高一,正余定理

1、解三角形例題解析一、知識梳理1.正弦定理：=2R，其中R是三角形外接圓半徑.2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=.3.SABC=absinC=bcsinA=acsinB,S=Sr(S=,r為內(nèi)切圓半徑)=(R為外接圓半徑).4.在三角形中大邊對大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形內(nèi)角的誘導(dǎo)公式 (1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=sin,sin=cos 在ABC中，熟記并會證明tanA+

2、tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A、B、C成等差數(shù)列的充要條件是B=60°； (3)ABC是正三角形的充要條件是A、B、C成等差數(shù)列且a、b、c成等比數(shù)列.7.解三角形常見的四種類型 (1)已知兩角A、B與一邊a,由A+B+C=180°及=，可求出角C，再求b、c. (2)已知兩邊b、c與其夾角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C. (3)已知三邊a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C. (4)已知兩邊a、b及其中一邊的對角A，由正弦定理=，求出另一邊b的對角B，由C=-(A+B)，求出c

3、，再由=求出C，而通過=求B時，可能出一解，兩解或無解的情況，其判斷方法，如下表：A>90°A=90°A<90°a>b一解一解一解a=b無解無解一解a<ba>bsinA兩解無解無解a=bsinA一解a<bsinA無解8.用向量證明正弦定理、余弦定理，關(guān)鍵在于基向量的位置和方向.9.三角形的分類或形狀判斷的思路，主要從邊或角兩方面入手.二、例題講解 一、正、余弦定理解三角形的基本問題例1在ABC中，(1)已知a，b，B45°，求A、C、c；(2)已知sin Asin Bsin C(1)(1)，求最大角點(diǎn)撥(1)已知兩邊及

4、其中一邊對角，先利用正弦定理求出角A，再求其余的量(2)先由sin Asin Bsin Cabc，求出abc，再由余弦定理求出最大角解(1)由正弦定理及已知條件有，得sin A，a>b，A>B45°，A60°或120°.當(dāng)A60°時，C180°45°60°75°，c，當(dāng)A120°時，C180°45°120°15°，c.(2)根據(jù)正弦定理可知abcsin Asin Bsin C(1)(1)，邊c最大，即角C最大設(shè)a(1)k，b(1)k，ck，則cos C.

5、C(0，)，C.回顧歸納已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，應(yīng)用正弦定理解三角形時，有時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解情況，應(yīng)結(jié)合圖形并根據(jù)“三角形中大邊對大角”來判斷解的情況，作出正確取舍變式訓(xùn)練1(1)ABC中，AB1，AC，C30°，求ABC的面積；(2)已知a、b、c是ABC中A、B、C的對邊，S是ABC的面積若a4，b5，S5，求c的長度二、正、余弦定理在三角形中的應(yīng)用例2在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊長已知b2ac且a2c2acbc.(1)求A的大；(2)求的值點(diǎn)撥(1)利用cos A求解；(2)利用正弦定理對代數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化解(1)b2ac且a2c2acbc，a2c

6、2b2bc，b2c2a2bc，cos A，A60°.(2)方法一在ABC中，由正弦定理得：sin B，b2ac，.sin B，sin Asin 60°.方法二在ABC中，由面積公式得：bcsin Aacsin Bb2ac，bcsin Ab2sin B，sin Asin 60°.回顧歸納(1)在三角形的三角變換中，正、余弦定理及勾股定理是解題的基礎(chǔ)如果題目中同時出現(xiàn)角及邊的關(guān)系，往往要利用正、余弦定理化成僅含邊或僅含角的關(guān)系(2)要注意利用ABC中ABC，以及由此推得的一些基本關(guān)系式：sin(BC)sin A，cos(BC)cos A，tan(BC)tan A，si

7、ncos 等，進(jìn)行三角變換的運(yùn)算變式訓(xùn)練2在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，4sin2cos 2A.(1)求A的度數(shù)；(2)若a，bc3，求b、c的值.三、正、余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用例3如圖，ACD是等邊三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB=90°，BD交AC于E，AB=2（）求的值；（）求解：（）因?yàn)樗裕ǎ┰谥?，故由正弦定理?故例4A、B、C是一條直路上的三點(diǎn)，ABBC1 km，從這三點(diǎn)分別遙望一座電視發(fā)射塔P，A見塔在東北方向，B見塔在正東方向，C見塔在南偏東60°方向求塔到直路的距離解如圖所示，過C、B、P分別作CMl，BNl，PQl，垂足分

8、別為M、N、Q.設(shè)BN=x，則PQ=x，PA=x.AB=BC，CM=2BN=2x，PC=2x.在PAC中，由余弦定理得AC2=PA2+PC22PA·PC·cos 75°，即4=2x2+4x24x2·，解得x2=，過P作PDAC，垂足為D，則線段PD的長為塔到直路的距離在PAC中，由于AC·PD=PA·PC·sin 75°，得PD，= (km)答塔到直路的距離為 km.回顧歸納(1)解斜三角形應(yīng)用題的程序是：準(zhǔn)確地理解題意；正確地作出圖形(或準(zhǔn)確地理解圖形)；把已知和要求的量盡量集中在有關(guān)三角形中，利用正弦定理和余弦

9、定理有順序地解這些三角形；根據(jù)實(shí)際意義和精確度的要求給出答案(2)利用解斜三角形解決有關(guān)測量的問題時，其關(guān)鍵在于透徹理解題目中的有關(guān)測量術(shù)語變式訓(xùn)練3如圖所示，當(dāng)甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，設(shè)乙船按方位角為的方向沿直線前往B處救援，求sin 的值課堂小結(jié)：1正弦定理揭示了三角形的兩邊和對角的關(guān)系，因此，可解決兩類問題：(1)已知兩角和其中任一邊，求其他兩邊和一角，此時有一組解(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，從而進(jìn)一步求出其他解，其解不確定2余弦定

10、理揭示了三角形中兩邊及其夾角與對應(yīng)邊的關(guān)系，是勾股定理的推廣，它能解決以下兩個問題：(1)已知三邊，求其他三角，其解是唯一的(2)已知兩邊及它們的夾角，求第三邊及其他兩角，此時也只有一解3正、余弦定理將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來，從而使三角形與幾何產(chǎn)生了聯(lián)系，為求與三角形有關(guān)的量(如面積、外接圓、內(nèi)切圓)提供了理論基礎(chǔ)，也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù) 考試時間45分鐘 一、選擇題（本大題共6小題，每小題10分，共60分。）1.在中，已知a=1、b=2，C=120°,則c=（ ） A、 3 B、 4 C、 D、 2.在ABC中，若ABC=123,則abc等于（ ）

11、(A)123(B)321 (C)21(D)123.若的三個內(nèi)角滿足，則（ ）（A）一定是銳角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是鈍角三角形. (D)可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.4.在ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若C=120°，c=a，則（ ）A.ab B.ab C. ab D.a與b的大小關(guān)系不能確定5.在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若，則A=（ ）（A） （B） （C） （D）6.在中，a=15,b=10,A=60°，則=（ ）A B C D 二、填空題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）7.在ABC中，若b = 1，c =，則a = 。8.已知a,b,c分別是ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，若a=1,b=, A+C=2B,則sinC= .三、