正態(tài)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布概述(共44頁(yè)).ppt

1、6.2 6.2 正態(tài)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布正態(tài)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布 正態(tài)分布正態(tài)分布6.2.3 6.2.3 t t分布分布( (學(xué)生分布學(xué)生分布) )6.2.4 F6.2.4 F分布分布6.2.2 (6.2.2 (卡方卡方) )分布分布)(2n6.2.5 6.2.5 正態(tài)總體抽樣分布的某些結(jié)論正態(tài)總體抽樣分布的某些結(jié)論6.2.6 Excel6.2.6 Excel實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) 確定統(tǒng)計(jì)量的分布確定統(tǒng)計(jì)量的分布 抽樣分布抽樣分布, , 是數(shù)理統(tǒng)計(jì)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本問(wèn)題之一的基本問(wèn)題之一. . 采用求隨機(jī)向量的函數(shù)的分布的方采用求隨機(jī)向量的函數(shù)的分布的方法可得到抽樣分布法可得到抽樣分布. .由于樣本容量一般

2、不止由于樣本容量一般不止 2 2 或或 3 3 ( (甚至還可能是隨機(jī)的甚至還可能是隨機(jī)的), ), 故計(jì)算往往很復(fù)雜故計(jì)算往往很復(fù)雜, , 有時(shí)還有時(shí)還需要特殊技巧或特殊工具需要特殊技巧或特殊工具. . 由于正態(tài)總體是最常見的總體由于正態(tài)總體是最常見的總體, , 故本節(jié)介紹故本節(jié)介紹的幾個(gè)抽樣分布均對(duì)正態(tài)總體而言的幾個(gè)抽樣分布均對(duì)正態(tài)總體而言. .6.2.1 6.2.1 正態(tài)分布正態(tài)分布(Normal distribution)(Normal distribution)則則niiiniiiniiiaaNXa12211,特別地特別地, ,nNXnXnii21,1則則nXXX,21),(2NXi

3、若若i.i.d.若若nXXX,21),(2iiNi.i.d.上上( (雙雙) )側(cè)側(cè) 分位數(shù)的概念分位數(shù)的概念 設(shè)設(shè)X 為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量, ,其概率密度函數(shù)為其概率密度函數(shù)為f ( x ) , 為給定常數(shù)為給定常數(shù), , 0 1 若若則稱則稱 x 為為X 所服從的分布的所服從的分布的上上 分位數(shù)分位數(shù). .如果如果 X 的概率密度函數(shù)為偶函數(shù)的概率密度函數(shù)為偶函數(shù), ,則對(duì)于滿足則對(duì)于滿足 0 0 時(shí)收斂時(shí)收斂，稱為稱為 函數(shù)，具有性質(zhì)函數(shù)，具有性質(zhì))(!)1()2/1(, 1)1(),()1(Nnnnxxx)(2n的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為自由度為自由度為 n 的的510152

4、0250.10.20.30.4n=2n = 3n = 5n = 10n = 15 分布分布密度函數(shù)圖密度函數(shù)圖)(2nnnDnnE2)(,)(122例如例如)(,),(),(22122121222121nnXXXXnXnX則則相相互互獨(dú)獨(dú)立立，若若正正態(tài)態(tài)分分布布時(shí)時(shí)，)(32nn分分位位數(shù)數(shù)有有表表可可查查分分布布的的上上)(42n分布的性質(zhì)分布的性質(zhì))(2n20.05(10)51015200.020.040.060.080.1n = 1005. 0307.18)10(307.18)10(2205. 0PnXXX,21相互獨(dú)立相互獨(dú)立,證證 1 1 設(shè)設(shè)niiiniNXXn122, 2 ,

5、1) 1 , 0()(則則1)(, 1)(, 0)(2iiiXEXDXEnXEnEnii122)(3d21)(2244xexXExi2)()()(2242iiiXEXEXDnXDnDnii2)(1226.2.3 6.2.3 t t 分布分布 (Student (Student 分布分布) )定義定義則則T 所服從的分布稱為自由度為所服從的分布稱為自由度為 n 的的t 分分布其密度函數(shù)為布其密度函數(shù)為nYXT tntnnntfn2121221)(),(, ) 1 , 0(2nYNXX , Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,設(shè)設(shè)t 分布的圖形分布的圖形( (紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布) )n =

6、 1n=20-3-2-11230.10.20.30.4t 分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)1f n(t)是偶函數(shù)是偶函數(shù),2221)()(,tnettfn2t分布的上分布的上 分位數(shù)分位數(shù) t 與雙測(cè)與雙測(cè) 分位數(shù)分位數(shù) t/2 有表可有表可查查-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35n = 101tttTP8125. 1)10(05. 08125. 105. 0tTPt-t95. 08125. 105. 08125. 1TPTP8125. 1)10(95. 0t2/2/2)(tTPtTP-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35t/2-t/205.

7、02281. 2025. 02281. 2TPTP/2/22281. 2)10(025. 0t 6.2.4 F 6.2.4 F 分布分布(F distribution with n and m degrees)(F distribution with n and m degrees)則則F 所服從的分布稱為所服從的分布稱為第一自由度第一自由度為n ,第二自由度為第二自由度為m 的的F 分布分布, ,其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為mYnXF/ 0,00,1222),(2122tttmntmnmnmnmntfmnnn定義定義),(),(22mYnXX , Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立，設(shè)設(shè)令令1234560.2

8、0.40.60.81234560.20.40.60.8m = 10, n = 4m = 10, n = 10m = 10, n = 15m = 4, n =10m = 10, n =10m = 15, n =10F 分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)),(1, ),(1nmFFmnFF則則若若1234560.10.20.30.40.50.6例如例如),(1),(1nmFmnF事實(shí)上事實(shí)上, ,19. 51) 5 , 4(1)4 , 5(05. 095. 0FF故故),(:),(),(2mnFFPmnFmnF有有表表可可查查分分位位數(shù)數(shù)的的上上但但F(n,m)19. 5)5 , 4(05. 0F?)4, 5(

9、95.0F),(1mnFFP),(111mnFFP故故),(1nmFF由由于于),(1111mnFFP1),(),(11nmFmnF因因而而),(111mnFFP例例1 1 證明證明),(1),(1nmFmnF證證證證) 1 , 0(,)(, )(2NGnnGXnTX2XY )(|)(|(221ntXPntXP因因而而例例2 2), 1()(212nFnt 證明：證明：)()(212222ntYPntXP), 1 ()(212nFnt即即設(shè)設(shè)令令nnnnG)(1) 1 ()(2222), 1 (nF6.2.5 6.2.5 正態(tài)總體抽樣分布的某些結(jié)論正態(tài)總體抽樣分布的某些結(jié)論() () 一個(gè)正態(tài)

10、總體一個(gè)正態(tài)總體) 1() 1(22122nXXSnnii22) 1(Sn 與與X相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)設(shè)22)(,)(),(XDXENXnXXX,21總體的樣本為總體的樣本為( )，則則),(2nNX) 1 , 0( NnX) 1(nTnSXSnX(1)(2)( II ) 兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體設(shè)設(shè)nXXX,21是來(lái)自正態(tài)總體是來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本),(211NXmYYY,21是來(lái)自正態(tài)總體是來(lái)自正態(tài)總體),(222NY的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本它們相互獨(dú)立它們相互獨(dú)立. . niiniiXXnSXnX12211)(111令令mjjmjjYYmSYmY12

11、221)(111則則) 1() 1() 1() 1(2222222121mSmnSn) 1, 1(22222121mnFSS若若21則則) 1, 1(2221 mnFSS(3)設(shè)設(shè)nXXX,21是來(lái)自正態(tài)總體是來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本),(21NXmYYY,21是來(lái)自正態(tài)總體是來(lái)自正態(tài)總體),(22NY的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 ,它們相互獨(dú)立它們相互獨(dú)立. . 則則),(1),(1221211mNYmYnNXnXmjjnii) 1 , 0()()(2221NmnYX),(2221mnNYX) 1() 1(, ) 1() 1(22222221mSmnSn222

12、221) 1() 1(SmSn)2(2mnYX 與與222221) 1() 1(SmSn相互獨(dú)立相互獨(dú)立2) 1() 1()()(2222212221mnSmSnmnYX2) 1() 1(11)()(222121mnSmSnmnYX) 2(mnt(4)例例3 3 設(shè)總體設(shè)總體)100,72( NX大于大于70 的概率不小于的概率不小于 90% , ,則樣本容量則樣本容量 , ,為使樣本均值為使樣本均值解解 設(shè)樣本容量為設(shè)樣本容量為 n , 則則)100,72(nNX故故)70(1)70(XPXPn2 . 0令令9 .02 .0n查表得查表得29.12.0n即即6025.41n所以取所以取42n

13、 .n42例例4 4 從正態(tài)總體從正態(tài)總體),(2NX中，抽取了中，抽取了 n = 20 的樣本的樣本2021,XXX(1) 求求22012276. 120137. 0iiXXP(2) 求求22012276. 120137. 0iiXP解解 (1)(1)19(11922012222iiXXS即即22012276. 120137. 0iiXXP故故2 .3514 . 720122iiXXP2 .3514 . 712012220122iiiiXXPXXP98.001.099.0查表(P.386) 1() 1(222nSn(2) (2) )20(22012iiX22012276. 120137. 0

14、iiXP故故2 .354 . 72012iiXP2 .354 . 720122012iiiiXPXP97. 0025. 0995. 0例例5 設(shè)設(shè)X 與與Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立， X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 與 Y1, Y2 , Y16 分別是取自分別是取自 X 與與 Y 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, 求統(tǒng)求統(tǒng) 計(jì)量計(jì)量2162221921YYYXXX所服從的分布所服從的分布.解解)169, 0(921NXXX)1, 0()(431921NXXX16,2, 1,)1 ,0(31iNYi)16(3122161iiY16314311612921iiYXXX)

15、16(t2162221921YYYXXX從而從而例例6 6 設(shè)總體設(shè)總體) 1 , 0( NX的樣本的樣本,26542321)()(XXXXXXY621,XXX為總體為總體 X試確定常數(shù)試確定常數(shù)c 使使cY 服從服從2分布分布.解解) 3 , 0(, ) 3 , 0(654321NXXXNXXX) 1 , 0(31,31654321NXXXXXX265423213131XXXXXX故故因此因此31c)2(312YX例例7 7 設(shè)設(shè)nXXX,21是來(lái)自正態(tài)總體是來(lái)自正態(tài)總體N ( , 2 )的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, , 是樣本均值是樣本均值,)(111221niiXXnS,)(11222

16、niiXXnS,)(111223niiXnS,)(11224niiXnS則服從自由度為則服從自由度為n - 1的的t 分布的隨機(jī)變量為分布的隨機(jī)變量為: :1)A(1nSX1)B(2nSXnSX3)C(nSX4)D( ) 1 , 0( NnX ) 1()(12122nXXnii1)(1122nXXnXnii ) 1(ntniiXXXnn12)()( ) 1(故應(yīng)選故應(yīng)選(B)解解例例8 8 在總體在總體XN(12,4)中抽取容量為中抽取容量為5的樣本的樣本X1,X2,X5,求下列概率求下列概率: :).10),(min()3();15),(max()2();1|12(|) 1 (5151XXP

17、XXPXP (1)因?yàn)橐驗(yàn)?,54,12( NX），（所以所以105412NX ) 1|12(|XP5415412XP=2(1.118)-1=0.7364解解解解)15),(max()2(51XXP)15),(max(151XXP)15,15(151XXP)15()15(151XPXP5)15(1XP5)21215(15)5 . 1 (1=0.2923例例8 8 在總體在總體XN(12,4)中抽取容量為中抽取容量為5的樣本的樣本X1,X2,X5,求下列概率求下列概率: :).10),(min()3();15),(max()2();1|12(|) 1 (5151XXPXXPXP解解)10),(m

18、in()3(51XXP)10()10(51XPXP5)10(XP5)10(1 XP5)1(1 =0.42155)1 (例例8 8 在總體在總體XN(12,4)中抽取容量為中抽取容量為5的樣本的樣本X1,X2,X5,求下列概率求下列概率: :).10),(min()3();15),(max()2();1|12(|) 1 (5151XXPXXPXPStep1 在數(shù)據(jù)編輯窗口中，建立數(shù)據(jù)文件在數(shù)據(jù)編輯窗口中，建立數(shù)據(jù)文件; ; Step2 計(jì)算樣本均值計(jì)算樣本均值調(diào)用調(diào)用Average 函數(shù)：函數(shù)：Step3 計(jì)算樣本方差計(jì)算樣本方差調(diào)用調(diào)用Var 函數(shù)函數(shù) ; ;Step4 計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差調(diào)用調(diào)用Stdev 函數(shù)函數(shù). (1) 利用利用Excel計(jì)算樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差 Excel實(shí)現(xiàn))1 ( NORMSINVz),()(2nCHIINVn )n ,2(TINV)n(t)n ,n ,(FINV)n ,n(F2121Step1 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)分位數(shù) Step2 計(jì)算計(jì)算 的上側(cè)的上側(cè)分位數(shù)分位數(shù) 分