義，分別作出和表示的平面區(qū)域，即可推斷出答案. 【詳解】設(shè)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)所在的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的正方形區(qū)域包括邊界 ， 設(shè)滿足，則點(diǎn)所在的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的圓面區(qū)域， 由此可知成立，不一定成立； 成立時(shí)，一定有成立， 故“是“的必要不充分條件， 應(yīng)選

3、：B. 5. 某幾何體的三視圖如圖所示單位：，則該幾何體的體積單位：是 A. 12B. 6C. 4D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由三視圖可知，該幾何體是底面為矩形的四棱錐，從而可求出其體積 【詳解】由三視圖可知，該幾何體是底面為長(zhǎng)為3，寬為2的矩形，高為2的四棱錐，如圖所示， 所以該幾何體的體積為， 應(yīng)選：C 6. 已知成等差數(shù)列，也成等差數(shù)列，則值為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以x、y分別表示等差數(shù)列與等差數(shù)列的公差，即可解決. 【詳解】等差數(shù)列中，公差， 等差數(shù)列中，公差， 故 應(yīng)選：D 7. 函數(shù)的圖象大致是 A. B. C. D. 【答案】B 【解

4、析】 【分析】先計(jì)算，再計(jì)算，比較其大小即可選擇. 詳解】，排除AC， ， 所以，排除D 應(yīng)選：B. 8. 已知等邊，點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，將沿著翻折至點(diǎn)處，如圖所示，記二面角的平面角為，二面角的平面角為，直線與平面所成角為，則 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在圖中分別找到二面角的平面角，二面角的平面角，直線與平面所成角線面角，然后進(jìn)行大小比較即可解決. 【詳解】在等邊中，取BC邊中點(diǎn)D，連接AD，交EF于O，連接PO， 則，平面，平面 故平面，又平面，則平面平面 在中，過P做PM垂直于OD于M，則平面，連接MF， 在等邊中，過M做MN垂直于AC于N，連接PN.

5、由，則為二面角的平面角即， 由平面，則為二面角的平面角即 由平面，則直線與平面所成角，即， 設(shè)，則， ， ， 則有， 由 可得，則有，則 又 故，又 故 應(yīng)選：A 9. 已知甲盒子中有3個(gè)紅球，1個(gè)白球，乙盒子中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球，同時(shí)從甲，乙兩個(gè)盒子中取出個(gè)球進(jìn)行交換，交換后，分別記甲、乙兩個(gè)盒中紅球個(gè)數(shù)，則 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和兩種狀況分別去求數(shù)學(xué)期望，再進(jìn)行比較即可解決. 【詳解】交換后，記甲、乙兩個(gè)盒中紅球個(gè)數(shù)， 當(dāng)時(shí)，, 則， 則.選項(xiàng)AB均推斷錯(cuò)誤； 當(dāng)時(shí)， 則， . 即. 則選項(xiàng)C推斷正確；選項(xiàng)D推斷錯(cuò)誤. 應(yīng)選：C 10. 如圖，函數(shù)的圖

6、象上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作其切線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作其切線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作其切線，交于點(diǎn)，則的取值 A. 與有關(guān)，且存在最大值B. 與有關(guān)，且存在最小值 C. 與有關(guān)，但無最值D. 與無關(guān)，為定值 【答案】D 【解析】 【分析】先證實(shí)一個(gè)結(jié)論：函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)，. 過點(diǎn)作其切線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于另兩個(gè)點(diǎn) ，則；利用該結(jié)論即可求出的橫坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而求出直線與的方程，聯(lián)立直線與的方程，即可求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再依據(jù)，即可求出結(jié)果. 【詳解】先證函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)，. 過點(diǎn)作其切線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于另兩個(gè)點(diǎn) ，則. 證實(shí):設(shè)過點(diǎn)的直線為，聯(lián)立得: ，得方程 則方程必有一根，于是方程可改寫為，其中，

7、當(dāng)與相切于點(diǎn)時(shí)，方程有重根，韋達(dá)定理知； 當(dāng)與相交于點(diǎn)時(shí)，方程有另兩個(gè)根， 韋達(dá)定理知. 故. 由于函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 設(shè)，連結(jié)，交于另一點(diǎn)，由對(duì)稱性，則，由上述結(jié)論，則，所以； 設(shè)，連結(jié)交于另一點(diǎn)由對(duì)稱性，則，由上述結(jié)論，則，所以. 于是直線為，直線為， 聯(lián)立得: ，解得， 所以，故的取值與無關(guān)，為定值. 應(yīng)選：D. 二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分 11. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作田畝比類乘除捷法中有這樣一個(gè)問題：“給銀八百六十四兩，只云所得銀之兩數(shù)比總分人數(shù)，其銀多十二兩.問總是幾人，每人各得幾兩，其意思是：“現(xiàn)一共有銀子八百六十四兩，只知道每個(gè)人分到的

8、銀子數(shù)目的兩倍比總?cè)藬?shù)多十二，則一共有_人，每個(gè)人分得_兩銀子. 【答案】. 36. 24 【解析】 【分析】設(shè)共有人，則每人分得兩銀子，由條件可得，解出即可. 【詳解】設(shè)共有人，則每人分得兩銀子， 因?yàn)槊總€(gè)人分到的銀子數(shù)目的兩倍比總?cè)藬?shù)多十二， 所以，即，解得或舍去 所以一共有36人，每人分得24兩銀子 故答案為：36；24 12. 已知展開式中所有項(xiàng)系數(shù)和為1，則實(shí)數(shù)的值為_，的系數(shù)為_. 【答案】. . 【解析】 【分析】令，則由題意可得，從而可求出實(shí)數(shù)的值，展開式中的系數(shù)加上1即可得展開式的系數(shù) 【詳解】因?yàn)檎归_式中所有項(xiàng)系數(shù)和為1， 所以，解得， 則， 所以其展開式的的系數(shù)為， 故答

9、案為：， 13. 已知函數(shù)，則_；假設(shè)函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_. 【答案】 16. 【解析】 【分析】由分段函數(shù)表達(dá)式先求，再求，然后作出函數(shù)fx圖象，依據(jù)函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，得到函數(shù)fx的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象即可得出結(jié)果 【詳解】， ， ， 作函數(shù)的圖象可得 函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)， 函數(shù)fx的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)， 由圖象觀察可得， 實(shí)數(shù)的取值范圍為， 故答案為：；. 14. 假設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的取值范圍為_. 【答案】 【解析】 【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，再去計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的取值范圍即可. 【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下列圖： 由，解得，即. 由，解得，即.

10、當(dāng)直線過時(shí)，取最大值 當(dāng)直線過時(shí)，取最小值 故的取值范圍為 故答案為： 15. 已知橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)點(diǎn)在第一象限，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率為_. 【答案】# 【解析】 【分析】以橢圓定義和橢圓的對(duì)稱性結(jié)合起來去求橢圓的離心率即可. 【詳解】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為,連接. 在中，則， 由，可知四邊形為平行四邊形， 則，又 則，故橢圓的離心率 故答案為： 16. 假設(shè)函數(shù)與有相同的零點(diǎn)，其中，且在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的值為_，實(shí)數(shù)的最小值為_. 【答案】. #60°#. #15°# 【解析】 【分析】依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)相同得到，進(jìn)而求出，分別求出與的零點(diǎn)，求出實(shí)數(shù)的最小

11、值. 【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與有相同的零點(diǎn)，故兩個(gè)函數(shù)的最小正周期相同，故，則的零點(diǎn)為，故，；將，代入到中，得到，解得：，則，因?yàn)?，解得?令 ，解得：，則，令，解得：，因?yàn)樵谏嫌星抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的最小值為. 故答案為：， 17. 已知平面向量滿足，向量滿足，當(dāng)與的夾角余弦值取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的值為_. 【答案】 【解析】 【詳解】由得，又，則 由，可知，即向量滿足，且夾角為 取，分別是線段，的中點(diǎn)， 則,， 由可知，點(diǎn)在直線上.又與的夾角為 要使得最大，則取圓過點(diǎn)、且與直線相切于點(diǎn)，此時(shí)取得最大，由切割線定理得，又 ， 則有，解之得 故答案為： 【點(diǎn)睛】應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是

12、利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決 三、解答題：本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證實(shí)過程或演算步驟. 18. 已知函數(shù). 1求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； 2在中，分別是角的對(duì)邊，假設(shè)為上一點(diǎn)，且滿足_，求的面積. 請(qǐng)從；為的中線，且；為的角平分線，且.這三個(gè)條件中任意選一個(gè)補(bǔ)充到橫線處并作答.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分 【答案】1， 2答案見解析 【解析】 【分析】1先對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再對(duì)正弦型三角函數(shù)求單調(diào)遞增區(qū)間即可； 2由

13、題干可知，.選時(shí)，的面積由計(jì)算；選時(shí)的面積由計(jì)算. 【小問1詳解】 ， 由，得， 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，； 【小問2詳解】 由，得， 又中，可知； 假設(shè)選： 由，可知，可化為， 又，則， 又中，故，所以， 則，故； 假設(shè)選：為的中線，且 在中，則有， 在中， 在中， 又， 則 則，又知，故； 故； 假設(shè)選：為的角平分線，且. 由題意知， 即，整理得 又在中，則有， 故 解之得，故. 19. 如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，. 1證實(shí)：； 2求與平面所成角的正弦值. 【答案】1證實(shí)見解析 2 【解析】 【分析】1通過證實(shí)線面垂直來證得. 2建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得與平

14、面所成角的正弦值. 【小問1詳解】 取為中點(diǎn)，連接、， 由于三角形和三角形是等邊三角形，所以， 由于，所以面，又面，所以. 【小問2詳解】 ，所以，所以. ， . 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，為中點(diǎn)， ， 設(shè)點(diǎn)坐為面的一個(gè)法向量， 則有，得， 取， 設(shè)與面所成角為，則有， 所以與面所成角的正弦值. 20. 已知數(shù)列前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足， 1求數(shù)列與的通項(xiàng)公式； 2假設(shè)，對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】1， 2 【解析】 【分析】1首先由與的關(guān)系求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再以累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式； 2以裂項(xiàng)相消法對(duì)求和，并求得其最小值即可解決. 【小問1詳解】 數(shù)列中，由，得， 時(shí)，則 則，

15、故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.則 由，得， 故. 【小問2詳解】 由，可得 ， 則， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí). 故實(shí)數(shù)取值范圍為. 21. 已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5. 1求與的值； 2過點(diǎn)作斜率存在的直線與拋物線交于兩點(diǎn)異于原點(diǎn)，為在軸上的投影，連接與分別交拋物線于，問：直線是否過定點(diǎn)，假設(shè)存在，求出該定點(diǎn)，假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由. 【答案】1， 2過定點(diǎn)， 【解析】 【分析】1由拋物線定義，即可求出，再將點(diǎn)代入拋物線方程，即可求出的值； 2設(shè)，設(shè)直線的方程為，將其代入拋物線方程，由韋達(dá)定理得到，同理可得，由己知可得直線的方程為：，將和代入直線方程，化簡(jiǎn)整理，即可得到結(jié)果.

16、 【小問1詳解】 解：1依據(jù)拋物線的定義得：， 將點(diǎn)代入拋物線方程得：，； 【小問2詳解】 解：設(shè)， 直線的方程為. 代入拋物線方程得：.得， 由題得，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為， 代入拋物線方程得：， ， 又由己知可得直線的方程為：， 整理得：， 將和代入直線方程得：， 代入上式可得：， 即，得， 所以直線過定點(diǎn). 22. 設(shè)實(shí)數(shù)，且，函數(shù). 1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 2假設(shè)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn). i求的取值范圍； ii證實(shí)：. 【答案】1答案見解析 2i；ii證實(shí)見解析 【解析】 【分析】1分和兩種狀況去求的單調(diào)區(qū)間； 2首先利用對(duì)數(shù)均值不等式把轉(zhuǎn)化為不等式，再構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性去證實(shí)即可. 【小問1詳解】 ， 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為. 當(dāng)時(shí)，令，得， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為. 【小問2詳解】 i由1知，時(shí)，為極小值點(diǎn)，又函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，得. 于是， 得，即 由在單調(diào)遞增，則由，可得 此時(shí)， 故，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn). ii證實(shí)：由則，得， 于是， 設(shè)的極值點(diǎn)為，又由，于是， 令，則 即在上單調(diào)遞增，又，則在恒成立.