高二數(shù)學(xué)正弦定理余弦定理

1、第七節(jié)正弦定理和余弦定理第七節(jié)正弦定理和余弦定理基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1.設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，R是ABC的外接圓半徑(1)正弦定理三角形的_，即_=_=_=2R.各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等 asinAbsinBcsinC(2)正弦定理的三種形式a=_，b=_，c=_(邊到角的轉(zhuǎn)換)；sin A=_，sin B=_，sin C=_(角到邊的轉(zhuǎn)換)；abc=sin Asin Bsin C.2aR2bR2cR2Rsin C2Rsin A2Rsin B12122. 三角形常用面積公式(1)S=(2)S=_=_=_=_.(3)S=r(a+b+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)ah

2、(h表示三角形長(zhǎng)為a的邊上的高)12ah1sin2acB1sin2abC1sin2bcA3. 余弦定理三角形任何一邊的平方等于_即a2=_；b2=_；c2=_.其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍 b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C余弦定理也可以寫成如下形式cos A=_；cos B=_；cos C=_.2222bcabc2222acbac2222abcab4. 勾股定理是余弦定理的特殊情況在余弦定理表達(dá)式中分別令A(yù)、B、C為90，則上述關(guān)系式分別可化為：_，_，_.b2=a2+c2c2=a2+b2a2=b2+c2基礎(chǔ)達(dá)

3、標(biāo)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1. ABC的邊分別為a、b、c，且a=1，c=4 2,則ABC的面積為_ B=45，解析： SABC= 12acsin B= 11 4 22 sin 45=2. 2. 在ABC中，sinAsinBsinC=324，則cosC的值為_解析：sinAsinBsinC=abc=324，不妨設(shè)a=3，b=2，c=4，則cosC= 2222223241.22324abcab 3. (必修5P10第2題改編)已知ABC中，acosA+bcosB=ccosC，則ABC的形狀為_解析：由余弦定理，化簡(jiǎn)整理可得(a2-b2)2=c4，a2=b2+c2或b2=c2+a2，故ABC為直角三角形4. 設(shè)a

4、，b，c是銳角ABC的角A，B，C的對(duì)邊，若B=2A，則 ba的取值范圍是_解析：由題意和正弦定理，得 222,bsinBsin AsinAcosAcosAasinAsinAsinA又由B=2A且ABC是銳角三角形，得,64A所以 22cos3.A故 ba的取值范圍是 ( 2, 3)5. (必修5P16第1題改編)在ABC中，A= ,3a=3則b與c的值分別為_，b+c=3，解析：由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccos A，即3=b2+c2-2bccos ,3也即b2+c2-bc=3，(b+c)2=3bc+3，又b+c=3，bc=2.于是由 32bcbc解得 12bc或 21.bc經(jīng)典例

5、題經(jīng)典例題題型一正弦定理和余弦定理的應(yīng)用【例1】(2010天津)在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別 是a，b，c，若a2-b2= bc，sin C=2 sin B，則A=_. 3333分析：由sin C=2sin B和正弦定理可求得c=2由此運(yùn)用余弦定理可求得cos A的值，進(jìn)而求出A.b，222222322bcabcbbcbcbc2232 332 332222 3cbcbbbbcbb 解：由sin C=2sin B結(jié)合正弦定理得：c=2所以由余弦定理得：cos A=，所以A=30.33b，變式1-1 (2010湖北改編)在ABC中，a=15，b=10，A=60，則 cos B=_. ,ab

6、sinAsinB1510,60sinsinB3.321sin B6.3解析：根據(jù)正弦定理得解得sin B=又因?yàn)閎a，則BA，故B為銳角，所以cos B=題型二三角形的面積問(wèn)題【例2】在ABC中，內(nèi)角A、B、C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a， b，c，已知c=2，C= .3若ABC的面積等于求a，b.3,分析：分別利用正弦定理和余弦定理建立關(guān)于a，b的方程，然后解方程組得a，b.解：由余弦定理及已知條件得a2+b2-ab=4.ABC的面積等于 3, 12absin C= 3,ab=4. 聯(lián)立方程組 224,4,ababab解得 22.ab變式2-1551010在ABC中，cos A=，cos B=2.(1

7、)求角C；(2)設(shè)AB=，求ABC的面積.46,10ABACABsinBACsinCsinBsinC1265(2)根據(jù)正弦定理得所以ABC的面積為ABACsinA=2,22,53,10所以sin A=sin B=，因?yàn)閏osC=cos -(A+B)又0C ，故C=5,5解析：(1)由cos A=10,10cos B=0,2得A，B=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=題型三判斷三角形的形狀【例3】(2010遼寧)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角 A，B，C的對(duì)邊，且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求A的大??；(2)若sin B

8、+sin C=1，試判斷ABC的形狀分析：運(yùn)用正弦定理解三角形，關(guān)鍵是巧妙的利用定理如何實(shí)行邊角的互化，進(jìn)而達(dá)到解題的目的解：(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，即a2=b2+c2+bc，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，故cos A=- ，即A=120.12(2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C.又sin B+sin C=1，得sin B=sin C= ，因?yàn)?B90，0C90，故B=C，所以ABC是等腰的鈍角三角形12變式3-1 22,tanAatanBb在ABC中，已知試判斷ABC的形狀22tanAatanB

9、b，解析：由 根據(jù)同角三角函數(shù)之間的關(guān)系及正弦定理可得 2222sinAsinAcosBasin AcosAsinBcosAsinBbsin BcosB，cosBsinAcosAsinB，sin 2A=sin 2B，2A,2B(0， )，2A=2B或2A= -2B，A=B或A+B= ，ABC為等腰三角形或直角三角形. 2變式3-2 20,AB BCAB (2011 湖南雅禮中學(xué)月考)在ABC中，若試判斷ABC的形狀解析：設(shè)A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，由題意ca(-cos B)=-c2，acos B=c.由余弦定理，得a =c，a2+c2-b2=2c2，a2=c2+b2，ABC是直角三角形

10、2222acbac題型四正、余弦定理的綜合應(yīng)用16(1)求邊AB的長(zhǎng)；(2)若ABC的面積為sin C，求角C的度數(shù)22【例4】已知ABC的周長(zhǎng)為+1，且sinA+sinB=sinC.分析：綜合應(yīng)用正弦定理與余弦定理解題，首先要確定一個(gè)恰當(dāng)?shù)娜切?，其次要根?jù)題中條件分析選用哪個(gè)定理最方便本題中，由正弦定理得BC+AC= AB.由SABC= sin C，得 BCACsin C= sin C.1216162解：(1)由題意及正弦定理，得AB+BC+AC= +1，BC+AC= AB，兩式相減，得AB=1.22(2)由ABC的面積 BCACsinC= sinC，得BCAC= . 121613由余弦定理，得cos C= 2222221222ACBCABACBCAC BCABAC BCAC BC ，所以C=60.鏈接高考鏈接高考(2010 安徽)ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，cos A= 12.13;AB AC (1)求(2)若c-b=1，求a的值知識(shí)準(zhǔn)備：1. 知道三角形的