線性方程組解的結(jié)構(gòu)

1、線性方程組解的結(jié)構(gòu)在解決線性方程組有解的判別條件之后，進(jìn)一步來討論線性方程組解的結(jié)構(gòu).所謂解的結(jié)構(gòu)問題就是解與解之間的關(guān)系問題.一、齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)設(shè) (1)是一齊次線性方程組，它的解所成的集合具有下面兩個(gè)重要性質(zhì)：1. 兩個(gè)解的和還是方程組的解.2. 一個(gè)解的倍數(shù)還是方程組的解.從幾何上看，這兩個(gè)性質(zhì)是清楚的.在時(shí)，每個(gè)齊次方程表示一個(gè)過得點(diǎn)的平面.于是方程組的解，也就是這些平面的交點(diǎn)，如果不只是原點(diǎn)的話，就是一條過原點(diǎn)的直線或一個(gè)過原點(diǎn)的平面.以原點(diǎn)為起點(diǎn)，而端點(diǎn)在這樣的直線或平面上的向量顯然具有上述的性質(zhì).對于齊次線性方程組，綜合以上兩點(diǎn)即得，解的線性組合還是方程組的解.這個(gè)性質(zhì)

2、說明了，如果方程組有幾個(gè)解，那么這些解的所有可能的線性組合就給出了很多的解.基于這個(gè)事實(shí)，我們要問：齊次線性方程組的全部解是否能夠通過它的有限的幾個(gè)解的線性組合給出？定義17 齊次線性方程組(1)的一組解稱為(1)的一個(gè)基礎(chǔ)解系，如果1）(1)的任一個(gè)解都能表成的線性組合；2）線性無關(guān).應(yīng)該注意，定義中的條件2)是為了保證基礎(chǔ)解系中沒有多余的解.定理8 在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)等于，這里表示系數(shù)矩陣的秩(以下將看到，也就是自由未知量的個(gè)數(shù)).定理的證明事實(shí)上就是一個(gè)具體找基礎(chǔ)解系的方法.由定義容易看出，任何一個(gè)線性無關(guān)的與某一個(gè)基礎(chǔ)解系等價(jià)的向量

3、組都是基礎(chǔ)解系.二、一般線性方程組的解的結(jié)構(gòu)如果把一般線性方程組 (9)的常數(shù)項(xiàng)換成0，就得到齊次線性方程組(1). 齊次線性方程組(1)稱為方程組(9)的導(dǎo)出組.方程組(9)的解與它的導(dǎo)出組(1)的之間有密切的關(guān)系：1. 線性方程組(9)的兩個(gè)解的差是它的導(dǎo)出組(1)的解.2. 線性方程組(9)的一個(gè)解與它的導(dǎo)出組(1)的一個(gè)解之和還是這個(gè)線性方程組的一個(gè)解.定理9 如果是線性方程組(9)的一個(gè)特解，那么線性方程組(9)的任一個(gè)解都可以表成其中是導(dǎo)出組(1)的一個(gè)解.因此，對于線性方程組(9)的任一個(gè)特解，當(dāng)取遍它的導(dǎo)出組的全部解時(shí)，(10)就給出(9)的全部解.定理9說明了，為了找出一線性

4、方程組的全部解，只要找出它的一個(gè)特殊的解以及它的導(dǎo)出組的全部解就行了.導(dǎo)出組是一個(gè)齊次線性方程組，在上面已經(jīng)看到，一個(gè)齊次線性方程組的解的全體可以用基礎(chǔ)解系來表示.因此，根據(jù)定理我們可以用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系來表出一般線性方程組的一般解；如果是線性方程組(9)的一個(gè)特解，是其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，那么(9)的任一個(gè)解都可以表成推論 在線性方程組(9)有解的條件下，解是唯一的充要條件是它的導(dǎo)出組(1)只有零解.線性方程組的理論與解析幾何中關(guān)于平面與直線的討論有密切的關(guān)系.來看線性方程組 (11)(11)中每一個(gè)方程表示一個(gè)平面，線性方程組(11)有沒有解的問題就相當(dāng)于這兩個(gè)平面有沒有交點(diǎn)的問題.我們

5、知道，兩個(gè)平面只有在平行而不重合的情形沒有交點(diǎn).(11)的系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別是與,它們的秩可能是1或者2.有三個(gè)可能的情形：1. 秩=秩=1.這就是的兩行成比例，因而這兩個(gè)平面平行.又因?yàn)榈膬尚幸渤杀壤?，所以這兩個(gè)平面重合.方程組有解.2. 秩=1，秩=2.這就是說，這兩個(gè)平面平行而不重合. 方程組無解.3. 秩=2.這時(shí)的秩一定也是2.在幾何上就是這兩個(gè)平面不平行，因而一定相交. 方程組有解.下面再來看看線性方程組的解的幾何意義.設(shè)矩陣的秩為2，這時(shí)一般解中有一個(gè)自由未知量，譬如說是，一般解的形式為 (12)從幾何上看，兩個(gè)不平行的平面相交在一條直線.把(12)改寫一下就是直線的點(diǎn)向式方程.如果引入?yún)?shù)，令，(12)就成為 (13)這就是直線的參數(shù)方程.(11)的導(dǎo)出方程組是 (14)從幾何上看，這是兩個(gè)分別與(11)中平面平行的且過原點(diǎn)的平面，因而它們的交線過原點(diǎn)且與直線(12)平行.既然與直線(12)平行，也就是有相同的方向，所以這條直線的參數(shù)方程就是 (15)(13