空間曲線及其方程

1、§7.6 空間曲線及其方程一 空間曲線的一般方程空間曲線可看作兩曲面的交線，設(shè) 和 是兩曲面的方程，它們的交線為。曲線上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時滿足這兩個曲面方程，因此，應(yīng)滿足方程組(1)反過來，如果點(diǎn)不在曲線上，那么它不可能同時兩曲面上。所以，它的坐標(biāo)不滿足方程組(1)。由上述兩點(diǎn)可知：曲線可由方程組(1)表示。方程組(1)稱作空間曲線的一般方程。二 空間曲線的參數(shù)方程對于空間曲線， 若上的動點(diǎn)的坐標(biāo)可表示成為參數(shù)的函數(shù)(2)隨著的變動可得到曲線上的全部點(diǎn)，方程組(2)叫做空間曲線參數(shù)方程?！纠?】如果空間一點(diǎn)在圓柱面上以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度沿平行于軸的正方向上升(其中：，均

2、為常數(shù))，那未點(diǎn)的軌跡叫做螺旋線，試建立其參數(shù)方程。解：取時間為參數(shù)。設(shè)當(dāng) 時，動點(diǎn)與軸上的點(diǎn) 重合，經(jīng)過時間，動點(diǎn)由運(yùn)動到。 記在面上的投影為，它的坐標(biāo)為。由于動點(diǎn)在圓柱面上以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過時間，從而 又由于動點(diǎn)同時以線速度沿平行于軸正方向上升，所以因此，螺旋線的參數(shù)方程為或令，則方程形式可化為螺旋線有一個重要性質(zhì)：當(dāng)從變到時，由變到；這表明當(dāng)轉(zhuǎn)過角時，點(diǎn)沿螺旋線上升了高度；特別地，當(dāng)轉(zhuǎn)過一周，即時，點(diǎn)就上升固定的高度為，這個高度在工程技術(shù)上叫螺距。空間曲線的一般方程也可以化為參數(shù)方程，下面通過例子來介紹其處理方法?！纠?】將空間曲線 表示成參數(shù)方程。解：由方程組消去得由于在此橢圓柱面

3、上，故的方程可用如下形式來表示(1)、如果我們以作為參數(shù)，即令 則 從而得到曲線的參數(shù)方程且參數(shù)的取值范圍為 (2)、如果令，由橢球柱面方程有 ，而則曲線又可表示成為一般來說：1、空間曲線總可以用參數(shù)形式給出它的方程；2、隨著參數(shù)選取的不同，方程的形式會發(fā)生變化。三 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線的一般方程為(1)下面，我們來研究由方程組(1)消去變量之后所得到的方程(2)因(2)是由(1)消去后所得，則當(dāng)坐標(biāo) 適合方程組(1)時，前兩個坐標(biāo)必定適合方程(2)，即曲線上的所有點(diǎn)都在由(2)表示的曲面上。而方程(2)表示一個母線平行于軸的柱面，因此，此柱面必定包含曲線。以曲線為準(zhǔn)線，母線平行

4、于軸的柱面叫做關(guān)于面的投影柱面；投影柱面與面的交線叫做空間曲線在面上的投影曲線，該曲線的方程可寫成同理，消去方程組( 1) 中的變量 或 ，再分別與 或 聯(lián)立，我們便得到了空間曲線在 或 面上的投影曲線方程。 或 【例3】求曲線在面上的投影曲線方程。解：先求包含曲線且母線平行于軸的柱面，從方程組中消去，有以代入方程組中第一個方程得到這便是所要求的柱面方程。于是，曲線在面上的投影曲線為有時，我們需要確定一個空間立體（或空間曲面）在坐標(biāo)面上的投影，一般來說，這種投影往往是一個平面區(qū)域，因此，我們稱它為空間立體（或空間曲面）在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域。投影區(qū)域可以利用投影柱面與投影曲線來確定?！纠?】求上半球面 和錐面 所圍成的空間立體在面上的投影區(qū)域。解：上半球面與錐面的交線為由方程組消去變量，有這是母線平行于軸的投影柱面