第九章序列的平穩(wěn)性及其檢驗

1、第九章序列的平穩(wěn)性及其檢驗2 其中其中 a 是常數(shù)，是常數(shù)， t 是線性趨勢函數(shù)，是線性趨勢函數(shù)，ut . N (0, 2) 。tttuyy1tttuayy1tttutayy1(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7) 為說明為說明DF檢驗的使用，先考慮檢驗的使用，先考慮3種形式的回歸模型種形式的回歸模型 3 (1) 如果如果 -1 1，則，則 yt 平穩(wěn)（或趨勢平穩(wěn)）。平穩(wěn)（或趨勢平穩(wěn)）。 (2) 如果如果 =1，yt 序列是非平穩(wěn)序列。序列是非平穩(wěn)序列。(5.3.4)式可寫成：式可寫成： 顯然顯然 yt 的差分序列是平穩(wěn)的。的差分序列是平穩(wěn)的。 (3) 如果如果 的絕對值大于的絕對值大于1

2、，序列發(fā)散，且其差分序列，序列發(fā)散，且其差分序列是非平穩(wěn)的。是非平穩(wěn)的。ttttuyyy1tttuyy) 1(4 因此，判斷一個序列是否平穩(wěn)，可以通過檢驗因此，判斷一個序列是否平穩(wěn)，可以通過檢驗 是是否嚴(yán)格小于否嚴(yán)格小于1 1來實現(xiàn)。也就是說：來實現(xiàn)。也就是說： tttuyy1 tttuayy1 tttutayy1 (5.3.8)(5.3.9)(5.3.10) 從方程兩邊同時減去從方程兩邊同時減去 yt-1 得得， 其中：其中： = -1。5 其中：其中： = = -1-1，所以原假設(shè)和備選假設(shè)可以改寫為，所以原假設(shè)和備選假設(shè)可以改寫為 可以通過最小二乘法得到可以通過最小二乘法得到 的估計值，

3、并對其進行的估計值，并對其進行顯著性檢驗的方法，構(gòu)造檢驗顯著性水平的顯著性檢驗的方法，構(gòu)造檢驗顯著性水平的 t 統(tǒng)計量。統(tǒng)計量。 但是，但是，Dickey-Fuller研究了這個研究了這個t 統(tǒng)計量在原假設(shè)下統(tǒng)計量在原假設(shè)下已經(jīng)不再服從已經(jīng)不再服從 t 分布，它依賴于分布，它依賴于 。 0:0:10HH6 Mackinnon進行了大規(guī)模的模擬，給出了不同回歸模進行了大規(guī)模的模擬，給出了不同回歸模型、不同樣本數(shù)以及不同顯著性水平下的臨界值。這樣，型、不同樣本數(shù)以及不同顯著性水平下的臨界值。這樣，就可以根據(jù)需要，選擇適當(dāng)?shù)娘@著性水平，通過就可以根據(jù)需要，選擇適當(dāng)?shù)娘@著性水平，通過 t 統(tǒng)計量統(tǒng)計量

4、來決定是否接受或拒絕原假設(shè)。這一檢驗被稱為來決定是否接受或拒絕原假設(shè)。這一檢驗被稱為Dickey-Fuller檢驗檢驗(DF檢驗檢驗)。 上面描述的單位根檢驗只有當(dāng)序列為上面描述的單位根檢驗只有當(dāng)序列為AR(1)時才有效。時才有效。如果序列存在高階滯后相關(guān)，這就違背了擾動項是獨立同如果序列存在高階滯后相關(guān)，這就違背了擾動項是獨立同分布的假設(shè)。在這種情況下，可以使用增廣的分布的假設(shè)。在這種情況下，可以使用增廣的DF檢驗方檢驗方法（法（augmented Dickey-Fuller test ）來檢驗含有高階序列）來檢驗含有高階序列相關(guān)的序列的單位根。相關(guān)的序列的單位根。 7 考慮考慮 yt 存在

5、存在p階序列相關(guān)，用階序列相關(guān)，用p階自回歸過程來修正，階自回歸過程來修正，在上式兩端減去在上式兩端減去 yt-1，通過添項和減項的方法，可得，通過添項和減項的方法，可得其中其中 tptptttuyyyay2211tpiitittuyyay11111piipijji18 ADF檢驗方法通過在回歸方程右邊加入因變量檢驗方法通過在回歸方程右邊加入因變量 yt 的滯的滯后差分項來控制高階序列相關(guān)后差分項來控制高階序列相關(guān) tpiitittuyyy11 tpiitittuyayy11 tpiitittuytayy11 (5.3.11)(5.3.12)(5.3.13)9 擴展定義將檢驗擴展定義將檢驗 (

6、5.3.14) 序列序列 yt可能還包含常數(shù)項和時間趨勢項。可能還包含常數(shù)項和時間趨勢項。判斷判斷 的估計值的估計值 是接受原假設(shè)或者接受備選假設(shè)，進而是接受原假設(shè)或者接受備選假設(shè)，進而判斷一個高階自相關(guān)序列判斷一個高階自相關(guān)序列AR(p) 過程是否存在單位根。過程是否存在單位根。 類似于類似于DF檢驗，檢驗，Mackinnon通過模擬也得出在不同回通過模擬也得出在不同回歸模型及不同樣本容量下檢驗歸模型及不同樣本容量下檢驗 不同顯著性水平的不同顯著性水平的 t 統(tǒng)計統(tǒng)計量的臨界值。這使我們能夠很方便的在設(shè)定的顯著性水平量的臨界值。這使我們能夠很方便的在設(shè)定的顯著性水平下判斷高階自相關(guān)序列是否存

7、在單位根。下判斷高階自相關(guān)序列是否存在單位根。 0:0:10HH10 但是，在進行但是，在進行ADF檢驗時，必須注意以下兩個實際檢驗時，必須注意以下兩個實際問題：問題： 通常采用通常采用AIC準(zhǔn)則來確定給定時間序列模型的滯后階數(shù)。在實際準(zhǔn)則來確定給定時間序列模型的滯后階數(shù)。在實際應(yīng)用中，還需要兼顧其他的因素，如系統(tǒng)的穩(wěn)定性、模應(yīng)用中，還需要兼顧其他的因素，如系統(tǒng)的穩(wěn)定性、模型的擬合優(yōu)度等。型的擬合優(yōu)度等。 選擇哪種形選擇哪種形式很重要，因為檢驗顯著性水平的式很重要，因為檢驗顯著性水平的 t 統(tǒng)計量在原假設(shè)下統(tǒng)計量在原假設(shè)下的漸近分布依賴于關(guān)于這些項的定義。的漸近分布依賴于關(guān)于這些項的定義。 1

8、1 若原序列中不存在單位根，則檢驗回歸形式選擇若原序列中不存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數(shù)，意味著所檢驗的序列的均值不為含有常數(shù)，意味著所檢驗的序列的均值不為0；若原序列；若原序列中存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數(shù)，意味著所中存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數(shù)，意味著所檢驗的序列具有線性趨勢，一個簡單易行的辦法是畫出檢檢驗的序列具有線性趨勢，一個簡單易行的辦法是畫出檢驗序列的曲線圖，通過圖形觀察原序列是否在一個偏離驗序列的曲線圖，通過圖形觀察原序列是否在一個偏離 0 的位置隨機變動或具有一個線性趨勢，進而決定是否在檢的位置隨機變動或具有一個線性趨勢，進而決定是否在檢驗時添加常數(shù)

9、項。驗時添加常數(shù)項。 若原序列中不存在單位根，則檢驗回歸形式選擇若原序列中不存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數(shù)和趨勢，意味著所檢驗的序列具有線性趨勢；若含有常數(shù)和趨勢，意味著所檢驗的序列具有線性趨勢；若原序列中存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數(shù)和趨原序列中存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數(shù)和趨勢，意味著所檢驗的序列具有二次趨勢。同樣，決定是否勢，意味著所檢驗的序列具有二次趨勢。同樣，決定是否在檢驗中添加時間趨勢項，也可以通過畫出原序列的曲線在檢驗中添加時間趨勢項，也可以通過畫出原序列的曲線圖來觀察。如果圖形中大致顯示了被檢驗序列的波動趨勢圖來觀察。如果圖形中大致顯示了被檢驗序列的波

10、動趨勢呈非線性變化，那么便可以添加時間趨勢項。呈非線性變化，那么便可以添加時間趨勢項。 12 在經(jīng)驗研究中，盡管在經(jīng)驗研究中，盡管DF檢驗的檢驗的DF 統(tǒng)計量是應(yīng)用最廣泛統(tǒng)計量是應(yīng)用最廣泛的單位根檢驗，但是它的檢驗功效偏低，尤其是在小樣本的單位根檢驗，但是它的檢驗功效偏低，尤其是在小樣本條件下，數(shù)據(jù)的生成過程為高度自相關(guān)時，檢驗的功效非條件下，數(shù)據(jù)的生成過程為高度自相關(guān)時，檢驗的功效非常不理想。另外，常不理想。另外，DF檢驗和檢驗和ADF檢驗對于含有時間趨勢的檢驗對于含有時間趨勢的退勢平穩(wěn)序列的檢驗是失效的。因此，為了改進退勢平穩(wěn)序列的檢驗是失效的。因此，為了改進DF和和ADF檢驗的效能，檢驗

11、的效能，Elliott，Rothenberg和和Stock (1996) 基于基于GLS方法的退勢方法的退勢DF檢驗，簡稱為檢驗，簡稱為DFGLS檢驗，其基本原理如下：檢驗，其基本原理如下： 13 首先定義序列首先定義序列 yt 的擬差分序列如下：的擬差分序列如下： t = 1, 2, , T 并且構(gòu)造如下回歸方程：并且構(gòu)造如下回歸方程： t = 1, 2, , T (5.3.14)其中其中xt =(1) 表示表示 yt 中只含有截距項，或中只含有截距項，或 xt = (1,t) 表示表示 yt 中含有中含有截距項和趨勢項。令表示方程截距項和趨勢項。令表示方程(5.3.14)參數(shù)的最小二乘估計

12、量，參數(shù)的最小二乘估計量，在實際計算中通常如下定義參數(shù)在實際計算中通常如下定義參數(shù) a： 11)|(1tifayytifyaydtttttttuaadayd)()|()|(x, 1/5 .1311/71tifTifTattxx14 利用方程利用方程(5.3.14)的估計參數(shù)定義退勢后的序列的估計參數(shù)定義退勢后的序列ytd為為 t = 1, 2, , T 然后，對退勢后的序列然后，對退勢后的序列ytd，應(yīng)用，應(yīng)用ADF檢驗，即為檢驗，即為DFGLS檢驗。檢驗過程如下：檢驗。檢驗過程如下： t = 1, 2, , T 原假設(shè)和備選假設(shè)同原假設(shè)和備選假設(shè)同ADF檢驗一致，為檢驗一致，為 Elliot

13、t，Rothenberg和和Stock (1996)給出了不同置信水給出了不同置信水平下的臨界值，平下的臨界值，DFGLS檢驗同一般的檢驗同一般的ADF檢驗一樣是左側(cè)檢驗一樣是左側(cè)單邊檢驗。單邊檢驗。)(ayyttdtxtpiditidtdtuyyy111 0:0:10HH15 雙擊序列名，打開序列窗口，選擇雙擊序列名，打開序列窗口，選擇View/unit Root Test，得到下圖：得到下圖： 16 進行單位根檢驗必須定義進行單位根檢驗必須定義4項：項： 在在Test type的下拉列表中，選擇檢驗方法。的下拉列表中，選擇檢驗方法。EViews5提供提供了了6種單位根檢驗的方法：種單位根檢

14、驗的方法： Augmented Dickey-Fuller(ADF) Test Dickey-Fuller GLS Test Phillips-Perron(PP) Test Kwiatkowski , Phillips , Schmidt and Shin (KPSS) Test Elliot , Rothenberg , and Stock Point Optimal (ERS) Test Ng and Perron (NP) Test17 在在Test for unit root in中確定序列在中確定序列在下進行單位根檢驗。可以使用這個選項決下進行單位根檢驗?？梢允褂眠@個選項決定序列中

15、單位根的個數(shù)。如果檢驗水平值未拒絕，而在定序列中單位根的個數(shù)。如果檢驗水平值未拒絕，而在一階差分拒絕原假設(shè)，序列中含有一個單位根，是一階一階差分拒絕原假設(shè)，序列中含有一個單位根，是一階單整單整I(1)；如果一階差分后的序列仍然未拒絕原假設(shè)，；如果一階差分后的序列仍然未拒絕原假設(shè)，則需要選擇則需要選擇2階差分。一般而言，一個序列經(jīng)過兩次差分階差分。一般而言，一個序列經(jīng)過兩次差分以后都可以變?yōu)橐粋€平穩(wěn)序列，也就是二階單整以后都可以變?yōu)橐粋€平穩(wěn)序列，也就是二階單整I(2)。 18 在在Include in test equation中定義在檢驗回歸中是否中定義在檢驗回歸中是否。這一選。這一選擇很重要

16、，因為檢驗統(tǒng)計量在原假設(shè)下的分布隨這擇很重要，因為檢驗統(tǒng)計量在原假設(shè)下的分布隨這3種種情況不同而變化。在什么情況下包含常數(shù)項或者趨勢項，情況不同而變化。在什么情況下包含常數(shù)項或者趨勢項，剛才已經(jīng)作了介紹。剛才已經(jīng)作了介紹。19 在在Lag lenth這個選項中可以選擇一些確定消除序列這個選項中可以選擇一些確定消除序列相關(guān)所需的相關(guān)所需的的準(zhǔn)則。一般而言，的準(zhǔn)則。一般而言，EViews默認(rèn)默認(rèn)SIC準(zhǔn)則。準(zhǔn)則。 定義上述選項后，單擊定義上述選項后，單擊OK進行檢驗。進行檢驗。EViews顯示顯示檢驗統(tǒng)計量和估計檢驗回歸。檢驗統(tǒng)計量和估計檢驗回歸。 單位根檢驗后，應(yīng)檢查單位根檢驗后，應(yīng)檢查EVie

17、ws顯示的估計檢驗回歸，顯示的估計檢驗回歸，尤其是如果對滯后算子結(jié)構(gòu)或序列自相關(guān)階數(shù)不確定，尤其是如果對滯后算子結(jié)構(gòu)或序列自相關(guān)階數(shù)不確定，可以選擇不同的右邊變量或滯后階數(shù)來重新檢驗?？梢赃x擇不同的右邊變量或滯后階數(shù)來重新檢驗。 2021 例用例用AR(1) 模型模擬模型模擬1983年年1月月2007年年8月居月居民消費價格指數(shù)一階差分民消費價格指數(shù)一階差分 CPI的變化規(guī)律。在用的變化規(guī)律。在用ADF進行單位根檢驗前，需要設(shè)定序列的是否含有進行單位根檢驗前，需要設(shè)定序列的是否含有常數(shù)項或者時間趨勢項。我們可以通過畫出原序列常數(shù)項或者時間趨勢項。我們可以通過畫出原序列的圖形來判斷是否要加入常數(shù)

18、項或者時間趨勢項。的圖形來判斷是否要加入常數(shù)項或者時間趨勢項。從圖的從圖的CPI圖形可以看出不含有線性趨勢項。圖形可以看出不含有線性趨勢項。CPI序序列的列的ADF檢驗結(jié)果檢驗結(jié)果(選擇既無常數(shù)項也無趨勢項選擇既無常數(shù)項也無趨勢項)如下：如下：221983年年1月月2007年年8月的月的CPI序列單位序列單位根根ADF檢驗結(jié)果。可檢驗結(jié)果?？梢钥闯霾荒芫芙^原假以看出不能拒絕原假設(shè)，存在單位根。設(shè)，存在單位根。23 1983年年1月月2007年年8月的月的CPI序列單序列單位根位根DF-GLS檢驗結(jié)檢驗結(jié)果。采用含有常數(shù)和果。采用含有常數(shù)和趨勢項的形式。不能趨勢項的形式。不能拒絕原假設(shè)，拒絕原假設(shè)， CPI序序列存在單位根。列存在單位根。24 檢驗結(jié)果顯示，檢驗結(jié)果顯示，CPI序列序列接受原假設(shè)，因此，接受原假設(shè)，因此，CPI序列序列是一個非平穩(wěn)的序列。接著再對一階差分是一個非平穩(wěn)的