高一 正弦定理、余弦定理教案

1、高一 正弦定理、余弦定理教案     教學目標 (一)知識目標 1.三角形的有關性質； 2.正、余弦定理綜合運用. (二)能力目標 1.熟練掌握正、余弦定理應用； 2.進一步熟悉三角函數(shù)公式和三角形中的有關性質； 3.綜合運用正、余弦定理、三角函數(shù)公式及三角形有關性質求解三角形問題. (三)德育目標 通過正、余弦定理在解三角形問題時溝通了三角函數(shù)與三角形有關性質的功能，反映了事物之間的內在聯(lián)系及一定條件下的相互轉化. 教學重點 正、余弦

2、定理的綜合運用. 教學難點 1.正、余弦定理與三角形性質的結合； 2.三角函數(shù)公式變形與正、余弦定理的聯(lián)系. 教學方法 啟發(fā)式 1.啟發(fā)學生在求解三角形問題時，注意三角形性質、三角公式變形與正弦、余弦定理產生聯(lián)系，從而綜合運用正弦、余弦定理達到求解目的； 2.在題設條件不是三角形基本元素時，啟發(fā)學生利用正、余弦建立方程，通過解方程組達到解三角形目的. 教具準備 投影儀、幻燈片 第一張：正、余弦定理內容(記作§5.9.4  A)正弦定理：余弦定理：  

3、60;             第二張：例題1、2(記作§5.9.4  B)例1在ABC中，三邊長為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三邊長.例2如圖，在ABC中，AB4c，AC3c，角平分線AD2c，求此三角形面積.   第三張：例題3、4(記作§5.9.4  C)例3已知三角形的一個角為60°，面積為10c2，周長為20c，求此三角形的各邊長.例4在ABC中，AB5，AC3，D

4、為BC中點，且AD4，求BC邊長.  教學過程 .復習回顧 師：上一節(jié)課，我們一起研究了正、余弦定理的邊角轉換功能在證明三角恒等式及判斷三角形形狀時的應用，這一節(jié)，我們將綜合正、余弦定理、三角函數(shù)公式及三角形有關性質來求解三角形問題.首先，我們一起回顧正、余弦定理的內容(給出投影片§5.9.4  A). .講授新課 師：下面，我們通過屏幕看例題.(給出投影片§5.9.4  B) 例1分析：由于題設條件中給出了三角形的兩角之間的關系，故需利用正弦定理建立邊角關系.其中sin2利用正弦二倍

5、角展開后出現(xiàn)了cos，可繼續(xù)利用余弦定理建立關于邊長的方程，從而達到求邊長的目的. 解：設三角形的三邊長分別為，1，2，其中*，又設最小角為，則   又由余弦定理可得2（1）2（2）22（1）（2）cos 將代入整理得： 2340 解之得14，21(舍) 所以此三角形三邊長為4，5，6. 評述： (1)此題所求為邊長，故需利用正、余弦定理向邊轉化，從而建立關于邊長的方程； (2)在求解過程中，用到了正弦二倍角公式，由此，要向學生強調三角公式的工具性作用，以引起學生對三角公式的重視. 例

6、2分析：由于題設條件中已知兩邊長，故而聯(lián)想面積公式ABCAB·AC·sinA，需求出sinA，而ABC面積可以轉化為ADCADB，而ADCAC·ADsin，ADBAB·AD·sin，因此通過ABCADCADB建立關于含有sinA，sin的方程，而sinA2sincos，sin2cos21，故sinA可求，從而三角形面積可求. 解：在ABC中，ABCADBADC， AB·ACsinA·AC·ADsin·AB·ADsin ·4·3sinA·

7、3·2sin 6sinA7sin 12sincos7sin sin0  cos 又0A  0 sin， sinA2sincos， ABC·4·3sinA（c2）. 評述：面積等式的建立是求sinA的突破口，而sinA的求解則離不開對三角公式的熟悉.由此啟發(fā)學生在重視三角形性質運用的同時，要熟練應用三角函數(shù)的公式.另外，在應用同角的平方關系sin2cos21時，應對角所在范圍討論后再進行正負的取舍. （給出幻燈片§5.9.4  C）

8、60;例3分析：此題所給的題設條件除一個角外，面積、周長都不是構成三角形的基本元素，但是都與三角形的邊長有關系，故可以設出邊長，利用所給條件建立方程，這樣由于邊長為三個未知數(shù)，所以需尋求三個方程，其一可利用余弦定理由三邊表示已知60°角的余弦，其二可用面積公式ABCabsinC表示面積，其三是周長條件應用. 解：設三角形的三邊長分別為a、b、c，B60°，則依題意得         由式得：b220（ac）2400a2c22ac40（ac）   將代入得4003ac

9、40（ac）0 再將代入得ac13 由 b17，b27 所以，此三角形三邊長分別為5c，7c，8c. 評述： (1)在方程建立的過程中，應注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面積公式的應用. (2)由條件得到的是一個三元二次方程組，要注意要求學生體會其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及運算能力. 例4分析：此題所給題設條件只有邊長，應考慮在假設BC為后，建立關于的方程.而正弦定理涉及到兩個角，故不可用.此時應注意余弦定理在建立方程時所發(fā)揮的作用.因為D為BC中點，所以BD、DC可表示為，然用利用互補角的余弦

10、互為相反數(shù)這一性質建立方程. 解：設BC邊為，則由D為BC中點，可得BDDC， 在ADB中，cosADB 在ADC中，cosADC 又ADBADC180° cosADBcos（180°ADC）cosADC.  解得，2 所以，BC邊長為2. 評述：此題要啟發(fā)學生注意余弦定理建立方程的功能，體會互補角的余弦值互為相反數(shù)這一性質的應用，并注意總結這一性質的適用題型. 另外，對于本節(jié)的例2，也可考慮上述性質的應用來求解sinA，思路如下： 由三角形內角平分線性質可得，設B

11、D5，DC3，則由互補角ADC、ADB的余弦值互為相反數(shù)建立方程，求出BC后，再結合余弦定理求出cosA，再由同角平方關系求出sinA. 師：為鞏固本節(jié)所學的解題方法，下面我們進行課堂練習. .課堂練習 1.半徑為1的圓內接三角形的面積為025，求此三角形三邊長的乘積. 解：設ABC三邊為a，b，c.則ABC  又，其中R為三角形外接圓半徑  abc4RSABC4×1×0251 所以三角形三邊長的乘積為1. 評述：由于題設條件有三角形外接圓半徑，故聯(lián)想正弦定理：，其中R為三角

12、形外接圓半徑，與含有正弦的三角形面積公式ABC發(fā)生聯(lián)系，對abc進行整體求解. 2.在ABC中，已知角B45°，D是BC邊上一點，AD5，AC7，DC3，求AB. 解：在ADC中， cosC 又0C180°，sinC 在ABC中， AB 評述：此題在求解過程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求邊，要求學生注意正、余弦定理的綜合運用. 3.在ABC中，已知cosA，sinB，求cosC的值. 解：cosAcos45°，0A 45°A90° 

13、;sinA sinBsin30°，0B 0°B30°或150°B180° 若B150°，則BA180°與題意不符. 0°B30°  cosB cos（AB）cosA·cosBsinA·sinB 又C180°（AB）. cosCcos180°（AB）cos（AB）. 評述：此題要求學生在利用同角的正、余弦平方關系時，應根據(jù)已知的三角函數(shù)值具體確定角的范圍，以便對正負進行取舍，在確

14、定角的范圍時，通常是與已知角接近的特殊角的三角函數(shù)值進行比較. .課時小結 師：通過本節(jié)學習，我們進一步熟悉了三角函數(shù)公式及三角形的有關性質，綜合運用了正、余弦定理求解三角形的有關問題，要求大家注意常見解題方法與解題技巧的總結，不斷提高三角形問題的求解能力. .課后作業(yè) (一)書面作業(yè) 1.課本132習題5.9  5. 2.在三角形中，三邊長為連續(xù)自然數(shù)，且最大角是鈍角，那么這個三角形的三邊長分別為        . 答案：2，3，4 

15、3.已知方程a（12）2bc（12）0沒有實數(shù)根，如果a、b、c是ABC的三條邊的長，求證ABC是鈍角三角形. (二)1.預習內容 課本132133解斜三角形應用舉例. 2.預習提綱 (1)解斜三角形在實際中有哪些應用? (2)實際中的解斜三角形問題如何轉化為純數(shù)學問題? 板書設計§5.9.4  正弦定理、余弦定理(四)1.常用三角公式               &

16、#160;       2.三角形有關性質                 3.學生練習sin2Acos2A1                  面積公式absinCsin2A2sinAcosA &#

17、160;               角平分線定理sin（AB）sinAcosBcosAsinB  互補角正弦值相等cos2A12sin2A                    互補角余弦值互為相反數(shù)  備課資料 1.正、余弦定

18、理的綜合運用 余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若將正弦定理代入得：sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA. 這是只含有三角形三個角的一種關系式，利用這一定理解題，簡捷明快，下面舉例說明之. 例1在ABC中，已知sin2Bsin2Csin2AsinAsinC，求B的度數(shù). 解：由定理得sin2Bsin2Asin2C2sinAsinCcosB， 2sinAsinCcosBsinAsinC sinAsinC0 cos B150° 例2求sin210°cos240°sin10°cos40°的值. 解：原式sin210°sin250°sin10°sin50° 在sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA中，令B10°，C50°，則A120°. sin2120°sin210°sin250°2sin10°sin50°cos120° sin210°sin250°sin