線性微分方程

1、第4章 線性微分方程1了解n階線性微分方程的概念，知道n階線性微分方程與一階線性微分方程組的關(guān)系，了解n階線性微分方程解的存在唯一性定理（1）在n階線性微分方程y(n) + p1(x)y(n-1) + + pn-1(x)y+ pn(x)y = f (x) (4.5)中，令y= y1，y= y2，y(n-1) = yn-1，(4.5)式就可以化成一階方程組 (4.7)(4.7)可以寫成向量形式 (4.8)（2）n階線性微分方程與一階線性微分方程組的關(guān)系：方程(4.5)與方程組(4.7)是等價(jià)的，即若y=(x)是方程(4.5)在區(qū)間I上的解，則y=(x)，y1=(x)，yn-1 = (n-1)(x

2、)是方程組(4.7)在區(qū)間I上的解；反之，若y=(x)，y1=1(x)，yn-1=n-1(x)是方程組(4.7)在區(qū)間I上的解，則y=(x)是方程(4.5)在區(qū)間I上的解.（3）n階線性微分方程解的存在唯一性定理：條件：方程 的系數(shù)（k= 1,2,，n）及其右端函數(shù)f (x)在區(qū)間I上有定義且連續(xù)；結(jié)論：對(duì)于I上的任一及任意給定的，方程的滿足初始條件的解在I上存在且唯一.2理解n階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)和通解基本定理，了解n階線性齊次微分方程的基本解組，掌握劉維爾公式（1）朗斯基(Wronski)行列式定義：設(shè)函數(shù)組1(x)，2(x)，n(x) 中每一個(gè)函數(shù)k(x)(k=1,2,n)均有n-

3、1階導(dǎo)數(shù)，我們稱行列式為已知函數(shù)組的朗斯基(Wronski)行列式.（2）n階齊次方程的解的線性無關(guān)性判別定理：齊次方程的n個(gè)解，在其定義區(qū)間I上線性無關(guān)（相關(guān)）的充要條件是在I上存在點(diǎn)x0，使得它們的朗斯基行列式W(x0)0 （W(x0) 0）.（3）n階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)和通解基本定理：如果，是齊次方程的n個(gè)線性無關(guān)解，則y = +是方程的通解，其中為n個(gè)任意常數(shù).（4）基本解組定義： 方程的定義在區(qū)間I上的n個(gè)線性無關(guān)解稱為該方程的基本解組.（5）n階齊次方程的線性無關(guān)解的個(gè)數(shù)不超過n個(gè).（6）n階齊次方程總存在定義在區(qū)間I上的基本解組. （7）劉維爾(Liouville)公式：

4、設(shè)，是方程的任意n個(gè)解，W(x)是它們朗斯基行列式，則對(duì)區(qū)間I上的任一x0有W(x)=W(x0)上述關(guān)系式稱為劉維爾(Liouville)公式. 朗斯基行列式的兩個(gè)重要性質(zhì)：性質(zhì)方程解的朗斯基行列式W(x)在區(qū)間I上某一點(diǎn)為零，則在整個(gè)區(qū)間I上恒等于零.性質(zhì) 方程解的朗斯斯行列式W(x)在區(qū)間I上某一點(diǎn)不等于零，則在整個(gè)區(qū)間I上恒不為零.3理解n階線性非齊次微分方程的通解定理，掌握n階線性非齊次微分方程用常數(shù)變易法法求通解的方法 通解定理: n階線性非齊次方程 的通解等于它的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解與它本身的一個(gè)特解之和. 4了解n階常系數(shù)線性齊次方程的概念，熟練掌握n階常系數(shù)線性齊次方程的單特征根

5、的待定指數(shù)函數(shù)解法及重特征根的待定指數(shù)函數(shù)解法常系數(shù)線性齊次方程y(n)+a1y(n-1) + + an-1y+any = 0 （4.21）其中a1，a2，an為實(shí)常數(shù). 稱P()=n+a1n-1+an+an = 0 （4.25）為方程(4.21)的特征方程，它的根稱為特征根.單特征根的基本解組定理： 若特征方程(4.25)有n個(gè)互異根1，2，n，則 （4.26）是方程(4.21)的一個(gè)基本解組. 重特征根的基本解組定理：如果方程(4.21)有互異的特征根1，2，p，它們的重?cái)?shù)分別為m1，m2，mp，mi1，且m1m2mpn，則與它們對(duì)應(yīng)的(4.21)的特解是 (4.30)且(4.30)構(gòu)成(

6、4.21)在區(qū)間(，)上的基本解組.5了解n階常系數(shù)線性非齊次方程的概念，熟練掌握第一類、第二類非齊次項(xiàng)n階常系數(shù)線性非齊次方程的特解的待定系數(shù)法本章重點(diǎn)：n階線性微分方程解的存在唯一性定理，通解基本定理，n階常系數(shù)線性方程的解法。 例1 填空題 （1）階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為 個(gè) 應(yīng)該填寫：n （2）方程的基本解組是 應(yīng)該填寫：， （3）方程的基本解組是 應(yīng)該填寫：（4）方程的基本解組是 應(yīng)該填寫：（5）若是二階線性齊次微分方程的基本解組，則它們 共同零點(diǎn) 應(yīng)該填寫：沒有 （6）階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè) 維線性空間 應(yīng)該填寫：n （7）函數(shù)組在區(qū)間I上線性無關(guān)的 條

7、件是它們的朗斯基行列式在區(qū)間I上不恒等于零應(yīng)該填寫： 充分 （8）若函數(shù)組在區(qū)間上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式在區(qū)間上 應(yīng)該填寫：恒等于零 （9）函數(shù)組的朗斯基行列式是 應(yīng)該填寫： （10）在方程中，如果，在上連續(xù)，那么它的任一非零解在平面上 與軸相切 應(yīng)該填寫：不能 例2 單項(xiàng)選擇題（1）若是二階線性齊次微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)解，則在其定義的區(qū)間上，它們（ ）（A）可以有共同零點(diǎn) （B）可在處有共同零點(diǎn) （C）沒有共同零點(diǎn) （D）可在處有共同零點(diǎn) 正確答案：C （2）方程的任一非零解在平面上（ ）與軸橫截相交 （A）可以 （B）不可以 （C）只能在處可以 （D）只能在處可以 正確答案：A

8、（3）階線性齊次微分方程基本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是（ ）個(gè) （A）-1 （B） （C）+1 （D）+2 正確答案：B （4）階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個(gè)（ ）維線性空間（A） （B） （C） （D） 正確答案：C （5）若，是一階線性非齊次微分方程的兩個(gè)不同特解，則該方程的通解可用這兩個(gè)解表示為（ ） （A） （B） （C） （D） 正確答案：D （6）方程的任一非零解在空間中（ ） （A）不能與t軸相交 （B）可以與t軸相交 （C）可以與t軸橫解相交 （D）可以與t軸相切 正確答案：A 例3 求下列方程的通解： （1） （2） （3） （4） （5） 解 （1）對(duì)應(yīng)齊次方程的的通解為 令非齊

9、次方程的特解為 滿足 解得 積分，得 ，原方程通解為 （2）對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為： 特征根為： 故齊次方程的通解為： 因?yàn)槭菃翁卣鞲?，設(shè)非齊次方程的特解為 代入原方程，有 ， 可解出 故原方程的通解為 （3） 對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ， 故齊次方程的通解為 因?yàn)椴皇翘卣鞲?。所以，設(shè)非齊次方程的特解為 代入原方程，得 即 ， 故原方程的通解為 （4） 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，特征根為， 齊次方程的通解為 因?yàn)槭翘卣鞲Ｋ?，設(shè)非齊次方程的特解為 代入原方程，比較系數(shù)確定出， 原方程的通解為 （5） 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程是 特征根為，齊次方程的通解為 因?yàn)槭且恢靥卣鞲?/p>

10、故非齊次方程有形如 的特解，代入原方程，得 ， 故原方程的通解為 例4 設(shè)，是方程的解，且滿足=0，這里在上連續(xù)，試證明：存在常數(shù)C使得=C證明 設(shè)，是方程的兩個(gè)解，則它們?cè)谏嫌卸x，其朗斯基行列式為 由已知條件，得 故這兩個(gè)解是線性相關(guān)的 由線性相關(guān)定義，存在不全為零的常數(shù)，使得， 由于，可知否則，若，則有，而，則，這與，線性相關(guān)矛盾故 例5 在方程中，已知，在上連續(xù)求證：該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切 證明 由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理?xiàng)l件，且任一解的存在區(qū)間都是 顯然，該方程有零解 假設(shè)該方程的任一非零解在x軸上某點(diǎn)處與x軸相切，即有= 0，那么由解的惟一性及該方程有零解可知，這是因?yàn)榱憬庖矟M足初值條件= 0，于是由解的惟一性，有 這與是非零解矛盾 例6 在方程中，已知在上連續(xù)試證明：若存在使方程的兩個(gè)解，同在處取極值，則，不能是方程的基本解組 證明 由已知條件，該方程的任一解都在區(qū)間上存在 若在處取極值，則必有