方差分析——原理與SPSS操作ppt課件

1、方差分析匯報人：陳燦、陳澤豪、戴璐泓、賀天立、黃艷枚、李佩聰廈門大學環(huán)境與生態(tài)學院匯報時間：2019年10月19日、10月26日:CONTENTS目 錄一 方差分析基本原理二 方差分析在環(huán)境生態(tài)研究中的應用三 方差分析的SPSS操作:一 基本原理1方差分析基本步驟2方差分析單向分類資料3方差分析雙向交叉分組資料:1方差分析基本步驟: 所謂單向分類資料，是指資料是以一個標志來分類或稱分組的，這個標志可以自然或人為地分為若干個類別，或稱水平，例如不同的品種、不同的飼料配方、不同的藥物等，通常也將這些不同的類別稱為不同的處理。研究的目的是要比較不同的處理對所考察的指標性狀的影響有無差異，或者說是比較

2、各處理所代表的總體的平均數(shù)有無差異。設有k個組，每組的觀測值數(shù)據(jù)是來自該組的處理所代表的總體的一個樣本。全部數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)如表1.1所示。2方差分析單向分類資料:表1.1單向分類資料的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)組別觀測值合計平均A1X11X12.X1j.X1n1X1.X1A2X21X22.X2j.X2n2X2.X2.AiXi1Xi2.Xij.X2niXi.Xi.AkXk1Xk2.Xkj.XknkXk.Xk總和：X.總平均：X2.1 單向分類資料的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu):2.2 數(shù)學模型數(shù)學模型是方差分析的基礎。這里的數(shù)學模型為線性模型，指將觀測值表示為影響觀測值大小的各個因素的效應的線性組合。對于單向分類資料而言，影響觀測值大小

3、的因素分為兩種：（1處置：對各組實施不同的處理，即它們來自不同的總體；另一方面，同組個體接受的處理是相同的。（2隨機誤差隨機殘差）：對每個個體的影響都不同。:2.2 數(shù)學模型據(jù)此可將觀測值用以下線性模型表示為：據(jù)此可將觀測值用以下線性模型表示為：ijiijeX i 為第為第i 組所來自總體的平均數(shù)組所來自總體的平均數(shù)eij 為隨機誤差，它是隨機變量為隨機誤差，它是隨機變量), 0(2Neij假設：（假設：（1）（2不同不同eij間是相互獨立的間是相互獨立的其中2稱為誤差方差（1.1）:定義kiik11為各個總體平均數(shù)的平均，稱為總平均，并將i表示為 i = + aiai是是 i 與與 的離差，

4、也稱為第的離差，也稱為第i個處理的效應，根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)，個處理的效應，根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)，可知可知 0iaijiijeaX由此，可將模型1.1改寫為ai是組間變異，是組間變異，eij是組內(nèi)變異是組內(nèi)變異（1.2）2.2 數(shù)學模型:2.3 變異的分解數(shù)據(jù)變異性的分解是通過對總平方和與總自由度的剖分來實現(xiàn)的。2.3.1 平方和的部分2.3.2 自由度的剖分2.3.3 均方及均方的期望:kinjijTiXXSS112)( （2先將每個離均差平方和改寫為：2222)()(2)()()()(XXXXXXXXXXXXXXiiiijiijiiijij（1全體觀測值的總平方和為2.3.1 平方和的部分（1.3

5、）:iinjiiiijnjijXXnXXXX12212)()()(由于：由于：（3再求一個組內(nèi)的再求一個組內(nèi)的ni個離均差平方和相加，得：個離均差平方和相加，得：iinjiijinjiiijXXXXXXXX110)()(2)(2(離均差之和為離均差之和為0): kiiikinjiijkinjijXXnXXXXii12112112)()()(（4最后，將最后，將k 個組的離均差平方和相加得：個組的離均差平方和相加得： 等式右邊的第1項是組內(nèi)的離均差平方和，簡稱組within內(nèi)平方和，表示為SSW，它度量了組內(nèi)的變異性。因為組內(nèi)的變異與處理無關，是個體間的隨機誤差造成的，所以組內(nèi)平方和也稱為誤差平

6、方和，表示為SSE；第2項是組間between離均差平方和，簡稱組間平方和，表示為SSB，它反應了組間的變異性，組間的差異除了隨機誤差的原因外，還可由不同的處理產(chǎn)生，故組間平方和也稱為處理平方和，表示為SSA。于是式1.4可簡寫為：（1.4）BWTSSSSSS或AETSSSSSS（1.5）:NXXXXSSkinjijkinjijTii2112112)(NXnXXXnSSkiiikiiiA21212)(ATkiiikinjijESSSSnXXSSi 12112NX2習慣上叫做校正項correction term），常用符號CT表示。當各組中的觀測值個數(shù)相等，即n1=n2=.=nk=n時，式1.7

7、可改寫為：（1.6）（1.7）（1.8）NXXnXXnSSkiikiiiA.1)(21221:全部數(shù)據(jù)的總自由度為：與對平方和的剖分對應，對總自由度也可剖分為組內(nèi)自由度誤差自由度和組間自由度處理自由度），即 或處理自由度等于組數(shù)減1，即在每個組內(nèi)，自由度等于ni-1，共有k個組，因而總的組內(nèi)自由度為：1 NdfT（1.9）BWTdfdfdfAETdfdfdf1 kdfA（1.11）（1.10）kiATiEkNdfdfndf1) 1(（1.12）2.3.2 自由度的剖分:將組內(nèi)平方和和組間平方和分別除以它們相應的自由度，得到的統(tǒng)計量分別稱為組內(nèi)均方誤差均方和組間均方處理均方），表示為MSE和MS

8、A，即需要注意的是，在這里我們不稱它們?yōu)榉讲?，而稱為均方?？梢宰C明，它們的期望為：AAAEEEdfSSMSdfSSMS（1.13）（1.14）2)(EMSE221)(iiAAandfMSE2.3.3 均方差及期望:2.4 假設檢驗檢驗各組所代表的總體的平均數(shù)，即各個檢驗各組所代表的總體的平均數(shù)，即各個i之間是否存在差異之間是否存在差異 （1假設假設 針對要檢驗的問題，可陳述假設如下：針對要檢驗的問題，可陳述假設如下： H0: 1 = 2 = = k 或或 a1 = a2 = = ak = 0 HA: 至少有兩個均數(shù)不等至少有兩個均數(shù)不等 或或 至少有一個至少有一個 a 0: （2檢驗統(tǒng)計量檢驗

9、統(tǒng)計量),(EAEAEEAAdfdfFMSMSdfSSdfSSFMSA: 組間均方，組間均方， MSE:組內(nèi)均方組內(nèi)均方當當 H0 成立時，成立時，1)(01)(22222FEndfMSEiiAA當當 H0 不成立時，不成立時，1)(;)(2FEMSEA2.4 假設檢驗:（統(tǒng)計推斷（統(tǒng)計推斷在給定的顯著水平下找到F分布F(dfA，dfE)的值比較計算的 F 值與查表的F(dfA，dfE)值，將計算的F值與之比較，假設 ,即可否定原假設，接受備擇假設。）（EAdfdfFF,通常將以上檢驗過程歸納在一個稱為方差分析表的表中，方差分析表的結(jié)構(gòu)如表1.2所示。變異來源平方和自由度均方F組間（處理）SS

10、AdfAMSAMSA/MSE組內(nèi)（誤差）SSEdfEMSE總變異SSTdfT表 1.2 方差分析表如果F值落在=0.01時的否定域中，就在表中的F值右上角標以“*”，表示至少有2個平均數(shù)間存在極顯著差異；如果計算的F值落在=0.05時的否定域中，就標以“*”，表示至少有2個平均數(shù)間存在顯著差異；否則就標以“ns”，表示各平均數(shù)間差異不顯著。2.4 假設檢驗:）：差異極顯著（）：差異顯著（）（）：差異不顯著（EAEAEAEAdfdfFFdfdfFFdfdfFdfdfFF,01. 001. 005. 005. 0ns*2.4 假設檢驗:例.欲比較4種飼料對仔豬增重效果的優(yōu)劣，隨機選取了性別、年齡、

11、體重相同，無親緣關系的20頭豬，隨機分為4組，每組5頭，分別飼喂一種飼料，所得增重數(shù)據(jù)如下：飼料增重合計平均157375442602505021339413319145293131513293090184182438221311523X.=600X=30試利用這些數(shù)據(jù)對4種飼料對仔豬增重效果的差異進行檢驗。2.4 假設檢驗:飼料增重合計平均157375442602505021339413319145293131513293090184182438221311523X.=600X=30解：假設H0：1=2=3=4；HA：至少2個均數(shù)不等計算各種平方和與自由度：校正項1800020600. .22

12、NXCT452018000)13.3757()(2222112112NXXXXSSkinjijkinjijTii總平方和297018000)11590145250(51.1)(222221221NXXnXXnSSkiikiiiA處理平方和:155029704520ATESSSSSS19120Tdf314Adf16319Edf誤差平方和總自由度處理自由度誤差自由度88.96161550EEEdfSSMS誤差均方99032970AAAdfSSMS處理均方22.1088.96990EAMSMSF:建立方差分析表變異來源平方和自由度均方F飼料2970399010.22*誤差15501696.88總變異

13、452019在=0.01時，查表，可知由于計算的F值大于該值，可以推斷在4種飼料中至少有2種飼料對豬增重的影響有極顯著差異。29. 5)16, 3(010.F:2.5 多重比較通過F檢驗，如果否定原假設，我們的結(jié)論是在k個平均數(shù)中，至少有兩個平均數(shù)間存在顯著或極顯著差異，但我們并不知道在哪些平均數(shù)之間存在差異，而在哪些平均數(shù)之間不存在差異。所以，我們需要通過多重比較來將各個平均數(shù)進行兩兩比較。多重比較的方法很多，這里我們主要介紹最小顯著差數(shù)法(LSD法)和Bonferroni t檢驗。:2.5.1 LSD法LSD法是為每一對要比較的平均數(shù)（Xi，Xj計算一個在顯著性水平的最小顯著差數(shù)least

14、 significant difference，LSD），然后將兩個平均數(shù)的絕對差值|Xi-Xj|與該LSD進行比較，如果這個差值大于LSD，則推斷這一對平均數(shù)差異顯著。具體方法如下：對于每一對要比較的平均數(shù)（Xi，Xj）：假設H0：i=j，HA：ij計算檢驗統(tǒng)計量：)11(jiEXXnnMSSjinMSSEXXji2（1.15）（1.16）S為樣本平均數(shù)之差的標準差；MSE為F檢驗中的誤差均方；ni和nj分別為第i組和第j組的樣本含量。當各組的觀測值個數(shù)相等均為n時它對于所有的兩兩比較檢驗是一個常量:計算LSD并做統(tǒng)計推斷 最小顯著差數(shù)由下式計算：假設|Xi-Xj|LSD，則否定H0，推斷這

15、兩個平均數(shù)在顯著水平下差異顯著。這個方法一般只用于對于k個平均數(shù)中的某一對或幾對有特殊意義的平均數(shù)之間的比較。這個t統(tǒng)計量服從自由度為 的t分布，從t分布雙側(cè)分位數(shù)表中可以查到與 相應的臨界值。EdfjiXXESdftLSD)(（1.17）:續(xù)例1.飼料增重合計平均157375442602505021339413319145293131513293090184182438221311523X.=600X=30假設我們感興趣的是第1種飼料與其它3種飼料的比較，則需要做3次檢驗。比較1 H0：1=2，HA：12比較2 H0：1=3，HA：13比較3 H0：1=4，HA：14知 X1=50，X2=2

16、9，X3=18，X4=23 n1=n2=n3=n4=5 MSE=96.88，dfE=16:因為各組的觀測數(shù)值個數(shù)相等，所以樣本的平均數(shù)之差的標準差 是個常量，相應的LSD也是常量。由式1.16得：2251. 6588.9622nMSSEXXji在顯著水平=0.05和=0.01下，由式1.17得：2608.132551. 6120. 2)(05. 005. 0jiXXESdftLSD2711.182551. 6921. 2)(01. 001. 0jiXXESdftLSD由于 |X1-X2|=|50-29|=21LSD0.01 |X1-X3|=|50-18|=32LSD0.01 |X1-X4|=|

17、50-23|=27LSD0.01 所以我們推斷第1種飼料的增重效果極顯著地好于其它3種飼料。jiXXS: Bonferroni t 檢驗，通過對每次檢驗的顯著性水平進行調(diào)整，使總的型錯誤指拒絕了實際上成立的，為“棄真的錯誤，其概率通常用表示概率控制在給定的水平下。具體方法如下： 對于k個平均數(shù)，需要進行 次比較，若在每次檢驗中的顯著性水平為，則每次檢驗中不犯型錯誤的概率為1-，c次檢驗中都不犯型錯誤的概率為 ，c次檢驗每次都犯型錯誤的概率為 ，由此，每次檢驗的顯著性水平應為：cec )1ln(112/ ) 1( kkcc) 1 (c) 1 (12.5.2 Bonferroni t檢驗:續(xù)例1

18、，假設我們要對4個平均數(shù)都進行兩兩比較，取總得犯型錯誤的概率為=0.05和=0.01，則每次檢驗的顯著性水平分別為：008. 06/05. 0002. 06/01. 0查表，可得在這兩個顯著性水平下t檢驗的否定域的臨界值為：69. 3)16(25. 3)16()16(92. 2)16(002. 0005. 0008. 001. 0tttt由于顯著水平0.008時的臨界值不能從表中直接查到，我們?nèi)★@著性水平為0.01和0.005兩個水平之間的臨界值。下面分別進行4個平均數(shù)的兩兩比較：比較1 H0：1=2，HA：123734. 32251. 6295021jiXXSXXt該t值大于t0.005(1

19、6)=3.25，但小于t0.002(16)=3.69，故第1種和第2種飼料差異顯著。:比較2 H0：1=3，HA：131405. 52251. 6185031jiXXSXXt該t值大于t0.002(16)=3.69，故第1種和第3種飼料差異極顯著。比較3 H0：1=4，HA：143373. 42251. 6235041jiXXSXXt該t值大于t0.002(16)=3.69，故第1種和第4種飼料差異極顯著。:比較4 H0：2=3，HA：237670. 12251. 6182932jiXXSXXt該t值小于t0.01(16)=2.92，故第2種和第3種飼料差異不顯著。比較5 H0：2=4，HA：

20、249638. 02251. 6232942jiXXSXXt該t值小于t0.01(16)=2.92，故第2種和第4種飼料差異不顯著。比較6 H0：2=3，HA：238032. 02251. 6231843jiXXSXXt該t值的絕對值小于t0.01(16)=2.92，故第3種和第4種飼料差異不顯著。:a) 首先將全部平均數(shù)從大到小依次排列b) 在最大的平均數(shù)標上字母ac) 將該平均數(shù)與以下的平均數(shù)依次比較，凡不顯著的都標上相同字母a，直到顯著，標上下一字母bd) 以標上字母b的平均數(shù)作為標準，從下向上與上方各自比其大的平均數(shù)比較，凡是不顯著的都標以b，直到顯著為止e) 再以標有b的最大平均數(shù)為

21、標準，向下依次比較，直到顯著，標以字母c，再以標c平均數(shù)向上比較直到顯著為止f)重復上述步驟，直到所有平均數(shù)都比較完留意：向上比較顯著時不標新字母，向下比較顯著時要標以新字母2.6 表示方法標記字母法:以上多重比較的結(jié)果可用表1.3表示：飼料平均數(shù)=0.05=0.01150aA229bAB423bB318bB表1.3 多重比較的結(jié)果表示當=0.05時，比較結(jié)果以小寫字母表示；當=0.01時，比較結(jié)果以大寫字母表示。在任意兩行中，凡是兩個平均數(shù)無共同字母則表示差異顯著，只要有一個字母相同就說明其間差異不顯著?？梢钥闯?，在用Bonferroni t檢驗進行多重比較時，飼料1和飼料2的差異水平僅僅是

22、顯著，單用LSD法時，它們的差異水平達到了極顯著水平。:除了這兩種方法外，還有很多其它的方法，如Duncans多重極差檢驗、SNK(Student-Newman-Keuls)法也稱q檢驗）、Tunkey的W法、Dunnett檢驗、Scheff法等，不同的方法適用于不同的情況。這些方法間很重要的一個區(qū)別是對差異顯著性的控制嚴格程度不同，例如前面介紹的兩種方法，Bonferroni t檢驗要比LSD法嚴格的多。:3方差分析雙向交叉分組資料 交叉分組是指每一個因子的每一個水平都與所有其他因子的各個水平發(fā)生交叉組合，每一水平組合就是一個組，例如如果有兩個因子A和B，A因子有p個水平，B因子有q個水平，

23、進行交叉分組就共有pq個組個，稱之為雙向交叉分組。 交叉分組資料又分為水平組合無重復和有重復觀察值兩種情況。:3.1 交叉分組無重復資料的方差分析3.1.1 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)因子A因子B合計平均B1B2.BqA1X11X12.X1qX1.X1.A2X21X22.X2qX2.X2.ApXp1Xp2.XpqXp.Xp.合計X.1X.2.X.q總和X.平均X.1X.2.X.q總平均X因子A有p個水平，因子B有q個水平，A與B的每個組合都僅產(chǎn)生1個觀測值，即無重復觀測，共計N=pq個觀測值。:ijjiijeX3.1.2 數(shù)學模型（2.1）Xij為因子A的第i個水平和因子B的第j個水平下的觀測值；為總平均；i為

24、因子A第i個水平的效應； ；j為因子B的第j個水平的效應； ；eij為隨機誤差。2.1.3 平方和與自由度的剖分所有觀測值的總平方和為：ijijTXXSS2)(將每個離均差平方和剖分為：乘積項222).().().()(XXXXXXXXXXjiijjiij 0i 0j:兩邊求和后可得ijijjiijjiijTXXXXXXpXXqXXSS2222).().().()(所有乘積項求和后為零。這樣將總平方和剖分成了3個平方和之和。第一項稱為A因子平方和，記為SSA，它的大小反映了A因子各因子水平的效應的差異；第二項稱為B因子平方和，記為SSB，它的大小反映了B因子各因子水平的效應的差異；第三項稱為誤

25、差平方和，它是由隨機誤差引起的，記為SSE。于是，上式可寫為：EBATSSSSSSSS:NXXXXSSijijijijT222)(BATESSSSSSSSNXCT/2NXXqXXqSSiiiiA2221)(NXXpXXpSSjjjjB2221)(校正項總平方和A因子平方和B因子平方和誤差平方和與以上各個平方和相應的自由度為：BATEBATdfdfdfdfqdfpdfNdf111總自由度A因子自由度B因子自由度誤差自由度:3.1.4 假設檢驗這里要進行兩個假設檢驗，一是檢驗A因子不同水平的效應有無差異，二是檢驗B因子不同水平的效應有無差異，檢驗方法如下：（1） 假設檢驗1 H0：1=2=p=0，

26、HA：至少有一個不等于0檢驗2 H0：1=2=q=0，HA：至少有一個不等于0（2） 檢驗統(tǒng)計量),(EAEAAdfdfFMSMSF ),(EBEBBdfdfFMSMSF 檢驗1檢驗2式中：MSA=SSA/dfA為A因子均方，MSB=SSB/dfB為B因子均方，MSE=SSE/dfE為誤差均方。:（3統(tǒng)計推斷變異來源平方和自由度均方FA因子SSAdfAMSAFAB因子SSBdfBMSBFB誤差SSEdfEMSE總變異SSTdfT表2.2 方差分析表2.1.5 多重比較當以上的方差分析結(jié)果為差異顯著時，還可進一步作多重比較，仍可用Bonferroni t檢驗。檢驗統(tǒng)計量為：jiXXjiSXXt式

27、中： （對于A因子） （對于B因子）qMSSEXXji2pMSSEXXji2每次在Bonferroni t中的顯著性水平應為/c，其中c等于總的檢驗次數(shù)包括對A因子和對B因子的多重比較次數(shù)）。:3.2 交叉分組等重復資料的方差分析因子A因子B合計平均B1B2.BqA1X111，X112，.，X11nX121，X122，.，X12n.X1q1，X1q2，.，X1qnX1.X1.A2X211，X212，.，X21nX221，X22，.，X22n.X2q1，X2q2，.，X2qnX2.X2.ApXp11，Xp12，.，Xp1nXp21，Xp22，.，Xp2n.Xpq1，Xpq2，.，XpqnXp.X

28、p.合計X.1X.2.X.q總和X.平均X.1X.2.X.q總平均X 表中因子A和因子B的每個組合都有多個觀測值，因而稱之為有重復資料，而且在這里每個組合的觀測值個數(shù)都是n，因此是等重復資料。在實際資料中，各組合的觀測個數(shù)可能相等，也可能不等，這里我們只考慮觀測值個數(shù)相等的情況。3.2.1 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu):3.2.2 主效應與互作效應 對于有重復和無重復資料的方差分析，其主要區(qū)別是利用有重復的資料可以對兩因子對各水平之間的交互作用進行分析。所謂交互作用，是指每個因子并不是獨立地對觀測值起作用，兩因子的不同水平組合也會起作用，從而使得一個因子的某個水平在另一個因子的不同水平中有不同的效應。a.無互作b

29、.有互作在a.中，飼料A和B的增重效應對甲乙兩個品種一致，都是B強于A，且兩條線基本平行，所以認為品種和飼料是獨立地。在b.中，對于品種甲，飼料B優(yōu)于飼料A，但對于品種乙，飼料A優(yōu)于飼料B，此時我們說在品種與飼料間有交互作用。:3.2.3 數(shù)學模型ijkijjiijkeyyijk為因子A的第i個水平和因子B的第j個水平下的第k個觀測值；為總平均；i為因子A第i個水平的效應； ；j為因子B的第j個水平的效應； ；ij為A因子第i個水平和B因子第j個水平的互作效應， ；eij為隨機誤差。 0i 0j0ijijij3.2.4 平方和和自由度的剖分乘積項222)()()(ijijkijjkXXXXXX

30、i首先將每個觀測值的離均差平方剖分兩邊求和，得：ijijkijijkijijkijkXXXXnXX222)()()(:上式的左邊為總平方和，記為SST；右邊的第1項為水平組合平方和，也稱為處理平方和，記為SSt，它反映了A因子、B因子和它們之間的互作對觀測值的總影響；第2項為誤差平方和，記為SSE，即EtTSSSSSS對處理平方和還可進一步剖分：乘積項2222)()()()(XXXXXXXXXXjiijjiij兩邊求和，得：222)()()(ijijjiijXXpnXXqnXXnijjiijXXXXn2)(等式右側(cè)第1項為A因子平方和，記為SSA；第2項為B因子平方和，記為SSB；第3項為互作

31、平方和，記為SSAB。于是，得：EABBATSSSSSSSSSS:各個平方和的具體算法如下：NXXXXSSijkijkijkijkT222)(tTESSSSSSNXCT/2NXXqnXXqnSSpiipiiA212211)(NXXpnXXpnSSjqjqjjB212211)(校正項總平方和A因子平方和B因子平方和誤差平方和NXXnXXnSSijijijijt2221)(處理平方和BAtijjiijABSSSSSSXXXXnSS2)(互作平方和:與以上各個平方和相應的自由度為：BAtABBATEBAtTdfdfdfqpdfdfdfdfdfqdfpdfpqdfpqndf) 1)(1(1111總自由度A因