河南省洛陽市2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期中考試?yán)頂?shù)試題Word版含解斬

1、河南省洛陽市2018-2019學(xué)年下學(xué)期期中考試 高二理數(shù)試題 第I卷（共60分）一、選擇題：本大題共 12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目 要求的.1 .復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)二對應(yīng)的點(diǎn)為（21），則復(fù)數(shù)二的共軻復(fù)數(shù)，的虛部為（）A. 1 B. 一 C. D.【答案】B【解析】由題意可知，e=2 +»所以2二2- i，所以復(fù)數(shù)Z的共軻復(fù)數(shù)的虛部為一1 ；故選b.2 .曲線尸二/- 3/ + 1在點(diǎn)（1,一 1）處的切線方程為（）A. 3； - 丁 一 . 口 B-；1.-2。C. ”-一D. 4.:二：【答案】B【解析】有題意可知，= 3 -6、，

2、所以川 *二I=一3,所以曲線尸二工且- 3/+1在點(diǎn)（1廠1）處 的切線方程為. -3 .有一段演繹推理是這樣的：“若函數(shù)的圖象在區(qū)間D上是一條連續(xù)不斷的曲線，且 尸（北口） = 0,則?。粼邳c(diǎn):。處取得極值；已知函數(shù)fG）=，在R上是一條連續(xù)不斷的曲線，且F（o）= o,則佗）在點(diǎn) I二。處取得極值”.對于以上推理，說法正確的是（）A.大前提錯誤，結(jié)論錯誤B.小前提錯誤，結(jié)論錯誤C.推理形式錯誤，結(jié)論錯誤D.該段演繹推理正確，結(jié)論正確【答案】A【解析】大前提是： 若函數(shù)/任）的圖象在區(qū)間D上是一條連續(xù)不斷的曲線，且 產(chǎn)（|） = 0,則fOO在 點(diǎn)Tr處取得極值”，不是真命題，因?yàn)閷τ诳?/p>

3、導(dǎo)函數(shù) f,如果/，口） = o,且滿足當(dāng)1二工口附近的導(dǎo)函 數(shù)值異號時(shí)，那么工二父。是函數(shù)/（工）的極值點(diǎn)，大前提錯誤，導(dǎo)致結(jié)論錯誤，故選 A.4 .函數(shù)f。）= ax3 + bx2 +cx + d（a豐0）的圖象不可能是（C.D.【解析】對于圖像C,可知該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)由三個零點(diǎn), 又 產(chǎn)=3。/+ 2bx + c ,可知尸（*）=。至多2個零點(diǎn)，所以可知選項(xiàng) C錯誤，故選C.5. < 二”是“函數(shù)- 二一廣一tJE' ym + d有極值”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件1解析】若函數(shù)均數(shù)f Q）=：工3 之又工+ 5 +而極值，則

4、尸（6 = X一%十 £ = 口應(yīng)該有解，即A = 1 - 4。20,得匚£ %根據(jù)函數(shù)極值的定義，可4UC <qx2 + ex +一定有極值，所以飛 < 孑是海數(shù)fO） = |x3-1xz + +演極IT的必要不充分條件，故選B6.由曲線ry - L直線y 7, y=3所圍成的平面圖形的面積為（A. - B.1-:二 C. - - II. -X J2 =（3x-h x） ； +2=4 -In 3，故選 D.【解析】試題分析：S考點(diǎn)：定積分的應(yīng)用7.已知的大小關(guān)系為（A. G旌市B.吟口k C. d D dD.同【答案】C【解析】試題分析：,_二. 1.考點(diǎn)：比

5、較大小8. 一物體沿直線做運(yùn)動，其速度和時(shí)間f的關(guān)系為V（t） =2t-t2,在t二1到t二3時(shí)間段內(nèi)該物體行進(jìn)的路程和位移分別是（）,2122Z2A. - B. 1, - C. J - D. 333333【答案】A【解析】由定積分的幾何性質(zhì)可知，該物體的行進(jìn)的路程為（25科）也一（2t-tz）dt 二佇-;該物體的行進(jìn)的位移為也-產(chǎn)岫+ 1供一4#二口2 出：） + （-7"廖=丁/_不故選A.9 .函數(shù)f（X）的圖象如圖所示，設(shè) 尸因是他） 的導(dǎo)函數(shù)，若0 遼 b,下列各式成立的是（ ）fyA：，：二”三 B. - - -：-C - 一三，1 D. - 二三【答案】D【解析】由函

6、數(shù)的圖象可知，尸0)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由，基本不等式的性質(zhì)可知,* '欣喈所以f(Y)<陶) 尸的,故選D.10 .已知函數(shù)f。:) = m，* + lnx2工在定義域內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù) 力|的取值范圍是()A.花屋B.闔C.:吐D.港1 22【答案】B【解析】求導(dǎo)函數(shù)，可得j |Z)二2mt + 二2?10，函數(shù)f =mx2 + lax 2式在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以尸< 0成立，即2mx-2 <。(1> 0)恒成立，所以-2m > - - l)z - L所以-2m > -1,所以m < 5時(shí),函數(shù)fOO在定義域內(nèi)是增函數(shù).故選 b.

7、211 .已知，(工)是定義在R上的函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)尸滿足尸(工)<F3)對于h E R恒成立，則()a. e7(-2)</(0), f(2017) < 白皿7(0) b. e2f(-2 < f(0), f(2017) > 產(chǎn)網(wǎng)C. /f(T) > f(0), /(2017) < e2m/(0) d.>/(0), f(2017) > em7/(0)【答案】C【解析】令=竽則FQ) = ""?兇,:尸 << 0 , F(X)在R上遞減，F(xiàn)(0)<F(-2),F(0)>r(2017),即)<絲，網(wǎng)&

8、gt;粵 / ffFf(2017)<e2017(0),故選 C.n 口 V*12 .對于函數(shù)聞二二比蚓,下列說法錯誤的是()AAA.函數(shù)，(燈在區(qū)間 電環(huán))是單調(diào)函數(shù) B.函數(shù)/(工)只有1個極值點(diǎn)c.函數(shù)fco在區(qū)間Wj：)有極大值d.函數(shù)fco有最小值，而無最大值【答案】C【解析】函數(shù)，。）=號，可得函數(shù)7O） =盧，當(dāng)工E （口，一寸,由三角函數(shù)線可知# < tag,即不等式女嶼又一日也< t）成立，可得工 £ （0,寸，（CO < 0，出數(shù)是減函數(shù).當(dāng)工G G，"X寸，xcosx-sirrt<0,函數(shù)是減圖數(shù).函數(shù)在甕=$時(shí)連續(xù)，所以圖

9、數(shù)人功=吧，舅E伊，霜）的單調(diào)區(qū) &WF間為（tbn），又當(dāng)?shù)贓 （萬虧萬寸，xcosx - sinx > 0,即/（0> 6則函數(shù)在上=加寸取得極小值，所以觥1代4有最小值，而無最大值，據(jù)此可知選項(xiàng)C錯誤，故選C點(diǎn)睛：對于針對函數(shù)F 一 口 T,1 , 1，（M）二二的性質(zhì)，當(dāng) 加M） 時(shí)，由三角函數(shù)線可知, xVi< tanv ； 利用商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二-，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值即可得到結(jié)論.第n卷（共90分）二、填空題（每題 5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.函數(shù)f（H）= 2工+ 1在

10、區(qū)間k b上的平均變化率為 【答案】2山4個 - 乃 （2xb+lH2Xn+l）.【解析】函數(shù)f（M）= 2二一 1在區(qū)間%可上的平均變化率為： 二2i-a14.定積分 (V16-r2 -i)dx =【答案】:-二【解析】(V16-x2 -；“dr = J：vl6-x2dxj：-z)dr=4ff-Jra| 在平行四邊形ABCD中(如圖甲)，有AC12 + CAj2 + DB12 =甲乙【答案；_：15 .六個面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體,AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2'),利用類比推理，在平行六 面體ABCD 4比6中(如圖乙)，【解析】如圖，平行六面體的各個

11、面以及對角面都是平行四邊形，因此，在平行四邊形中，AC2 +BD2 = 2(AB2 + AD2) ；在平行四邊形中，4。？= 2(水”+月月/;在平行四邊形BDDiB1中，BD2 + BDJ = 2(BD= + 6E/)；、相加，得ArC2 + AC + B1D2 + BDj = 2(AC2 + 2(BD2 +將代入，再結(jié)合AAr = 得，AC12 + BrD2 + AtC2 + SDJ = 4(AB2 + AD2 + .4).AB16 .已知il, b為正實(shí)數(shù)，直線y：二L。與曲線y = ln(±' + .。)相切，則一的取值范圍是 1+b【答案】【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為寸=士

12、 =【,X = 1 七，切點(diǎn)為（1 -瓦D）,代入y = x q得口 +3=1,.& b為正實(shí)數(shù)，1）,則急=令=三，則gQ）=震呼 則ffi數(shù)目 L 。型1乎 w4 用 -W-JF為增函救，二急W（CU）.故答案為三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知復(fù)數(shù)4 = m" + 2m 3 + (m l)i是純虛數(shù)(血£ R).（1）求加的值;4重若復(fù)數(shù)的二記求.【解析】試題分析:（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)z1 =+ 2m-3 + （m- l）f是純虛數(shù)，可得+ 2m-3 = 0據(jù)此解不等式組,熱一 1 # 0求交集，即可求出結(jié)果

13、；（2）由（1）知，Z = -4t,可得二，I ,然后再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法公式可得4 = 1 -3t,然后再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式即可求出結(jié)果試題解析:(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)4=m* +2m - 3 + (m- l)i是純虛數(shù).+ 說二。 ?加一 1 # 0河=1- -3_ o于是 m#l 也二T（2）由（1）知，2a =一皈4-2i4-2(4-2i(4-2i) <1-0牛"£1-0 in Ci+0-(i-i)= 1-34胃卡.18 .證明：若I，b，ce (oo,o),則q + ； b + L(: + 1至少有一個不大于-2. h c a【答案】見解析.【解析】試題分析： 首先根據(jù)

14、題意，通過反證法假設(shè) 竊+：b+L(： + 中沒有一個不大于-2,得出B C Aa_也 力+ ->2m_2,即(" +(r)>一6,然后根據(jù)基本不等式，bc£03 匕得出 (a - -e - 3 一(，一 ：)- 6 相互矛盾，即可證明.試題解析：證明I；假設(shè)以+巳b+-?白十謝大于一2/即以+：>2, b +->-2f c + i>-2. 0心d白CA所以 a + - + h + 7+ c + -> 6、.又因?yàn)榕c b , c G (-8.0)f ( a + 二)M 2,同理b + ； < 2, c + - < -2、二式相

15、加 a Hhb + ：+ cl" M6，aaC這與a + - + & + +c + -> -6相矛盾, 00琴所以假設(shè)不成立，即口 + % b + ' c +”至少有一個不大于一2. bca19 .如圖，在海岸線由拋物線 PEQ和線段PQ組成的小島上建立一個矩形的直升機(jī)降落場，要求矩形降落場的邊川與小島海岸線PQ重合，點(diǎn)B, C在拋物線PEQ上，其中直線0£是拋物線的對稱軸， 0E 二 40 米,海岸線PQ二疝米,求降落場面積最大值及此時(shí)降落場的邊長c,、3£譏'而 4V'而" so【答案】皿r=，AD二一米，A8二

16、一米.(/ max g3-q【解析】試題分析：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，PQ為I軸，0E為J軸建立平面直角坐標(biāo)系，易得拋物線方程為y = 40 /.設(shè)初二21,則48 =40- X1,矩形面積5（力二 2x（40-打低 xtM）,然后再利用導(dǎo)數(shù)即可求出最大值 試題解析：如圖，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，pq為I軸，0E為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，易得拋物線方程為y = 40-x設(shè)4D=21則加=40 -/矩形面積 S（x）= 2x（40-xz）（0<x< 2W。）,令5'(x) = 0,解得1二必或K2y30當(dāng)工 皿學(xué))，5，(力>0； IE (等12師)，50)<0；所以當(dāng)X時(shí)，5（

17、416n=二,1此時(shí)矩形邊長ad =米， AB 二一米. 3320 .已知數(shù)列4的通項(xiàng)公式 = 2" 1,其前1H項(xiàng)和為5小(1)求5刑;若&二（1-加-），試猜想數(shù)列4的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明【答案】（1） 5Kl =也%（2）見解析.【解析】試題分析：CD 4. = 2值- L可知數(shù)列是等差額列,根據(jù)等差數(shù)列前牌項(xiàng)和公式即可求出結(jié)果；&）由于，=（1-3。-3（工一士），可得瓦=a員=1=2,%于是猜想勾=卓,然后再利用數(shù)學(xué)歸納法證明，即可證明出結(jié)果.試題解析：CD = 2也一1,，額到是等差數(shù)列,且n=2 X 1 1 = 1,白 _ 二-T） _2J一口

18、一曜,%二。一晨）。一晨上式1一）， % *+1二淪亍泌二汕T=?l n+2于是猜想 .n Zi>+1)下證明猜想:當(dāng)牌二1時(shí)，,二：,猜想成立;假設(shè)當(dāng)住二k時(shí),猜想成立，即加 =()()-():,k 4八y *2”)那么，當(dāng)九二L + 1時(shí),k + 2 r 1 k + 2-1、-2(k +1)'。工)-2(k + 1) 口 - g + 2) Jk + 2 (i + l)(i + 3)=2(fc + 1)(k+ 2)zk+3(#+1) + 2-2(fc + 2)- 2(jt + l) + l)所以，牝=k +1時(shí)，猜想成立.tu+2_ n .匕=對任意 牝£ N ,都成

19、立.岫 2(h+1)21 .已知函數(shù)-二-一二-一 一： -1 .2(1)若 3 = 0 求函數(shù)f(H)的極值；(2)若函數(shù)fQr)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù) 。的取值范圍；【答案】(1)極小值f(e- l) = 2-e,而無極大值；(2)二+(»).【解析】試題分析：若口 =。則/=O + 1)如住+ 1) 2即國數(shù)的定義域?yàn)?一%+8), 尸8 = ln(x + 1) - 1,令/(兀)=0,即：ln(z +1)一= % 解得# = e - 1.當(dāng), e (-re -1耐jo)單調(diào)渤蠢當(dāng)無£ 0l+8十寸jco單調(diào)遞煙.于是即可求出a數(shù)的極值 若在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則/

20、0) = 1 + 1口。+ 1) - a(x + 1) - 2 < D在(-1,+00)恒成立，即 區(qū) > 小三產(chǎn)對任意的工G (-L+8)恒成立.vt T工令9。)= 嗤?二，然后再根據(jù)導(dǎo)藪在函救單調(diào)性中的應(yīng)用可求出函數(shù)0口)的最大值為*,于是，可求出區(qū)的取值范圍.試題解析：(i)若 G ；= 0,則 f(z) = (x + l)In(x + 1) - 2x,函數(shù)的定義域?yàn)?一1,+刈,產(chǎn)（燈=1 + ln（j + 1） - 2 = ln（r + i T, 令f'Qr） = 0,即：1口（丈 + '1） - 1 二 °,解得 T - S -1 當(dāng)大 （l

21、fe 一 1）時(shí)，f散）< 0, f（工）單調(diào)遞減； 當(dāng)工E （"L+oo）時(shí),尸> 0, fb）單調(diào)遞增.所以，在上二g 一 1處取得極小值f(e -1)= 2-e,而無極大值.(2)若fCO在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則f(x) = 1 + ln(x+ l)-a(x+1)-2 < 0在(-1+勸恒成立，即a > 皿士工對任意的工 (1,+&>)恒成立.x+l令- -Het，則,二1T3D+12-ln（x+l）解二 0,得五=e2 1，當(dāng)h E (- 1,/ 1)時(shí)，以工” 0, g(£)單調(diào)遞減;當(dāng)工£(/-1, + 8),，(幼

22、<0, gx)單調(diào)遞減，所以，以工)在(Tj+cc)上有最大值gg2- 11二二，于是，0的取值范圍為白一助點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的一般方法： 求函數(shù)y = fG0的極值的方法：(1)求導(dǎo)數(shù)二尸(%)； 求方程ra)=o的根(臨界點(diǎn))；與；(3)如果在根與附近的左側(cè)fo o,右側(cè)尸00c o,那么方(/) 是¥ - fOO的極大值；如果在根；中附近的左側(cè)廣付< 0,右側(cè)f'o Q,那么，(曲)是y=f(x)的極 小值.22 .已知函數(shù)一口有兩個零點(diǎn)-丫1, ”.(1)求實(shí)數(shù)Q的取值范圍；(2)求證：【答案】（1）（0二）；（2）見解析.【解析】試題分析：<1）函數(shù)/0） = zex -己的定義域?yàn)橛靡驗(yàn)?（工）= xe-x - n有兩個零點(diǎn)%,與，所以函數(shù)目0）=與函數(shù)V = Q有兩個不同的交點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，可失咕/E （-oo,l）al, 3（工）里調(diào) 遞增手當(dāng)其W （L + 8）時(shí)，9。）單調(diào)遞減J所以，并且當(dāng)H W （L + g）,且（工）> 0, 于是可得函數(shù)目（工）=5的圖象大致,然后再利用數(shù)形結(jié)合，可得函數(shù)目0）= 5與函數(shù)y = 已有兩個不同dU的交點(diǎn)時(shí)”的取值范圍f 由已知，&）=，&