大學(xué)物理：第6章 機(jī)械振動(dòng)

1、機(jī)械振動(dòng)37,36,33,32,24,15,14,13174P 一一 掌握掌握描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的各個(gè)物理量（特別是描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的各個(gè)物理量（特別是相位）的物理意義及各量間的關(guān)系相位）的物理意義及各量間的關(guān)系. . 二二 掌握掌握描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法和圖線表描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法和圖線表示法，并會(huì)用于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律的討論和分析示法，并會(huì)用于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律的討論和分析. . 三三 掌握掌握簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本特征，能建立一維簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本特征，能建立一維簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程，能根據(jù)給定的初始條件寫出一諧運(yùn)動(dòng)的微分方程，能根據(jù)給定的初始條件寫出一維簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，并理解其物理意義維簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，并

2、理解其物理意義. . 四四 理解理解同方向、同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成規(guī)律，同方向、同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成規(guī)律，了解拍和相互垂直簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的特點(diǎn)了解拍和相互垂直簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的特點(diǎn). . 五五 了解了解阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振的發(fā)生條阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振的發(fā)生條件及規(guī)律件及規(guī)律. .簡(jiǎn)諧振動(dòng)往復(fù)運(yùn)動(dòng)。如聲源的振動(dòng)、鐘擺的擺動(dòng)等。機(jī)械振動(dòng) 物體在它的平衡位置附近所作的物體發(fā)生機(jī)械振動(dòng)的條件：物體受到始終指向平衡位置的回復(fù)力；物體具有慣性。掌握機(jī)械振動(dòng)的基本規(guī)律是研究其它形式振動(dòng)的基礎(chǔ)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)（simple harmonic vibration) 是最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)理想模型。它是研究各種復(fù)雜振動(dòng)

3、的重要基礎(chǔ)。這里主要討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)。動(dòng)力學(xué)特征以物體受力為零的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)水平光滑面，彈簧勁度 質(zhì)量可忽略，物體質(zhì)量物體在任一位置受的彈性力以鉛垂方向 為擺角參考軸線，單擺在任一角位置 所受的重力矩為則取擺幅很小X正X向反X向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度A簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度A應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，同理也可求得單擺的角振動(dòng)方程X簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程對(duì)于給定的彈簧振子 為常量，其比值亦為常量。令則即得A為微分方程求解時(shí)的積分常量，由系統(tǒng)的初始條件決定。簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程A該微分方程的解通常表成余弦函數(shù) 從動(dòng)力學(xué)方面來(lái)看，如果物體受到的合力的大小總是與物體相對(duì)其平衡位置的位移成正比、方向相反(簡(jiǎn)稱為正比反向力)，那么，該物體的運(yùn)

4、動(dòng)就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。合力與位移正比反向是物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征.形如 的力稱為線性回復(fù)力，其中k、b都是常數(shù)，這種力可以通過坐標(biāo)平移變換 簡(jiǎn)化為正比反向力 ，所以，在新坐標(biāo)系中，物體的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。因此，合力為線性回復(fù)力時(shí)，物體也是在作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 Fkxb xxb k Fkx 續(xù)4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度AA簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度AAA最大最大最大AAA簡(jiǎn)諧振動(dòng)參量XAA振幅 ： 的最大絕對(duì)值A(chǔ)周期：完成一次振動(dòng)需時(shí)頻率：角頻率：彈簧振子單 擺AA相位 ：是界定振子在時(shí)刻 的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量運(yùn)動(dòng)狀態(tài)要由位置 和速度 同時(shí)描述，而 和 的正負(fù)取決于 ，不是指開始振動(dòng)，而是指開始觀測(cè)和計(jì)時(shí)。

5、所謂時(shí)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)AA位置速度初始條件即為初相 ：是時(shí)，振子的相位。續(xù)6由 和 求給定振子的振幅AAAA消去 得初相 由 和 求給定振子的AAA消去 得 但由于但由于 在在 0 20 2p p 范圍內(nèi)，同一正切值對(duì)應(yīng)有兩個(gè)范圍內(nèi)，同一正切值對(duì)應(yīng)有兩個(gè) 值，因值，因此，還必須再根據(jù)此，還必須再根據(jù) 和和 的正負(fù)進(jìn)行判斷。聯(lián)系振子運(yùn)動(dòng)狀的正負(fù)進(jìn)行判斷。聯(lián)系振子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)態(tài)直觀圖不難作出判斷直觀圖不難作出判斷且若則若且則且若則且若則（第一象限）（第二象限）（第三象限）（第四象限）旋轉(zhuǎn)矢量法AAXXOjM ( 0 )Aj初相M ( t )twtwM ( t )twM ( t )twM ( t )M (

6、 t )twM ( t )twM (T )Tw周期 TM ( t )twM ( t )twXOjM ( 0 )j初相M ( t )twA矢量端點(diǎn)在X 軸上的投影對(duì)應(yīng)振子的位置坐標(biāo)t 時(shí)刻的振動(dòng)相位(w w tj j ) )旋轉(zhuǎn)矢量A以勻角速逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)循環(huán)往復(fù)x = A cos (w w tj j ) )簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程例一0.040.0412簡(jiǎn)諧振動(dòng)的曲線完成下述簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程A = 0.04 (m)T = 2 (s)w w = 2 p / p / T T = p p (rad /s )0.04p pp p2Aw w= p p / 2 t = 0v0 從 t = 0 作反時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，A矢端的投影從x

7、=0向X軸的負(fù)方運(yùn)動(dòng)，即 ，與 已知 X t 曲線一致。v0SI 試證明，若選取受力平衡點(diǎn)作為位置坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直彈簧振子與水平彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程和振動(dòng)方程相同。選取受力平衡點(diǎn)作為位置坐標(biāo)原點(diǎn)小球在位置坐標(biāo) 處所受彈性力合外力振動(dòng)方程A動(dòng)力學(xué)方程微分方程的解：均與水平彈簧振子結(jié)果相同平衡點(diǎn)在受力平衡點(diǎn)小球受彈性力大小例二例三彈簧振子x0 = 0t = 0 時(shí)v0 = 0.4 ms -1m = 510 - -3 kgk = 210 - -4 Nm -1 完成下述簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程v0mk0.2 (rad s 1)x0v02 (m)x0 = 0已知w w相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖為20.2(SI)v0例四某物體沿

8、 X 軸作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)， 振幅 A = 0.12 m，周期周期 T = 2 s，t = 0 時(shí)x0 = 0.06 m處初相 j j , ,t = 0 .5 s 時(shí)的位置 x, 速度 v, 加速度 a物體背離原點(diǎn)移動(dòng)到位置A = 0.12 m，T = 2 s , w w = 2p / p / T = p p rad s - -1 , 將j j = p / 3 p / 3 rad 及 t = 0 .5 s 代入諧振動(dòng)的 x, v, a 定義式得x A cos (w w tj j ) )0.104 (m)A0.19 ( m s - -1 )A1.03 ( m s - -2 )x = A cos (w w

9、 tj j ) )由簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程t = 0 時(shí)0.06 = 0.12 cos j j 得 j j =p / 3p / 3再由題意知 t = 0 時(shí)物體正向運(yùn)動(dòng)，即A0且j j = p / 3p / 3，則 j j 在第四象限，故取例五周期均為 T = 8.5s 用旋轉(zhuǎn)矢量法兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位差兩質(zhì)點(diǎn)第一次通過平衡點(diǎn)的時(shí)刻兩質(zhì)點(diǎn) 1、2同在 X 軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)t = 0 時(shí) 在 處 質(zhì)點(diǎn)2 AA向平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)1在 處向平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)振幅 A 相同Acos Acos 或因且在第一象限應(yīng)取Acos Acos 兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位差A(yù)A從旋轉(zhuǎn)矢量圖可以看出：時(shí)，質(zhì)點(diǎn)1第一次通過平衡點(diǎn)A轉(zhuǎn)過1.06 (s)A轉(zhuǎn)過時(shí)

10、，質(zhì)點(diǎn)2第一次通過平衡點(diǎn)2.13(s)1 1 單擺單擺lmoAmglmglMsin22ddmglIt2Imllgt22ddw222ddt)cos(mjwtlg2w令令TFPglT2轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)正向正向sin,5時(shí)時(shí)oC*2 2 復(fù)擺復(fù)擺lmglM22ddmglItw222ddt2mglIw令令)cos(mjwt)5(P（ 點(diǎn)為質(zhì)心）點(diǎn)為質(zhì)心）C2ITmgl轉(zhuǎn)動(dòng)正向轉(zhuǎn)動(dòng)正向 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述和特征簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述和特征xa2w4 4）加速度與位移成正比而方向相反加速度與位移成正比而方向相反xtx222ddw2 2）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)描述)sin(jwwtAv)cos(jwtAx3 3）

11、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述mglIw復(fù)擺復(fù)擺wmk彈簧振子彈簧振子lgw單擺單擺kxF1 1）物體受線性回復(fù)力作用物體受線性回復(fù)力作用 平衡位置平衡位置0 x振動(dòng)能量 （以x x= =0 0處為零勢(shì)點(diǎn)）系統(tǒng)的 動(dòng)能A系統(tǒng)的 勢(shì)能A系統(tǒng)的 機(jī)械能AA振子運(yùn)動(dòng)速度AA簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程振動(dòng)系統(tǒng)： 彈簧勁度振子質(zhì)量振動(dòng)角頻率如 水平彈簧振子均隨時(shí)間而變且能量相互轉(zhuǎn)換變到最大時(shí)變?yōu)榱阆到y(tǒng)的機(jī)械能守恒。及A變?yōu)榱阕兊阶畲髸r(shí)時(shí) 間能 量例六動(dòng)能A 勢(shì)能A當(dāng)時(shí)則其中得振動(dòng)相位或一水平彈簧振子彈簧勁度振子質(zhì)量振幅 A沿 X X 軸振動(dòng) 當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)的以平衡點(diǎn)為原點(diǎn)位置坐標(biāo) x 相等時(shí) 動(dòng)能值與勢(shì)能值 振

12、子的A代入中，解得能量位置例七該擺動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒數(shù)學(xué)表達(dá)式該擺的運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程及擺動(dòng)周期動(dòng)能 剛體（直棒）轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 勢(shì)能 系統(tǒng)的重力勢(shì)能以垂態(tài)直棒中心點(diǎn) C 為重力零勢(shì)點(diǎn)令機(jī)械能機(jī)械能守恒，即 為恒量，即得 簡(jiǎn)諧角振動(dòng)微分方程該擺的振動(dòng)周期勻質(zhì)細(xì)直懸棒質(zhì)量 m、長(zhǎng) L在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)擺幅很小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量振動(dòng)合成一且 相同同在 X X 軸合成振動(dòng)用旋轉(zhuǎn)矢量法可求得合成振動(dòng)方程與計(jì)時(shí)起始時(shí)刻有關(guān)合成初相分振動(dòng)初相差與計(jì)時(shí)起始時(shí)刻無(wú)關(guān)，但它對(duì)合成振幅屬相長(zhǎng)還是相消合成起決定作用續(xù)18合振動(dòng)分振動(dòng)；其中，合振幅若則為合振幅可能達(dá)到的最大值若則若為其它值，則 處于與之間若則為合振幅可能達(dá)到的最小值若則例八

13、0.050.060.07簡(jiǎn)諧振動(dòng)(SI)(SI)(SI)合成的和合成的 最大時(shí)合成的 最小時(shí)8.9210 2 (m)0.92868 12248 12(舍去）時(shí)當(dāng)?shù)煤铣傻?達(dá)到最小當(dāng)時(shí)合成的 達(dá)到最大得振動(dòng)合成二為了突出重點(diǎn)，設(shè)兩分振動(dòng)的振幅相等且初相均為零。合振動(dòng)此合振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，一般比較復(fù)雜，只介紹一種常見現(xiàn)象：頻率為 的簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率為 的簡(jiǎn)諧振動(dòng)續(xù)21385 Hz383 Hz聽到的音頻384 Hz強(qiáng)度節(jié)拍性變化2 Hz若與相差不大，可看作呈周期性慢變的振幅合振動(dòng)頻率相對(duì)較高的簡(jiǎn)諧振動(dòng)1 秒秒9 Hz8 Hz合振動(dòng)振幅 （包絡(luò)線） 變化的頻率稱為兩分振動(dòng)的頻率1 Hz“ 拍頻 ”合振動(dòng)頻

14、率8.5 Hz例如：6.2.3 諧振分析和頻譜諧振分析和頻譜一一. 一個(gè)周期性振動(dòng)可分解為一系列一個(gè)周期性振動(dòng)可分解為一系列 頻率分立的簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率分立的簡(jiǎn)諧振動(dòng)若周期振動(dòng)的頻率為若周期振動(dòng)的頻率為 : 0則各分振動(dòng)的頻率為則各分振動(dòng)的頻率為: 0, 2 0, 3 0, (基頻基頻 , 二次諧頻二次諧頻 , 三次諧頻三次諧頻 , ) xot鋸齒波鋸齒波Aw ww w03w w05w w0鋸齒波頻譜圖鋸齒波頻譜圖方波的分解方波的分解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x00tx0二二. .一個(gè)非周期性振動(dòng)可分解為無(wú)限一個(gè)非周期性振動(dòng)可分解為無(wú)限xot阻尼振動(dòng)曲線阻尼振動(dòng)曲線

15、阻尼振動(dòng)頻譜圖阻尼振動(dòng)頻譜圖ow wA多個(gè)頻率連續(xù)變化的簡(jiǎn)諧振動(dòng)多個(gè)頻率連續(xù)變化的簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)合成三消去 得軌跡方程：該方程為橢圓的普遍方程，若或得直線或得直線若若介紹幾種特殊情況：得正橢圓續(xù)23或用用旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矢矢量量描描繪繪振振動(dòng)動(dòng)合合成成圖圖振動(dòng)合成四其合運(yùn)動(dòng)一般較復(fù)雜，且軌跡不穩(wěn)定。但當(dāng) 為兩個(gè)簡(jiǎn)單的整數(shù)之比時(shí)可以得到穩(wěn)定軌跡圖形，稱為李薩如圖形例如阻尼振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)或衰減振動(dòng)振幅逐漸衰減的振動(dòng)形成阻尼振動(dòng)的原因：振動(dòng)系統(tǒng)受摩擦、粘滯等阻力作用，造成熱損耗；振動(dòng)能量轉(zhuǎn)變?yōu)椴ǖ哪芰肯蛑車鷤鞑セ蜉椛?。以第一種原因?yàn)槔?，建立阻尼振?dòng)的力學(xué)模型。續(xù)26以液體中的水平彈簧振子為例：摩擦阻力彈性力

16、振動(dòng)速度不太大時(shí)受：阻力系數(shù)摩擦阻力與 反向負(fù)號(hào)：彈性力振子 受合外力即令稱為振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率得稱為阻尼系數(shù)若阻尼較弱，且時(shí)，上述微分方程的解為續(xù)27和取決于初始狀態(tài)。為振動(dòng)角頻率，為阻尼振動(dòng)的振幅，隨時(shí)間的增大而指數(shù)衰減。本圖設(shè)越大，振幅衰減越快，且振動(dòng)周期 越長(zhǎng)。周期續(xù)28 相對(duì)較大的阻尼振動(dòng)，其振幅衰減較快，但只要滿足，振子仍可出現(xiàn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的特征，仍屬阻尼振動(dòng)。若阻尼過大，以致，用此條件求解微分方程，其結(jié)果表明（數(shù)學(xué)表達(dá)從略）振子不能作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是從開始的最大位置緩慢地回到平衡位置。此情況稱為過阻尼。若，振子從開始的最大位置較快地回到平衡位置，并處于往復(fù)運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)。此情況稱為臨

17、界阻尼。臨界阻尼過阻尼阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng) 系統(tǒng)在周期性外力的持續(xù)作用下所作的等幅振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)。幅 值角頻率周期性外力（強(qiáng)迫力）彈性力示意建立動(dòng)力學(xué)方程即表成此微分方程的解為續(xù)30受迫振動(dòng)進(jìn)入穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)后，其振動(dòng)角頻率為強(qiáng)迫力的角頻率 ，其振幅為 受迫振動(dòng)與強(qiáng)迫力有一定的相位差 ，用初相 表示 和都與 阻尼系數(shù)固有角頻率 的大小有關(guān)。強(qiáng)迫力角頻率 相對(duì)于系統(tǒng)的開始振動(dòng)比較復(fù)雜經(jīng)過一段時(shí)間后，受迫振動(dòng)進(jìn)入穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)。續(xù)31討論受迫振動(dòng)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的振幅討論受迫振動(dòng)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的振幅若強(qiáng)迫力的角頻率若強(qiáng)迫力的角頻率 已定，已定， 大則大則 小。小。 系統(tǒng)的固有角頻率時(shí)，系統(tǒng)的固有角頻率時(shí)， 獲得極

18、大值。獲得極大值。若阻尼系數(shù)若阻尼系數(shù) 已定，當(dāng)已定，當(dāng) 等于或接近等于或接近令求得 極大時(shí)的 為受迫振動(dòng)的振幅出現(xiàn)極大值的受迫振動(dòng)的振幅出現(xiàn)極大值的現(xiàn)象稱為現(xiàn)象稱為 共振共振。共振時(shí)的振幅值為共振時(shí)的強(qiáng)迫力頻率稱為共振頻率較小較大如圖，一倔強(qiáng)系數(shù)為k的輕彈簧，一端固定在墻上，相連,求此系統(tǒng)的振動(dòng)圓頻率。一質(zhì)量為m2的物體跨過一質(zhì)量為M,半徑為R的定滑輪與m1另一端連接一質(zhì)量為m1的物體,放在光滑的水平面上,將例2m1mMkR解法一：smamTgm 2222軸正向, m1 、m2、M受力如圖所示，顯然有：2211()2TT RIMR以彈簧原長(zhǎng)的端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),向右為S坐標(biāo)asRRsmamksT 1111m g1Tf2mgMR/1T2T/2TN可可得得個(gè)個(gè)方方程程解解上上述述,4021221kgmsksMmm 上上式式可可化化為為由由于于令令,2sxkgmsx 02xxw Mmmk2121w021221kgmSkSMmm 研究對(duì)象m1 、m2、M、k、地球。只有重力和四.典型習(xí)題力勢(shì)能不變,則當(dāng)m2下降s時(shí)：彈簧勢(shì)能為零,m2所在處的重力勢(shì)能為零,由于m1的重彈簧的彈力做功,因此系統(tǒng)的E守恒。設(shè)m1運(yùn)動(dòng)到o點(diǎn)時(shí),解法二：0212121212122222212gsmmRMRmks可可得得求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)將將上上式式對(duì)對(duì),t上上式式可