第三章 線性方程組習(xí)題課

1、第三章 線性方程組習(xí)題課這一章的主要內(nèi)容：3.1 線性方程組的消元法mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111有無窮多解。有唯一解有解定理nArnArBArArBAX)()()()(1 . 3為未知數(shù)的個(gè)數(shù)。有非零解齊次線性方程組定理nnArAX,)(02 . 3:000221122221211212111有對齊次線性方程組nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa3.2 n維向量空間3.3 向量間的線性關(guān)系表示。線性，可由線性組合或稱向量的，是向量組成立，則稱向量，使關(guān)系式如果存在一組數(shù)，對于給定的向量定義nnnnnnk

2、kkk,5 . 3111111.)()(,3 . 31111有相同的秩與矩陣矩陣線性表示，向量組可由列（行）量的列（行）向量，則向是同維，及向量組設(shè)定理mmmm線性無關(guān)。，時(shí)成立，則稱向量組當(dāng)且僅當(dāng)在如果線性相關(guān)；，成立，則稱向量組關(guān)系式使得存在一組不全為零的數(shù)如果，對于向量組定義ssssssskkaakkkk11111110)()(0,6 .3.)()(,111nrnrnnn當(dāng)線性無關(guān)，當(dāng)線性相關(guān)向量組組必線性相關(guān)。向量的維數(shù)時(shí)，該向量個(gè)數(shù)大于當(dāng)向量組中所含向量的推論20), 1(),(111111nnnnnjjjaaaanjaann則向量組線性相關(guān)，維向量組個(gè)設(shè)推論必線性相關(guān)。關(guān)，則整個(gè)向

3、量組（簡稱部分組）線性相向量組如果向量組中有一部分定理5 . 3也線性無關(guān)。維的新的向量組個(gè)）后得到的分量（個(gè)量上添加線性無關(guān)，則在每個(gè)向維向量組個(gè)補(bǔ)充定理：設(shè)miaaaaaknmkkmiaaanmkniniiniiiiniii, 1),(1, 1),()()1(2121的線性組合。個(gè)向量余中至少有一個(gè)向量是其，線性相關(guān)，向量組定理1,)2(,6 . 311mmmm。線性表示且表示法唯一，向量組一定可由線性無關(guān)，則向量，而線性相關(guān)，如果向量組定理mmm,7 . 3111線性表示?？捎上蛄拷M示，則稱向量組線性表中每個(gè)向量都可由組如果組，（，定義：設(shè)有兩個(gè)向量組)()()()()(,),:11BA

4、BABAts定理3.8 如果向量組（A）可由向量組（B）線性表示，而向量組（B）又可由向量組（C）線性表示，則向量組（A）也可由向量組（C）線性表示（傳遞性）。）線性相關(guān)。，則向量組（如果）線性表示。）可由向量組（向量組（，及（，設(shè)有兩個(gè)向量組定理BtsABBAts)(,),:9 . 311 推論1 向量組（B）可由向量組（A）線性表示。如果向量組（B）線性無關(guān)，則ts。 推論2 向量組（A）與 （B）可由互相線性表示，如果向量組（A） 、（B）都線性無關(guān)，則ts。極大無關(guān)組。極大線性無關(guān)組，簡稱的一個(gè)，為向量組，稱必線性相關(guān)；，向量組中的某一個(gè)向量，則，是）線性無關(guān)，）滿足：，部分組中的，維

5、向量組如果定義sjjjjkskjjjjsrrrrsrn111111121)(: 7 . 3).,(8 . 311ssr為向量組的秩，記所含向量的個(gè)數(shù)，稱為的極大無關(guān)組，向量組定義。的列（行）秩為矩陣，為定理rArArnmA)(11. 3向量組的秩及極大無關(guān)組的求法： 將向量組合成矩陣，進(jìn)行初等行變換得到階梯陣，非零行的行數(shù)為向量組的秩，主元所對應(yīng)的列向量組為極大線性無關(guān)組。解也是它的則其線性組合都是線性方程組的解，如果。是它的解也是線性方程組的解，則如果也是它的解。則，是線性方程組的兩個(gè)解如果）它的解有如下性質(zhì)：siRkXkXkXXRkkXXXXXXisss, 1,)3,)2,11111121

6、213.4 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定義3.9 如果X1,XS是齊次線性方程組的解向量組（集合）的一個(gè)極大線性無關(guān)組，則稱X1,XS是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。 定理4.2.3 設(shè)A是mn矩陣，如果r(A)=rn,則齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系存在，且每個(gè)基礎(chǔ)解系中含n-r個(gè)解向量. step1. 系數(shù)矩陣經(jīng)初等行變 換，化為階梯形矩陣 Step2. 用秩討論方程組的解Step3.（無窮解時(shí)）（無窮解時(shí)） 進(jìn)一步將矩陣化為各行首非零元為1，所在列其余元素為零的矩陣Step4.選擇自由未知量，基本未知量Step5.寫出同解方程Step6.求出基礎(chǔ)解系Step7.寫出通解怎樣選擇？怎樣求？齊次線性方程

7、組求解過程非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)：性質(zhì)： 1）如果X1是AX=B的一個(gè)解，X0是AX=0 的一個(gè)解，則X1+X0是AX=B的一個(gè)解。 2)如果X1,X2是AX=B的兩個(gè)解，則X1X2是AX=0的一個(gè)解。的全部解。是的全部解，則是的一個(gè)解，是如果定理BAXXXAXXBAXX*013. 3 step1. 增廣矩陣經(jīng)初等行變換，化為行階梯形矩陣 Step2. 用秩討論方程組的解Step3.（無窮解時(shí)）（無窮解時(shí)） 進(jìn)一步將矩陣化為各行首非零元為1，所在列其余元素為零的矩陣Step5.求出非齊次線性方程組的特解Step7.求出齊次線性方程組的通解Step8.寫出非齊次線性方程組的通解怎樣求？非齊次線

8、性方程組求解過程Step4.寫出非齊次線性方程組的同解方程組Step6.寫出齊次線性方程組的同解方程組1.解產(chǎn)品分配平衡方程組XAIXAIAIyyYbXAIYxxXaTnTn1111)()()(,),()(,),()為非負(fù)矩陣，故有可逆且則可以證明矩陣如果已知?jiǎng)t如果已知2.解產(chǎn)值構(gòu)成平衡方程組XDIZxxXaTn)(,),()1則如果已知), 2 , 1(1,)1 ()1 ()(,)(,),()111111111njazxaaDIZDIXzzZbniijjjniinniiTn即有其中則可以求出如果已知解。方程組的基礎(chǔ)解系及通求例3314, 62.3214321421xxxxxxxxxx解。方程

9、組的基礎(chǔ)解系及通求例73514, 62.4314321421xxxxxxxxxx第三章主要的問題類型： （一）圍繞向量組的線性相關(guān)性 判別相關(guān)性或證明相關(guān)性向量組的相關(guān)性。，討論該設(shè)例t35,131,011. 1321也線性無關(guān)。證明線性無關(guān)，例321321321,. 2的列向量組線性無關(guān)。證明若且例BIABmnBAnnmmn,. 3線性無關(guān)證明，是實(shí)數(shù)線性無關(guān)，已知例4 , 3 , 2 , 1,3 , 2 , 1,5 , 4 , 3 , 2 , 1,. 41iittiiiiiiii（二）圍繞向量組秩及極大線性無關(guān)組 求秩及極大線性無關(guān)組，或有關(guān)秩的證明。大線性無關(guān)組。求向量組的秩及一個(gè)極，設(shè)例,6512,0211,14703,21304211. 554321。的秩及極大線性無關(guān)組，求向量組例1121,111111. 6321kknIArIArIAnA)()(. 72，則階方陣，如為例向量組線性無關(guān)。，即該的秩為向量組線性無關(guān)，證明：維列向量組，的秩為設(shè)例lAAnlnnAllnm,)(,.811（三）線性方程組解的結(jié)構(gòu) 求解齊次、非齊次線性方程組的通解或基礎(chǔ)解系；討論解的存在性；利用解的結(jié)構(gòu)的相關(guān)知識(shí)的證明問題。有解并求通解。為何值時(shí)方程組：討論例232132132122,22.10 xxxxxxxxx有無窮多解并求通解。為何值時(shí)方程組：討論例2