等比數(shù)列求和公式及性質(zhì)ppt課件

1、1北師大版高中數(shù)學(xué)必修5第一章數(shù)列2等差數(shù)列等比數(shù)列定義 通項(xiàng)公式等差（等比）中項(xiàng)下標(biāo)和公式2abab1nnaqaSnSn=1()2naan1(1)2nn nSnad？anan-1=d(n2)(n2)an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)dan=a1qn-1(q0)an=amqn-mA=G=若m+n=p+q,則am+an=ap+aq若m+n=p+q,則aman=apaq3問題提出問題提出 小林和小明做小林和小明做“貸款貸款”游戲，規(guī)定：在一月（游戲，規(guī)定：在一月（30天）中小明天）中小明第一天貸給小林第一天貸給小林1萬元，第二天貸給小林萬元，第二天貸給小林2萬元萬元以后每天比前以后每天

2、比前一天多貸一天多貸1萬元萬元.而小林按這樣方式還貸：第一天支付而小林按這樣方式還貸：第一天支付1分錢，第二分錢，第二天還天還2分錢，第三天還分錢，第三天還4分錢分錢以后每天還的錢是前一天的以后每天還的錢是前一天的2倍，倍，試計(jì)算試計(jì)算30天后兩人各得的錢數(shù)天后兩人各得的錢數(shù).設(shè)小林設(shè)小林30天得到的錢數(shù)天得到的錢數(shù)T30)465(萬元23030)(130321T30（分）22221S293230設(shè)小明設(shè)小明30天得到的錢數(shù)天得到的錢數(shù)S 304引入新課302S即23293022222 .(2)30S) 1 (.222212932同學(xué)們考慮如何求出這個(gè)和？同學(xué)們考慮如何求出這個(gè)和？302S).

3、22221 (22932303021 S1073.741萬元萬元分1073741823123030S這種求和的方法,就是錯(cuò)位相減法!301 230302SS5推導(dǎo)公式推導(dǎo)公式等比數(shù)列前等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式項(xiàng)求和公式已知：已知： 等比數(shù)列等比數(shù)列 an， a1， q， n求：求：Sn解：解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + +an qsn=(1-q)Sn=a1-a1qna1qa1q23a1qn-1=a1+a1q + + + +作作減減法法23111111nna qa qa qa qa q1(1)1nnaqSq若：q1若q=1,1nSnaSn=n a1(1-q )1-q(q=1)(q=1)

4、na16(一) 用等比定理推導(dǎo)71)(q(二）公式推導(dǎo)8).1( ,1),1( ,111qqqaaqnaSnn于是).1( ,1) 1( ,11qqqaaqnaSnn時(shí)已知nqa, 1時(shí)已知naqa, 1等比數(shù)列前等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式項(xiàng)求和公式通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式:an=a1qn-19等比數(shù)列的前n項(xiàng)和例題解解: 例例5（1） 求等比數(shù)列求等比數(shù)列 的前的前10項(xiàng)項(xiàng)的和的和.,81,41,211，10,21, 11nqa21121111010S.5121023qqaSnn1)1 (110（2）已知等比數(shù)列）已知等比數(shù)列 a an n 中，中，a a1 1=2,q=3,=2,q=3,求求S S3

5、3263-13-12233）（）解（S例例6 五洲電扇廠去年實(shí)現(xiàn)利稅五洲電扇廠去年實(shí)現(xiàn)利稅300萬元，萬元，計(jì)劃在計(jì)劃在5年中每年比上年利稅增長年中每年比上年利稅增長10%，問從今年起第問從今年起第5年的利稅是多少？這年的利稅是多少？這5年年的總利稅是多少？（結(jié)果精確到萬元）的總利稅是多少？（結(jié)果精確到萬元）11 1解 每年的利稅組成一個(gè)首項(xiàng)a300，公比q1 10%的等比數(shù)列.從今年起,第5年的利稅為:55561aa q300 (1 10%)300 1.1483(萬元)這5年的總利潤為:552a (q1)1.11S300 1.12015(萬元)q 11.1 1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和例題12等比數(shù)

6、列的前n項(xiàng)和練習(xí)11. 根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等比數(shù)列根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等比數(shù)列 的的 nanS;6,2,3)1(1nqa;5,5.1,4.2)2(1nqa;5,21,8)3(1nqa.6,31,7.2)4(1nqa.18921)21(366 S.433)5.1(1)5.1(14.255 S.231211211855 S.40913113117.266 S13等比數(shù)列的前n項(xiàng)和練習(xí)2-32. 求等比數(shù)列求等比數(shù)列 1，2，4，從第從第5項(xiàng)到第項(xiàng)到第10項(xiàng)的和項(xiàng)的和. ,2, 11qa解：,21,231qa解：.1521)21 (144S.102321)21 (11010S.10081510

7、23410SS從第從第5項(xiàng)到第項(xiàng)到第10項(xiàng)的和項(xiàng)的和: 3. 求等比數(shù)列求等比數(shù)列 從第從第3項(xiàng)到第項(xiàng)到第7項(xiàng)的和項(xiàng)的和. ,83,43,23.1283812112112377 S從第從第3項(xiàng)到第項(xiàng)到第7項(xiàng)的和項(xiàng)的和:.1281534912838143237S14151617181920212223242526作業(yè)：P30.A組8（寫在課本）9.10（寫在作業(yè)本）272、求數(shù)列、求數(shù)列1，x，x2，x3，xn，的的前前n項(xiàng)和。項(xiàng)和。1、等比數(shù)列、等比數(shù)列1，2，4，8，從第從第5 5項(xiàng)到項(xiàng)到第第1010項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為S21212121410410SS21212116465qqaS)1()1(

8、)1(22nnyxyxyx3、求和：、求和：28北師大版高中數(shù)學(xué)必修5第一章數(shù)列291._2._3.:4.nnnnnaaanSa定義：為等比數(shù)列通項(xiàng)公式：推廣：前 項(xiàng)和公式重要結(jié)論：若是等比數(shù)列1nnaa常數(shù)11nnaa qn mma q11(1)(1)1(1)naqqqna qnnakq30（2）,mnpq若mnpqaaaa則（1）n mnmaaqn mnmaqaq求（3）若數(shù)列 是等比數(shù)列，則 也是等比數(shù)列 na23243,kkkkkkkS SS SSSSkqq （4）等比數(shù)列an的任意等距離的項(xiàng) 構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列31等比數(shù)列判定方法：等比數(shù)列判定方法：（1 1）定義法：）定義法：（

9、2 2）遞推公式法：）遞推公式法：（3 3）看通項(xiàng)法：）看通項(xiàng)法：（4 4）看前）看前n n項(xiàng)和法：項(xiàng)和法：1nnaa常數(shù)211nnnaaannakqnnSkkq32例 一個(gè)熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度,都是它在前一分鐘上升高度的80%.這個(gè)熱氣球上升的高度能超過125m嗎？解 用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度，由題意， 得 an+1=4/5an因此，數(shù)列an是首項(xiàng)a1=25,公比q=4/5的等比數(shù)列熱氣球在n分時(shí)間里上升的總高度.125125)54(11251)1 (121mqqaaaaSnnnn不可能超過這個(gè)熱氣球上升的高度答33例 做邊長為a的

10、正三角形的內(nèi)切圓，在這個(gè)圓內(nèi)做內(nèi)接正三角形，然后再做新三角形的內(nèi)切圓.如此下去求前n個(gè)內(nèi)切圓的面積和.34解 設(shè)第n個(gè)正三角形的內(nèi)切圓的半徑為rn 從第二個(gè)三角形開始，每一個(gè)正三角形的邊長是前一個(gè)正三角形邊長的1/2，每一個(gè)正三角形內(nèi)切圓的半徑也是前一個(gè)正三角形內(nèi)切圓半徑的1/2，故 11121)21(6321a63212163332130tan21nnnnnaarrrraaar所以的等比數(shù)列，公比為是首項(xiàng)為數(shù)列35設(shè)前n個(gè)內(nèi)切圓的面積之和為Sn，則：nnnnNaaarS411941112344114116341414112221212比數(shù)列的等，公比為首項(xiàng)為個(gè)內(nèi)切圓面積組成一個(gè)4121rn3

11、6練習(xí)3：一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)解：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)是 ，公比是 ，那么1aq23316181213121qaqaqa82331612qaa答：這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)分別為 與 8316消消元元37練習(xí)、求和練習(xí)、求和231(1)nnaaaaa 22111(2).()()()(0,1,1)nnxxxyyyxxy分析：解：（1）該數(shù)列為等比數(shù)列，記為an，其中a1=a,q=a當(dāng)q=1時(shí),Sn=na當(dāng)q1時(shí),Sn=(1)1naaa38（1）如果一個(gè)等比數(shù)列前5項(xiàng)的和等于10，前10項(xiàng)的和等于50，那么它前15項(xiàng)的和等于多少？練習(xí)練習(xí): :.S.60,48S,S)2(32的值求且項(xiàng)和前的是等比數(shù)列已知nnnnnSna39思考：求和：.nnnS2164834221為等比數(shù)列，公比為，利用錯(cuò)位相減法求和.）設(shè)，其中為等差數(shù)列，nnnnna212 nn2121（提示：40你能登上你能登上月球嗎月球嗎?能能?! 只要你把你手上只要你把你手上的紙對(duì)折的紙對(duì)折38次我就次我就能沿著它登上月球。能沿著它登上月球。哇哇M=1+2+4+8+2 （頁）頁）37列式：列式：412.2.靈活運(yùn)用等比數(shù)列求和公式進(jìn)行求和，求和時(shí)注靈活運(yùn)用等比數(shù)列求和公式進(jìn)行求和，求和時(shí)注意公比意公比q q1.1.等比數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)中蘊(yùn)含的